Monotonieverhalten bestimmen: So geht's! - Studyflix
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Transkript (automatisch erstellt)

0:01 Du möchtest wissen, wie du das Monotonieverhalten einer Funktion bestimmen kannst? Dann bleib dran. Schau dir einmal diesen Grafen an. Mit dem
0:09 Monotonieverhalten beschreibst du, wann der Graf steigt oder fällt. Um die Monotonie zu berechnen, schaust du dir immer die erste Ableitung der Funktion
0:18 an. Gilt f str von x 0, dann ist die Funktion strengmonoton steigend. Gilt dagegen f(x) kle 0, dann ist die Funktion strengmonoton fallend.
0:32 Aber wie kannst du das Monotonieverhalten rechnerisch bestimmen? Schau dir das direkt an einem Beispiel an. Du möchtest das
0:39 Monotonieverhalten von der Funktion f(x) = 2x hoch 3 - 3x² bestimmen. Dazu gehst du folgendermaßen vor. Als erstes bildest du die erste Ableitung
0:51 der Funktion. Das geht hier ganz einfach mit der Potenz und Faktorregel. Du erhältst f x = 6x² - 6x. Jetzt bestimmst du die Nullstellen der
1:03 ersten Ableitung. Setze dazu f(x) = 0 und löse nach x auf. Mit Hilfe der Mitternachtsformel erhältst du x1 = 0 und x2 = 1. Das sind die Extremstellen
1:16 des Grafen. Gut gemacht. Jetzt möchtest du herausfinden, ob es sich bei deinen Extremstellen um Hoch oder Tiefpunkte handelt. Wenn du kurz
1:27 wiederholen willst, was das ist, haben wir dazu ein eigenes Video. Um Hoch oder Tiefpunkt zu bestimmen, brauchst du die zweite Ableitung von F. Du bekommst sie,
1:36 indem du F noch mal ableitest. F2 = 12x - 6. Anschließend setzt du die Nullstellen von F in F2 ein. Du erhältst f2- 0 = -6
1:51 und f2 von 1 = 6. Ist die zweite Ableitung negativ wie bei x = 0, hast du einen Hochpunkt. Ist f2 positiv wie bei x = 1, hast du einen Tiefpunkt.
2:06 Super, jetzt bist du fast am Ziel. Du musst deine Ergebnisse nur noch grafisch interpretieren. Du weißt, dass der Graf bei x = 0 einen Hochpunkt hat.
2:16 Das bedeutet, er steigt bis dahin und fällt anschließend wieder ab. Du weißt außerdem, dass dein Graf bei x = 1 Tiefpunkt hat. Das bedeutet, der Graf
2:26 fällt nur bis dorthin. Danach wird er wieder steigen. Gar nicht so schwer, oder? Wenn du das Berechnen der Ableitungen
2:37 lästig findest, dann gibt es auch noch eine praktischere Methode für dich, die Monotonietabelle, denn hier benötigst du nur die erste
2:44 Ableitung. Schau dir das gleich mal an dem Beispiel f(x) = 2x hoch 3 - 6x an. Zuerst berechtest du auch hier f(x), das ist
2:55 6x² - 6. Danach bestimmst du die Nullstellen von f. Durch Umformungen erhältst du x1 = -1 und x2 = 1. Jetzt kommt die Monotonietabelle ins Spiel.
3:09 Dazu schaust du zuerst, in welche Intervalle die Nullstellen den Grafen unterteilen. Hier hast du einerseits das Intervall, das von unendlich bis -1
3:18 geht, das Intervall zwischen den Nullstellen -1 und 1 und das Intervall von 1 bis plus unendlich. Jetzt füllst du die Tabelle aus, indem
3:27 du aus jedem Intervall einen Wert nimmst und ihnen f(x) einsetzt. Ein Wert aus dem ersten Intervall ist z.B. -2. Für f von -2 erhältst du +1. Das Vorzeichen
3:41 übernimmst du in deine Tabelle. Aus dem Intervall -11 1 kannst du die 0 nehmen. f0 -6. Deshalb schreibst du ein Minus in die Tabelle. Für das letzte Intervall
3:53 kannst du die 2 verwenden. f 2 + 18. Du übernimmst also das Plus. Super, du musst deine Tabelle nur noch interpretieren.
4:05 Das Plus für das Intervall minus unendlich bis -1 sagt dir, dass der Graf dort steigt. Im Bereich zwischen -1 und 1 wird er fallen. Das siehst du am minus
4:15 und im Intervall von 1 bis plus unendlich steigt er wieder. Super. Jetzt kennst du dich mit dem Monotonieverhalten bestens aus.
4:26 Die Monotonie ist Teil der Kurvendiskussion, bei der du das Aussehen eines Grafen untersuchst. Du möchtest alles Wichtige zur
4:33 Kurvendiskussion zusammengefasst haben? Dann schau dir doch gleich unser Video dazu an. Dir hat das Video gefallen? Für mehr kostenlose Videos komm auf
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