Bernoulli Formel einfach erklärt – Schritt für Schritt
MathemaTrick
https://www.youtube.com/watch?v=YmUF2lY_Rrw

Transkript (automatisch erstellt)

0:00 Hallo ihr Lieben, heute möchte ich euch Schritt für Schritt zeigen, wie man die Bernulli Formel anwenden kann. So sieht die Formel aus. ist für den einen oder
0:09 anderen vielleicht erstmal ein bisschen erschreckend, aber sobald man weiß, wofür die einzelnen Teile stehen, kann man mit dieser Formel sehr gut Aufgaben
0:18 lösen. Wir schauen uns das Ganze mal gemeinsam an diesem Beispiel hier an und klären auch gleich, warum wir diese Formel überhaupt verwenden dürfen. Die
0:29 darf man nämlich nicht einfach auf jede beliebige Aufgabe drauf klatschen, leider, sie ist nämlich sehr praktisch. Es müssen aber ein paar Voraussetzungen
0:36 erfüllt sein, damit man diese Formel überhaupt verwenden darf. Ein Würfel wird 15 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit genau 3
0:48 fünfen zu werfen? Also bei unserem Experiment hier wird ein Würfel 15 mal hintereinander geworfen und wir interessieren uns für die
0:59 Wahrscheinlichkeit dabei genau dreimal eine fünf zu werfen. Also unter den 15 Würfen, die man gemacht hat, sollen genau dreimal eine fünf erscheinen.
1:12 Warum dürfen wir hier jetzt die Bernuli Formel anwenden? Zuallerst muss es sich bei auch im Experiment um ein Experiment handeln,
1:22 das immer wieder auf dieselbe Art und Weise wiederholt wird. Also hier wird der Würfel 15 mal auf dieselbe Art und Weise geworfen. Wir verändern nichts am
1:34 Experiment. Es ist immer 15 mal hintereinander werfen wir diesen Würfel. oder falls es bei eurem bei eurer Aufgabe um Münzwurf geht, wird 20 mal
1:45 vielleicht hintereinander die Münze geworfen. Also immer auf dieselbe Art und Weise wird das Experiment durchgeführt.
1:52 Dabei ist es aber wichtig, dass es bei diesem Experiment nur zwei verschiedene Ausgänge gibt, die uns interessieren. Also, wir interessieren uns hierfür eine
2:04 fünf zu würfeln. Wir interessieren uns ehrlich gesagt dafür, dass wir genau drei fünfen würfeln, aber grundsätzlich unterscheiden wir zwischen schaffen wir
2:13 es eine fünf zu würfeln oder schaffen wir es nicht eine fünf zu würfeln. Also, wenn ihr ein Baumdiagramm aufstellen würdet, wäre die Unterscheidung, treffen
2:21 wir eine fünf oder treffen wir keine fünf. Also, wir haben zwei verschiedene Ausgänge. Bei einem Münzwurf beispielsweise wäre es: Treffen wir Zahl
2:33 oder werfen wir Kopf? Also, wir haben nur zwei verschiedene Ausgänge, die passieren können. Das ist ganz wichtig, dass das hier eben vorliegt, dass es ein
2:44 sogenanntes Benuli Experiment ist, das immer wieder auf dieselbe Art und Weise wiederholt wird. Okay, aber sobald ihr festgestellt habt,
2:53 dass ihr die Formel verwenden dürft, nehmt sie euch her. Und jetzt müssen wir mal klären, wofür die einzelnen Elemente hier stehen. Wir haben hier eine
3:04 Gleichung stehen. Auf der linken Seite steht was, auf der rechten Seite steht was. Auf der linken Seite steht P von etwas. Also, das ist die
3:14 Wahrscheinlichkeit von etwas, was wir hier ausrechnen wollen. Und wir suchen ja eine Wahrscheinlichkeit.
3:23 Also von daher suchen wir das da. Und um das zu finden, dürfen wir eben die rechte Seite einfach ausrechnen und das wird dann unsere gesuchte
3:34 Wahrscheinlichkeit werden. Auf der rechten Seite haben wir ein bisschen was stehen. Ähm verschiedene Buchstaben. Wir haben hier einmal ein N, das kommt auch
3:42 noch mal hier an der Stelle vor. Wir haben ein K, das hier und auch hier wiederholt. Und dann haben wir noch ein P hier einmal und einmal hier. Wir
3:54 suchen also n, K und P, damit wir die hier überall einsetzen können. Starten wir mal mit dem N. Das ist nämlich meistens die einfachste Zahl, die ihr
4:05 finden könnt. N steht immer dafür, wie oft euer Experiment insgesamt durchgeführt wird. Also hier steht ja, ein Würfel wird 15 mal geworfen. Also so
4:19 oft führe ich dieses Experiment durch. Das heißt, mein n. Das ist normalerweise auch die größte Zahl, die ihr in eurem Text irgendwo
4:28 finden könnt. Ähm, das K, das steht immer im Bezug zu diesem N. Also, ihr fragt euch jetzt von diesen 15
4:41 durchgeführten Experimenten, wie oft will ich, dass etwas bestimmtes passiert? Also von den 15, wie oft soll was spezielles passieren? Und das muss
4:54 im Text stehen. Hier steht ja, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit genau 3 fünfen zu werfen? Also von den 15 mal, die ich werfe, soll genau dreimal etwas
5:07 spezielles passieren. Und dieses genau 3, das ist mein k. Also k das steht also immer im Bezug zu meiner 15 hier. Diese Zahl, also das K muss
5:20 immer auch kleiner sein als die eigentliche Anzahl, wie oft wir das Experiment durchführen. Okay. Und dann haben wir noch das Pin
5:31 und das P ist die sogenannte Trefferwahrscheinlichkeit. Also, ich muss jetzt entscheiden, was ist für mich eigentlich ein Treffer und
5:39 was ist eine Niet sozusagen? Also, wir haben ja gesagt, wir haben nur zwei verschiedene Ausgänge. Das was mich interessiert und das was mich nicht
5:47 interessiert. Mich interessiert es hier jetzt eine fünf zu würfeln. Also ich unterscheide ein Treffer ist es eine fünf zu würfeln und eine Niet oder kein
5:58 Treffer ist es keine fünf zu würfeln. Und die Wahrscheinlichkeit das kleine P dafür ähm ist dann die Frage, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mein Treffer
6:10 zu erzielen? Also wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, fünf zu würfeln? Wenn ich mit einem ganz normalen Würfel würfel, ist es ja ein Sechel. Das ist
6:18 also mein P. Das kriege ich da eben raus. Mich interessiert ist fünfen zu würfeln. Und die Wahrscheinlichkeit eine fünf zu würfeln ist eben ein Sechstel.
6:29 Also ihr müsst immer lesen, was interessiert euch zu treffen, was ist für euch ein Treffer, was ist für euch eine Niet und euer Treffer, davon müsst
6:38 ihr eben die Wahrscheinlichkeit ausrechnen. Okay, dann haben wir aber alles und setzen mal alles ein. Also P von die
6:46 Wahrscheinlichkeit von für das X setzt den X ein. Das ist einfach eure Zufallsvariable. x = das k, das haben wir als 3 herausgefunden. Da kommt eine
6:56 3 rein. Dann n über k heißt das Ding hier übrigens. Das ist der sogenannte Binomialkoeffizient. Schauen wir gleich, wie man den
7:06 ausrechnen kann, aber wir schreiben den erstmal in so Klammern. Für das n setzen wir die 15 ein. Für das K setzen wir die 3 ein. Mal mein P haben wir
7:18 herausgefunden, war ein sech. schreibt es am besten auch schön in Klammern den Bruch ein Sechstel und das ganze hoch meine K. K war bei uns 3. Dann noch mal
7:30 eine neue Klammer 1- für das P wird wieder ein Sechel eingesetzt und dann hoch n war 15 minus und für das K wird 3 eingesetzt.
7:47 Jetzt müssen wir das ganze Ding nur noch ausrechnen, aber dabei kann man genügend Fehler machen. Lass uns mal hier vorne mit diesem Binomialkoeffizienten
7:56 starten. 15 über 3 heißt das. Ähm, jetzt müssen wir unterscheiden, ob ihr einen Taschenrechner verwenden dürft oder nicht. Wir machen es erstmal mit
8:06 Taschenrechner, wie man vorgeht und dann schauen wir uns an, wie man das Ganze auch ohne Taschenrechner berechnen könnte. Wenn ihr ein Taschenrechner
8:13 habt, dann gibt es dort eine Taste, die heißt NCR. Die könnt ihr einfach verwenden. Und zwar tippt ihr ein 15, die Taste 3 und
8:24 dann erhaltet ihr als Ergebnis 455 für diesen Ausdruck hier. damit ihr euch besser merken könnt, welche Taste ihr verwenden könnt. Ähm, das hier sind die
8:35 englischen Bezeichnungen, die sagen nicht n über k oder auch nicht n über R, wenn die Buchstaben anderen heißen. Die sagen Nhoose
8:47 are. Also statt dem über haben die dieses Choice. Äh okay, aber das wäre die Taschenrechnervariante. Dann lass uns
8:56 mal gerade schauen, wie man diesen Ausdruck ohne Taschenrechner berechnen würde, bevor wir hiermit weitermachen. Wir wollen 15 über 3 berechnen und da
9:06 gibt es eine allgemeine Formel. Wenn ihr n über k berechnen wollt, dann ist es ein Bruch, der aus n Fakultät besteht. Und unten haben wir K Fakultät, was
9:20 multipliziert wird mit n- K und das ganze Fakultät. Okay, lasst uns das mal hier einsetzen. Das heißt, ich nehme n Fakultät, also
9:34 die obere Zahl und Fakultät, das ist in unserem Fall eine 15 Fakultät. Dann unten haben wir das K Fakultät, also die untere Zahl, das ist die 3 Fakultät, die
9:46 wird jetzt multipliziert mit n- K. Also, ich muss die beiden einfach voneinander abziehen oder wir schreiben
9:54 sie erstmal hin. 15 - 3 und dahinter kommt dann die Fakultät. Das ist immer die Formel. Jetzt müssen wir das Ding nur ausrechnen
10:05 und hoffen, dass die Zahlen ganz freundlich zu uns sind. Wofür steht dann 15 Fakultät? Dieses Fakultätszeichen steht immer als
10:14 Abkürzung für folgendes. Man startet bei der 15 und multipliziert abwärts, also 15* 14* 13, immer mal die kleinere Zahl und das ganze runter bis zur mal 1.
10:31 Okay, dann steht 3 Fakultät, also für man startet bei der 3 und multipliziert runter, bis man bei der 1 ankommt. Okay, dann haben wir das mal und 15 - 3 sind
10:44 ja 12. Also hier drin habe ich eigentlich 12 Fakultät stehen, was bedeutet, ich starte bei der 12 und multipliziere abwärts bis runter bis zur
10:56 1. Und da jetzt überall Mahlzeichen sind, dürfen wir kürzen. Wir haben hier 12 12* 11* 11* 10 mal bis runter bis zu 1. Also das ganze Ding hier können wir
11:10 wegkürzen. Dann hier vorne die 14 und die 2 können wir kürzen. 14 dur 2 sind 7. 15 und 3 können wir auch kürzen. 15 dur 3 sind 5.
11:24 Dann haben wir eigentlich nur diese Zahlen hier. 5* 7* 13. Ich meine, ist schlimm genug, das dann so im Kopf zu rechnen, aber wenn man die Schritte
11:35 durchgeht, kommt man eben auch hier auf 455 als Ergebnis für diesen Binomialkoeffizienten. Also theoretisch
11:44 geht es da dann auch im Kopf. Okay, den Rest würde ich dann aber einfach so abschreiben. Ein sechsel hoch 3. Immer mal wieder schauen, ob man noch ein
11:53 bisschen was vereinfachen kann. Ich meine, das könnte man zusammenrechnen, wenn man will, aber man kann auch einfach 1- ein Sechel in Taschenrechner
12:01 eintippen. 15 - 3. Da würde ich vielleicht noch 12 draus machen, damit ich das dann so in den Taschenrechner eintippen kann und als Ergebnis auf zwei
12:11 Nachkommastellen 0,24 erhalte. Das ist also meine Wahrscheinlichkeit, dass ich genau drei Fünfen erhalte, wenn ich 15 mal
12:21 hintereinander einen Würfel werfe. Ich hoffe, es ist klar geworden, wie man vorgehen kann. Falls ihr Fragen habt, schreibt sie gerne in die Kommentare.
12:28 Ansonsten habt noch einen wunderschönen Tag und wir sehen uns beim nächsten Video. Macht's gut. M.