Kürzester Abstand Punkt Ebene berechnen, Hessesche Normalform, Lagebeziehung Punkt - Ebene
MathePeter
https://www.youtube.com/watch?v=Z5OZ3QKUAWE

Transkript (automatisch erstellt)

0:02 ich bin mit peter und in diesem video schauen wir uns direkt an einem beispiel an wie du den kürzesten abstand von einem punkt zu einer gegebenen ebene
0:09 bestimmen kannst wichtig dabei ist dass die gegebene ebene in koordinaten form vorliegt also frei ist von parametern sollte deine ebene noch in parameter
0:19 form sein dann solltest du sie erst einmal in diese koordinaten form überführen und wenn du gar nicht mehr weiß wie das geht steht ja noch mal das
0:26 video dazu an im endeffekt läuft das ganze aber darauf hinaus dass du den normalen vector bestimmt also den vektor der senkrecht auf einer ebene draufsteht
0:35 das schöne an dieser koordinaten form hier ist dass wir diesen normalen vector also der der senkrecht auf der ebene draufsteht direkt ablesen können die
0:44 komponenten von diesem sektor hier das sind einfach nur die vor faktoren von xyz also in unserem beispiel 4 - 1 und 8 und was ihr auch noch für den nächsten
0:56 schritt brauchen werden ist die länge von diesem normalen vector es ist wichtig denn wir wollen gleich diese gleichung hier durch die länge von
1:02 diesem sektor teilen wir so wollen sozusagen diese gleichung normieren könnte man fast schon sagen das heißt dass uns diese länge auch gleich noch
1:09 mit berechnen das geht auch ziemlich einfach mit hilfe von dem satz von pythagoras einfach nur jede komponente zum quadrat dann diese quadrate auf
1:18 addieren und schlussendlich noch die wurzelziehen geht es in den 16 plus 64 mal bei 80 bis 181 mit wurzeln sind wir dann bei einer
1:29 neuen alles klappt die länge von diesem sektor ist gleich null und jetzt kommt der entscheidende schritt wir bringen unsere ebene in die
1:39 hessische normalform das bedeutet wir stellen das ganze nach 0 um indem wir beispielsweise die 18 auf die andere seite überziehen
1:51 und dann wird das ganze nach 0 umgestellt ist also 4x - y plus 8 - 18 wenn das ganze jetzt nach 0 umgestellt ist dann teilen wir die
2:04 gesamte gleichung noch durch die länge von diesem normalen vector also im grunde teilen wir auf beiden seiten durch die länge von dem normalen weg tor
2:11 aber null geteilt durch 9 das bleibt 0 und diese form von unserer ebene gleicher das nennt sich die hessische normalform du kannst sie verstehen als
2:23 eine art normierte koordinaten form und das spannende daran ist dass wir diese hessische normalform jetzt zur abstandsberechnungen nutzen können wir
2:34 können damit ziemlich einfach den abstand von einem beliebigen punkt zu unserer ebene bestimmt und ich möchte das ganze gerne auch mal allgemeinen
2:41 hierhin schreiben der abstand von einem ton zu unserer ebene bestimmt sich jetzt über allgemein explorer psion plus z -
2:53 das ist das was hier oben steht xyz muss die geteilt durch die länge von dem normalen weg tor ist gerade ausgerechnet haben
3:05 wir uns die 9 jetzt kann es allerdings sein dass hier oben im zähler sowohl eine positive als auch eine negative zahl rauskommt das liegt einfach daran
3:12 auf welcher seite der ebene wir uns befinden wenn wir punkte auf der einen seite von der ebene einsetzen und auf der anderen seite bekommen da
3:21 unterschiedliche vorzeichen raus aber die vorzeichen sagen wir nur auf welcher seite der ebene wir uns befinden nicht aber etwas über den abstand
3:30 deswegen setzen wir noch den betrag bei uns als vorzeichen für die abstandsberechnungen vollkommen egal ist und damit haben wir eine allgemeine
3:37 formel um den abstand von einem punkt xyz zur ebene psion auszurechnen lasst uns den spaß mehr machen und beispielsweise
3:47 den abstand vom koordinaten ursprung zur ebene ausrechnen dafür setzten wir einfach für xy und z 0 104 x 0 -
4:01 0 + 8 00 - 18 geteilt durch 9 und wichtig wir setzen noch den betrag sollte da was negatives rauskommen dann soll der abstand jetzt trotzdem eine
4:12 positive zahl seien gute ganzen die kammer in dem fall direkt integrieren und dann steht ihr -18 durch 19 - zwei antrag der 52 also mit anderen worten
4:22 der koordinaten ursprung hat ist zwei längen einheiten von unserer ebene entfernt und anders gesagt dass der kürzeste abstand natürlich finden auch
4:30 punkte der ebene die einen größeren abstand haben aber einen kleineren abstand als zwei längen einheiten das werden wir nicht finden ist der kurze
4:38 abstand oder wenn wir beispielsweise den abstand von irgendwas verrückte mainz - 17 zu unserer ebene ausrechnen wollen dann
4:49 geht mir genauso vor wir setzen für x1 für y eine -1 für z eine 71 und nutzen diese hessische normalform von unserer ebene y das heißt wir haben
4:59 viermal 1 - achtung - eins zu eins plus eins gleich plus 8 x 7 -18 geteilt durch 9 das heißt wir haben hier 80 7 soll wenn
5:13 er 56 56 plus 40 mal bei einer 60 und 60 da können wir gleich mal 18 abziehen sie mal bei einer a
5:25 42 und 42 bis 1 war er 43 alles klar da kommt sogar ein positives ergebnis raus den betrag wir uns sparen und damit haben wir als kürzeste abstand von dem
5:34 punkt 1 - 1 7 unserer ebene 43 geteilt durch 9 viel spaß damit und bis zum nächsten hier hey ich habe das video hat er gerade gefallen wenn du dich
5:44 demnächst auf eine mathe prüfung vorbereiten muss dann schaue unbedingt mal unter diesem video nach ich habe dort mehrere von meinen online kursen
5:50 verlinkte die ich bestmöglich auf deine mathe prüfung vorbereiten wenn ihr das video weitergeholfen hat und du mich in zukunft unterstützen möchtest dann
5:56 erzählt einfach seinen kommilitonen deinen freunden und einer familie von mir und abonniert den kanal danke dir