Lineare ABHÄNGIGKEIT und UNABHÄNGIGKEIT von VEKTOREN (KOLLINEARE und KOMPLANARE Vektoren)
Mathewissen
https://www.youtube.com/watch?v=X915btPooUQ

Transkript (automatisch erstellt)

0:00 hallo heute geht es um die lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit von Vektoren wir schauen uns das ganze erstmal bei zwei Vektoren an und dann
0:09 erweitern wir das ganze auf drei Vektoren dann fangen wir mal an also zwei Vektoren sind dann linear abhängig wenn der eine Vektor das Vielfache von
0:20 dem anderen Vektor ist die können dann zum Beispiel in die selber Richtung zeigen und verschieden langsam aber die können auch in die entgegengesetzte
0:29 Richtung zeigen und entweder gleich langsam oder auch verschieden lang sein auf der linken Seite können wir jetzt das Beispiel nehmen dass der linke
0:37 Vektor 1 2 4 ist und der rechte Vektor 248 dann sehen wir dass der rechte Vektor das Zweifache von dem linkenvektor ist
0:52 also wenn wir hier das ganze mal zwei nehmen dann sehen wir die Gleichung stimmt also sind die beiden Vektoren 1 2 4 und 248 linear abhängig voneinander
1:05 man nennt das ganze auch kohlliner auf der linken Seite nehmen wir jetzt mal als Beispiel -1 - 2 und -4 und der andere Vektor ist wieder zwei
1:19 vier acht jetzt sehen wir hier auch dass der rechte Vektor das Minus
1:28 zweifache von dem linken Vektor ist also wenn wir das hier mal -2 nehmen dann stimmt ja die Gleichung wieder also sind die beiden Vektoren -1 - 2 - 4 und 2 4 8
1:41 die näher abhängig voneinander und wann sind jetzt zwei Vektoren linear unabhängig voneinander wenn der eine Vektor nicht das Vielfache von dem
1:50 anderen Vektor ist in dem Fall zeigen sie dann natürlich auch nicht in dieselbe Richtung oder auch nicht in die entgegengesetzte Richtung die könnten
1:57 z.B so aussehen einer zeigt nach da und der andere nach da jetzt können wir wieder Beispiele dafür nehmen der eine Vektor ist z.B Null fünf eins
2:09 und der andere Vektor ist 2 3 4 jetzt schauen wir mal ob der linke Vektor einen Vielfaches von dem rechten Vektor ist dafür multiplizieren wir das
2:19 mit R und lösen jetzt auf also die erste Zeile wäre 0 ist gleich R mal 2 die zweite Zeile wäre 5 ist gleich R mal 3
2:36 und die letzte Zeile wäre 1 ist gleich R mal 4 jetzt können wir die erste Zeile auflösen also das ganze nachher aufgelöst da müssen wir durch zwei
2:48 Teilen 0 durch 2 das wäre 0 also ist unser r 0 und jetzt muss hier unten überall auch die Null rauskommen damit es linear abhängig ist und wenn wir
3:00 jetzt in der zweiten Zeile das nachher auflösen da müssen wir das Ganze durch 3 teilen dann steht da fünf Drittel = R da sehen wir schon hier sind zwei
3:11 verschiedene erst eigentlich können wir jetzt schon aufhören aber wir können auch die letzte Zeile noch berechnen wenn wir das nachher auflösen dann
3:18 erhalten wir einen Viertel für R also das sind alles verschiedene Zahlen also gibt es kein Vielfaches das diese Gleichung hier auflöst also sind die
3:30 beiden Vektoren die näher unabhängig oder nicht koordinieren und wie sieht das ganze jetzt bei drei Vektoren aus wir stellen uns mal so eine Ebene vor
3:44 das könnte zum Beispiel ein Fußboden sein und da drauf liegen jetzt die Vektoren
3:52 also genau auf dieser Ebene auf diesem Fußboden und wenn das der Fall ist wenn die auf einer Ebene liegen dann sind sie linear abhängig man nennt das ganze auch
4:04 komplett nah wir machen das Ganze wieder mit einem Zahlenbeispiel dafür ist der eine Vektor 2 3
4:16 dann der andere Vektor 1 1 4 und der letzte Vektor 2 2 8 jetzt müssen wir den 0 Vektor folgendermaßen darstellen jetzt nehmen
4:31 wir ein Vielfaches und multiplizieren es mit dem ersten Vektor dann addieren wir das Vielfache von dem zweiten Vektor dann noch das Vielfache von dem dritten
4:41 Vektor dabei ist aber ganz wichtig dass er es und T nicht gleichzeitig Null sein dürfen also ja dürfte zum Beispiel Null sein aber
4:54 dann müsste hier zum Beispiel eine Eins sein und bei Tee zum Beispiel eine zweite es geht aber wenn alle drei Variablen
5:03 gleich Null sind dann sind die drei Vektoren linear unabhängig jetzt müssen wir schauen ob
5:13 wir zahlen für RS und T finden das diese Gleichung auflöst und das können wir mit dem gauß-algorithmus machen das letzte Mal hatte ich euch ein Video dazu
5:25 vorbereitet und wenn ihr nicht genau wisst wie das funktioniert könnt ihr gerne noch mal reinschauen wenn wir das ganze jetzt in Gleichungen umändern dann
5:34 sieht das ganze so aus dann haben wir drei Gleichungen und drei Unbekannte und mit dem gauß-albothmus möchte man nicht hier die Zeilenstufenform bekommen das
5:45 heißt diese drei Zeilen 3R 3 R und 4S möchten wir ihn 0 umändern und da müssen wir uns jetzt überlegen wie wir das machen können wir könnten zum Beispiel
5:56 die zweite Zeile Minus drei halbe mal die erste Teil nehmen und das in die zweite Zeile eintragen dann
6:06 sieht das ganze so aus also die erste Zeile erstmal abschreiben und dann rechnen wir das ganze 3 R minus drei halbe mal 2 R das ergibt 0 also
6:24 können wir auch weglassen müssen wir nicht eintragen jetzt sind wir hier s-3 halbe mal s ergibt minus einhalb es und 2 t minus drei halbe Mahlzeit ergibt
6:38 minus t und auf der rechten Seite ist das ganze Jahr 0 und die letzte Zahl schreiben wir auch noch ab
6:50 so jetzt können wir die dritte Zeile minus drei halbe mal die erste Zeile nehmen und das ganze in die dritte Zeile eintragen dann bleiben die ersten beiden
7:03 Zeilen so stehen jetzt müssen wir wieder rechnen 3 R minus drei halbe mal 2R das ergibt 0
7:17 also können wir weglassen dann 4S minus drei halbe mal ist das ergibt 5 halbe S 8 t minus drei halbe mal 2 t ergibt + 5T und die rechte Seite bleibt Null jetzt
7:36 brauchen wir hier noch die 0 und dafür können wir jetzt die dritte Zeile plus 5 mal die zweite Zeile nehmen und in die
7:50 dritte Zeile eintragen dann bleiben die ersten beiden Zeilen wieder stehen zwei R plus s plus 2 t - 1/2s - T
8:03 = 0 für halbe s minus 1/2s mal 5 das ergibt 0 also können wir es weglassen dann 5 t minus 5 mal t vergibt auch 0 also haben wir hier
8:17 auf der linken Seite insgesamt 0 und auf der rechten Seite ist das ganze auch neu so jetzt haben wir nur noch die erste und die zweite Zeile mit dem wir weiter
8:28 arbeiten können und hier können wir in der zweiten Zeile das nach einer Variable umformen dazu habe ich mir jetzt das S ausgesucht also wir formen
8:40 das Ganze nach essum jetzt können wir das T mit plus rüberbringen dann steht auf der linken Seite minus einhalb es gleich t jetzt können wir auf beiden
8:52 Seiten mal -2 nehmen und dann steht auf der linken Seite S und auf der rechten Seite -2 t das können wir jetzt für das S in der ersten Zeile einsetzen dann
9:05 steht da 2 R minus 2 t also das was wir hier rausbekommen haben und dann plus zwei t das ist 0 und hier minus zwei t plus 2 t
9:22 = 0 dann steht da 2 r + 0 = 0 also 2 r = 0 und das Ganze durch 2 ergibt er = 0 dann haben wir die Werte r = 0 s
9:39 = -2 t und t haben wir als Tee gelassen hier können wir jetzt für Tee Zahlen einsetzen die sind frei wählbar werden wir zum Beispiel für Tee 1 einsetzen
9:51 dann hätten wir für r 0 für s minus zwei mal eins ist -2 und für t die 1 ihr könnt natürlich auch ganz andere Zahlen einsetzen auf jeden Fall
10:06 wäre das eine Möglichkeit diese Gleichung was wir vorhin hatten hier zu lösen und jetzt können wir die Zahlen für RS und T einsetzen und dann bekommen
10:19 wir den Nullvektor raus also er war ja 0 mal jetzt zwei drei drei es war -2 also können wir direkt minus 2 mal
10:32 1.14 hinschreiben und dann t war ja 1 also plus einmal zwei zwei acht und das Ganze ergibt dann
10:45 den Nullvektor also sind diese drei Vektoren linear abhängig oder auch komplett nah und wie sieht das Ganze aus wenn die drei
10:56 Vektoren die ihr unabhängig sind oder nicht wir zeichnen jetzt wieder mal eine Ebene
11:05 jetzt liegen zum Beispiel zwei Vektoren auf dieser Ebene aber ein Vektor liegt nicht auf der Ebene sondern die steht so da drauf wenn wir so einen Fall haben
11:16 dann sind die linearunabhängig oder nicht komplett nach wir können jetzt wieder ein Zahlenbeispiel nehmen also er mal
11:27 zwei drei plus s mal 214 plus T x 2,8
11:41 und das ganze muss ja 0,00 ergeben damit es linear abhängig ist jetzt überprüfen wir das ganze wieder das sind jetzt die drei Gleichungen wir wollen ja hier
11:51 wieder Nullen erzeugen und dafür überlegen wir uns wieder wie wir vorgehen also wir könnten ja von der zweiten Zeile wieder
12:03 drei halbe mal die erste Zeile abziehen dann bleibt die erste Zeit stehen
12:12 in der zweiten Zeile haben wir hier an dieser Stelle 0 weil 3r-3 halbe mal 2 r = 0 also können wir es auch weglassen
12:23 dann steht hier es minus 3/2 mal 2S und das ergibt -2s hier haben wir 2 t minus 3,5 * 2 t und das ergibt minus t
12:42 und auf der rechten Seite wieder die Null die dritte Zeile können wir auch wieder abschreiben
12:51 jetzt können wir von der dritten Zeile drei halbe mal die erste Zeile abziehen und das sind die dritte Zeile eintragen dann können wir erstmal die ersten
13:02 beiden Zahlen abschreiben 4S minus drei halbe mal 2S ergibt es 8 -
13:18 3/2*2 T ergibt 5T und die rechte Seite ist wieder 0 jetzt möchten wir noch das S wegbekommen also können wir ja die dritte Zeile plus
13:31 die Hälfte der zweiten Zeile nehmen also schreiben wir die ersten beiden Zahlen wieder ab
13:42 S - 2S mal ein halb ergibt 0 also können wir das Weglassen 5T - T mal 1/2 ergibt 9 1/2 t und auf der rechten Seite haben wir wieder die 0
13:58 jetzt können wir die dritte Gleichung nach Tee umformen dafür müssten wir die 0 durch 9 halbe teilen und das ergibt für t = 0 das
14:08 können wir jetzt in die zweite Zeile einsetzen dann steht da -2s - 0 = 0 also -2s = 0 und das umgeformt nach S da müssten
14:22 wir die 0 durch die -2 teilen und das ergibt 0 also es ist gleich null jetzt können wir t = 0 und S = 0 in die erste Gleichung einsetzen dann steht da zwei R
14:35 plus 2 mal s also 2 * 0 wäre 0 plus 2 mal t also zwei mal 0 wäre wieder 0 = 0 dann haben wir zwei r = 0 und das nach R umgeformt dann müssen wir die 0
14:51 durch 2 teilen also ist unser r 0 und da wird den Fall haben dass alle drei Variablen also er = 0
15:00 = 0 und T = 0 ist sind diese Vektoren die näher unabhängig oder nicht komplett so das war's dann zu dem Thema lineare Abhängigkeit und
15:10 Unabhängigkeit ich hoffe das hat euch weitergeholfen und wir sehen uns dann das nächste Mal macht's gut