Umkehrfunktion
mathemagazin
https://www.youtube.com/watch?v=Vdj-5VZQthg

Transkript (automatisch erstellt)

0:00 Hi und herzlich willkommen im Mathemagazin. Thema in diesem Video die Umkehrfunktion und wir schauen uns zu Beginn erstmal
0:09 an, was denn überhaupt Voraussetzung dafür ist, dass wir eine Umkehrfunktion bilden können. Und zwar unsere Ausgangsfunktion,
0:21 auf die wir die Umkehrfunktion bilden wollen, muss oder darf zu jedem Y Wert maximal einen X-Wert haben. Das heißt wiederum, dass der Graf zu
0:39 dieser Ausgangsfunktion streng monoton ist, also entweder steigend oder fallend und demzufolge die Ableitung des
0:51 Ausgangsgrafen oder der Ausgangsfunktion darf entweder nur größer Null sein, also strengmon steigend oder nur kleiner null sein, also strengmon fallend. So, jetzt
1:02 ist das ziemlich theoretisch und genau das schauen wir uns jetzt mal anhand eines Beispiels an. Ich habe hier einen Graf gewählt, können man jetzt
1:13 sagen, z.B. x² liegt dahinter. Und jetzt sehen wir, wenn wir uns den kompletten Graf anschauen, dass wir z.B. hier an dieser Stelle
1:26 zwei X-Werte haben, die zu diesem Y Wert führen und somit wäre hier die Voraussetzung
1:36 nicht erfüllt. Und was hat das jetzt mit diesem Strengmon steigen oder fallen zu tun? Na ja, wir sehen, wenn wir zu einem YW Wert
1:47 2 X-Werte haben, dann sind wir einmal fallend und einmal steigend. Kann auch andersrum sein. Wenn wir z.B. sowas
1:58 nehmen, dann sind wir steigend fallen. Aber auf jeden Fall haben wir einen fallenden und einen steigenden Anteil. Wenn wir
2:08 das Ganze jetzt so in eine Umkehrfunktion geben würden, eine Umkehrfunktion ist nämlich die Spiegelung
2:17 an der Winkelhalbierenden des ersten und dritten Quadranten. Man nennt das auch y = X. Und dann bekämt man nämlich so
2:27 etwas. Also das hier daran spiegeln wird zu dem. Und jetzt hat man folgendes Problem, dass man eben aus diesem Y 2x-Werte
2:42 wird. Wir haben jetzt bei diesem X-Wert 2y Werte und das ist keine eindeutige Zuordnung mehr.
2:54 Hier fehlt der y strich und wir brauchen um eine gültige Funktion zu
3:06 haben, eine eindeutige Zuordnung. Das heißt, ein X-Wert oder dieser X-Wert darf nur einen y Wert haben, sonst macht das
3:15 Ganze ja keinen Sinn. Und demzufolge müssen wir ein bisschen was an dieser
3:26 Funktion ändern oder anpassen. In dem Fall ist es, wir definieren das Ganze nur hier bis zur
3:36 Y-Achse, also nur für den positiven Bereich. Wir könnten auch nur den negativen Bereich nehmen. Das würde auch gehen.
3:45 Also, wir passen die Definitionsmenge an. streichen das hier somit weg. Da liegt jetzt kein Graf mehr. Und jetzt haben
3:52 wir zu jedem Y Wert nur einen X-Wert. Und demzufolge, wenn wir das jetzt umkehren, also wieder hier dran spiegeln,
4:04 haben wir zu jedem X-Wert nur einen oder so nur einen y Wert. Und somit haben wir eine gültige Funktion und das nennt man dann die
4:18 Umkehrfunktion. Die Umkehrfunktion wird mit f hoch -1 angegeben. Wie kann man denn Umkehrfunktionen bestimmen? Den einen Teil haben wir ja
4:31 gerade schon gesehen, gehen wir jetzt aber noch mal ein bisschen genauer ein und zwar grafisch.
4:37 Das heißt, wir spiegeln an der Winkelhabierenden des ersten und dritten Quadranten. Diese hatten wir da oben schon.
4:47 Hier sehen wir es ja auch noch mal. Ist y = X. Heißt, wenn wir hier in blau unsere Ausgangsfunktion haben oder den Graf ausgangsfunktion f und wir
5:03 spiegeln jetzt da dran. Erstmal müssen wir überprüfen, haben wir denn zu jedem Y Wert auch nur einen X-Wert?
5:11 Ja, wir haben immer nur einen X-Wert. Und das kann man eben auch damit überprüfen, sind wir strengmon steigen oder fallen? Wir sind streng monoton
5:24 steigen und dem Fall können wir umkehren. Das heißt, wir spiegeln jetzt daran und dann schaut das Ganze so aus.
5:34 Der Gra f hoch -1, das ist dann der türkisene. Was passiert, wenn wir umkehren? Dann dreh sich auch Definitions und
5:44 Wertemenge um. Das heißt, die neue Definitionsmenge, also die Definitionsmenge von unserer Umkehrfunktion
5:54 ist die Wertemenge unserer Ausgangsfunktion. Und die Wertemenge unserer Umkehrfunktion ist die Definitionsmenge
6:04 unserer Ausgangsfunktion. Das ist die grafische Bestimmung. Schauen wir uns noch mal die
6:10 rechnerische Bestimmung an. Und zwar muss man da zwei Schritte unternehmen. Erster Schritt X und Y vertauschen. Zweiter Schritt nach ylösen.
6:23 Man kann auch, sage ich auch dazu, diese Schritte rumdrehen, dass man im ersten Schritt dann aber nach x auflösen und dann im zweiten Schritt x und y
6:34 vertauschen. Das ist auch möglich. Gehen wir jetzt mal so vor, dass wir im ersten Schritt x und y vertauschen. Wir
6:42 haben 3 dur x - 1. Wenn wir das mit y schreiben, anstatt mit fon x, haben wir y = 3 dur x - 1. Jetzt vertauschen wir x und y, dann haben wir x = 3 dur y - 1.
6:58 Und jetzt das ganze wieder nach y auflösen, weil nur dann ist es ja eine Funktion. Also haben wir das mal das
7:07 = 3 gee dur x dann- äh dann + 1 und dann bekommen wir als Umkehrfunktion f hoch -1, also y = 3 dur x + 1.
7:25 Wenn man das ganze grafisch bestimmt, dann hat man natürlich nur den Graf. Wenn man das Ganze rechnerisch bestimmt, bekommt man den Term der Umkehrfunktion.
7:33 So und das war's von mir zu diesem Thema. Ich hoffe, ich konnte dir weiterhelfen und jetzt viel Spaß beim Verstehen. Ciao.