Vollständige KURVENDISKUSSION Beispiel – gebrochen rationale Funktionen untersuchen
MathemaTrick
https://www.youtube.com/watch?v=UzjNEhpSNqA

Transkript (automatisch erstellt)

0:00 hallo ihr lieben heute möchte ich eine vollständige kurvendiskussion mit euch durchgehend von dieser gebrochen rationalen funktionen und so eine
0:08 kurvendiskussion ist ja ganz schön umfangreich ich habe jetzt mal alle punkte auf geschrieben die es irgendwie gibt wir gehen auch jeden einzelnen
0:15 schritt gemeinsam durch es kann aber sein dass sie nicht alle punkte abarbeiten müsse klickt euch dann einfach nur tiere aus sie ihr für eure
0:23 kurvendiskussion braucht wir starten mit der definitions menge beide definitions mengen schnappen wir uns unsere funktion und schauen welche zahlen probleme
0:33 bereiten können mathematisch gesehen also die definitions menge ist ja normalerweise alle reellen zahlen also alles erlaubt außer ein paar zahlen die
0:44 vielleicht probleme bereiten und bei so einem bruch können des zahlen seien die hier im nenner für die null sorgen also wenn der nenner 0 werden würde würden
0:54 wir durch 0 teilen und das dürfe natürlich nicht deswegen schnappen wir uns den nenner diese sex +3 und schauen einfach mal wann geht der denn gleich
1:03 null für welche achse wird er nicht gleich null das stellen wir jetzt nach xo -3 rechnen und dann steht da ex gleich -3 und dann wissen wir wenn wir
1:14 für x3 einsetzen würden würde der nenner 0 werden und das darf eben nicht passieren deswegen müssen wir die -3 aus der definitions menge rausnehmen so
1:24 macht man das ja und damit hätten wir unseren ersten punkt schon abgehakt und können zum zweiten punkt gehen die null stellen da es ist ja so dass man sich
1:34 auch wieder seine funktion schnappt und diese gleich null setzt um die null stellen zu finden jetzt sieht so eine gleichung mit so einem riesigen bruch
1:45 immer ein bisschen gruselig aus allerdings ist es gar nicht so schlimm denn direkt im ersten schritt würden wir jetzt mal mit den nenner multiplizieren
1:52 damit dass alles da unten rauskommt und auf die andere seite gibt da steht nun mal das ganze hier und es bleibt einfach bei null und die rechte seite sind jetzt
2:04 viel schöner aus denn dieses x3 ist der weg weil wir damit multipliziert haben und nur das was insider stand bleibt dann auch noch deswegen hat keine angst
2:14 vor solchen brüchen wenn ihnen die null stellen sucht in einer mit einer multiplikation ist der nenner weg und ihr habt eine ganz normale quadratische
2:24 funktion hier jetzt die wir mit der pq formel zum beispiel nach iks auflösen können ihr könnt auch die mitternacht formel oder abc formel benutzen je
2:34 nachdem was ihr so verwendet pico formel wäre das wäre hier die zahl vor dem extras wer unsere zwei und hinten um so q/d kennt ihr bestimmt deswegen hüpfen
2:45 war da nur schnell drüber was hätten wir da - p halbe also zwei halbe wäre einsplus - wurzel aus zwei halbe zum quadrat das
2:59 sind auch immer noch 1 und hinten hätten wir - das kku -1 was haben wir dann unter der wurzel stehen 1 zum quadrat ist eins minus 1 während 0 wurzel aus 0
3:13 hätten wir hier also das ist null also kriegen wir nur eine null stelle nämlich - 1 weil minus 10 bis minus 1 und minus 1 - 0 ist auch wieder sein das ist
3:27 unsere einzige 0 stelle merken wir uns immer mal also merkt euch die schritte die er gemacht hat was ihr über eure funktionen so rausgefunden haben
3:35 wozu kann man damit man argumentieren dann sehen wir auch gleich das waren erst mal die null stellen dann der dritte punkt schnittpunkt mit der y
3:44 achse was müssen wir da machen ist super easy man kann sich einfach mal kurz noch überlegen was wir da überhaupt wollen wir wollen wissen schneidet meine oder
3:53 wo schneidet meine funktion die y achse und das ist ja die stelle wo man x0 es also wenn x0 ist bin ich genau hier auf der y achse und wenn ich das
4:08 jetzt einfach ausrechnen kriege ich den wert also ich setze für jedes xi drin 0 1 und berechne dann einfach das was rauskommt das hätten wir da 0 zum
4:18 vertrages 02 00 bis 01 würde da bleiben und hier auch 0 eingesetzt 03 ein drittel wäre unser schnittpunkt
4:30 mit der y-achse also die punkte haben anfang die lassen sich relativ schnell abarbeiten vierter punkt symmetrie bei der symmetrie untersuchen wir die
4:40 funktion jetzt auf achsen symmetrie also dass rechts und links im grunde dasselbe passiert oder wir untersuchen auf punkte metro oder graf zum ursprung symmetrisch
4:55 lassen jetzt muss man bei der symmetrie normalerweise bedingungen untersuchen also man untersucht ob es von ex dasselbe ist wie
5:03 f von -6 das würde bei axel symmetrie der fall sein oder man untersucht ob es von -6 dasselbe ist wie - elf von ex das wäre für die punkt symmetrie kammern
5:17 untersuchen wenn ihr das damit machen müsst dann nachts aber es gibt eine schnellere variante hier man kann nämlich zum beispiel mit den nun stellen
5:25 argumentieren habt ihr euch gemerkt dass wir nur eine einzige 0 stelle gefunden haben nämlich bei minus 1 und wenn der graf jetzt axel
5:34 symmetrisch oder punkt symmetrisch wäre dann müsste auch auf der anderen seite eine null stelle gewesen sein also für achsen symmetrie sind wir hier wenn hier
5:43 der neue stelle ist dann muss hier auch eine sein und funktionieren wenn man einen grafen hat der haltestelle hat ist es halt genauso mit null stellen also
5:51 die müssen auf beiden seiten gleichmäßig verteilt sein und das ist hier nicht der fall also kann man einfach hin schreiben - 1 ist die einzige 0 stelle deswegen
6:01 hat man keine einfache symmetrie hier vorliegen gut dann hätten wir die abgehakt nummer 58 im toten meer liebt sie nicht bei den assen toten gibt es
6:13 jetzt verschiedene die wir unterscheiden müssen lasst uns erst mal mit den senkrechten assim toten starten wenn euer graf zum beispiel so aussehen
6:24 würde dann hätten wir hier an dieser stelle eine senkrechte symptome also eine linie die von oben nach unten senkrecht runter läuft und an die sich
6:36 der graf hier so schön dann anschmiegt von beiden seiten das wäre eine senkrecht aus dem tod und die findet man indem man auf die definitions lücken
6:46 schaut wir haben ja schon herausgefunden wir haben die definitions menge ja ganz am anfang gemacht und da haben wir herausgefunden dass die so aussieht also
6:56 dass die -3 nicht definiert ist und dann kann die -3 eine senkrechte also tote sein also ich mal auf das xx gleich -3 können wir so was haben wir müssen nur
7:11 jetzt noch eine sache überprüfen und zwar müsste die -3 noch einmal in den zähler einsetzen da darf nicht null rauskommen also lass uns das noch machen
7:22 wir würden es da einsetzen - drei zum quadrat plus zweimal -3 und hinten noch die plus1 was kommt da raus 9
7:34 -6 +1 wären vier kommt heraus okay das ist in ordnung also wenn da irgendwas ungleich nur rauskommt dann haben wir automatisch eine senkrecht aus dem tod
7:45 wenn da jetzt gleich null rausgekommen wäre dann weiß man nicht ob es eine senkrechte asyl tote ist dann könnte es auch eine hilfe sein aber lassen was
7:55 einfach noch so dastehen das ist eine senkrecht aus dem tote ist bei uns jetzt in dem fall und dann hätten wir auf jeden fall schon
8:03 mal eine senkrechte aus dem toto gefunden mit der definitions menge also so findet man die senkrechten dann gibt es jetzt hier aber auch noch eine andere
8:10 aus dem tod denn zum beispiel könnte sich der graf auch irgendwie schauen ob ich das hier hinkriegt dass er sich so
8:21 schräg an irgendwas anschmiegt war das ist schon mal direkt sehen kann der soll sich hier schön anschmiegen wer sagt da sehen wir dass der graf sich
8:34 hier an diese schräge linie anschmiegt und die kann auch vorkommen dass gehört auch zu den attentaten dass man das untersucht und das sieht man daran dass
8:45 hier wenn wir uns den größten exponenten im zähler anschauen dann ist das die 2 wenn wir uns den größten exponenten männer anschauen dann ist es die 1 und
8:55 die sind genau 1 auseinander also oben er ist größer und größer dann weiß man automatisch dass man so eine schräge als symptome bekommt ich habe auch noch ein
9:04 extra video zu symptomen gemacht also schaut euch das dann lieber an wenn ihr da so richtig tief rein gehen wollten das ganze hier preis ich das jetzt
9:12 einfach nur an wie man das so grob untersucht wie finden wir diese gleichung für diese schräg aus dem tote jetzt durch politik um die mission also
9:22 wir schnappen uns unseren zähler und ganz klassisch so wie es da ja auch steht teilen wir das hier der bruch streich als er durch diese six
9:34 +3 und ich brauche jetzt ein bisschen platz denn wir müssen jetzt folgen die vision haben okay iks quadrat durchwegs wäre es als ergebnis jetzt wird zurück
9:47 multipliziert also diese six muss er jetzt mit der ganzen klammer hier multipliziert werden x-mal iks wäre nix quadrat und x-mal 3 während 3x das
9:59 schreiben wir hier unten drunter und ziehen das jetzt von dem da oben apex quadrat - quadrat fällt weg 2x - 3x wären - ein ickx und die plus1 hinten
10:13 die wird mit nichts verrechnet die kommt einfach mit runter und dann geht das ganze von vorne los - iks durch iks wären - 1 - 1 x iks wären sechs und
10:27 minus 1 x 3 wären - 3 dann ziehen wir das von denen da oben ab - xxxx 40 weg 1 - -3 also eins plus 3 wären 4 wir haben jetzt die so ein rest
10:47 rest vier weil wir können jetzt nicht noch mal durch extra deswegen könnte man jetzt einen rest glied hintendran schreiben also dass man im grunde
10:54 hintendran schreibt 4 durch diese komplette klammer x3 käme jetzt als rest hier hinten dran was uns jetzt aber nur interessiert ist das was wir hier vor
11:07 diesem bruch stehen haben das ding hier das ist jetzt automatisch unsere schräge aus dem tote also y gleich iks -1 ist unsere gesuchte als symptom mit polen um
11:21 die vision könnt ihr diese schrägen aus dem toten finden und dann die gleichung davon gut merken wir uns auf jeden fall haben wir jetzt abgehakt jassem toten
11:31 sehr gut punkt 6 das grants verhalten da haben wir auch einiges zu tun und wir merken uns die symptome die hilft uns hier jetzt nämlich auch dabei
11:42 beim grenz verhalten oder wir haben gerade eben gesehen die aus dem tote ist das oder die schwaigers im tote ist das woran sich unsere funktion anschmiegt
11:52 also wir wissen noch nicht genau wie sie aussieht aber wir wissen sie schmiegt sich an die symptome an im unendlichen also bei plus unendlich und - endlich
12:02 hat es ist doch super gut denn beim trends verhalten muss ich ja den grenzwert für ex gegen endlich untersuchen und den grenzwert für ex
12:11 gegen - unendlich von meiner funktion stadt meiner funktion kann ich jetzt im unendlichen dann halt auch die symptome benutzen weil wir wissen dass sie eine
12:22 tote ist also dass ich unsere funktion genau da anschmiegen wird das heißt statt meiner funktion nehme ich diesen vereinfachten teil nämlich das x1 und
12:32 berechnet davon den grenzwert ist nämlich um einiges angenehmer wenn nix gegen unendlich läuft dann hätten wir hier unendlich -1 also das bleibt bei
12:42 unendlich und hier unten wenn ich es ging - und endlich läuft dann läuft es ging - unendlich - die einst noch dazu das bleibt
12:52 endlich also die grenzwerte können mit der symptome um einiges vereinfacht werden das ist sind jetzt aber nicht die einzigen krems werte die wir untersuchen
13:02 müssen denn wir hatten ja noch eine senkrechte kasim tote also alle aus dem toten hier findet von all denen müsst ihr dann den grenzwert auch bestimmen
13:12 und das ist jetzt die symptome bei ex gleich -3 das war diese senkrechte dem tote die von oben runter läuft bei -3 und da müssen wir jetzt
13:25 auch schauen was macht unsere funktion läuft die gegen - unendlich oder plus unendlich das sind übrigens die einzigen beiden varianten die bei so einer
13:32 senkrechten symptome vorkommen können also entweder lösen endlich oder - unendlich wir müssen also entscheiden läuft unsere funktion gegen plus oder
13:42 minus unendlich wenn wir uns an die -3 annähern und anni -3 wir hier schon sät kann man sich entweder von rechts annähernd das verdient man hier mit so
13:53 einem kleinen er oder mit einem plus je nachdem wie ihr es macht schreibt es einfach so hin oder man kann sich an die - drei von links annähern seht ihr hier
14:05 entweder wir kommen von rechts da ist in unserem beispiel haut die funktion gegen unendlich ab oder wir kommen von links da ist jetzt in unserem beispiel gegen -
14:14 endlich wieder es da jetzt aussieht müssen wir noch nicht haben wir noch nicht berechnet müssen jetzt aber machen wir
14:21 wissen es kann nur entweder unendlich oder - unendlich auskommen notieren wir schon mal die unendlich zeichen und entscheiden uns dann jetzt
14:32 gleich ob es ein plus oder ein minus unendlich wird da können wir jetzt einfach folgendermaßen vorgehen wenn wir rechts uns erstmal den ersten kümmern
14:43 rechts neben dran sind ja im sozialen bekommen wir von der - 1 - 2 und gehen ganz nah an die minus 3 ran also zum beispiel können wir uns eine zahl
14:52 rauspicken zum beispiel zahlen minus 2,9 da sind wir relativ nah an der -3 dran aber rechts neben dran und dann nimmt er diese zahl setzt die hier ein- und
15:04 rechnet das ding einfach aus wenn ihr das macht kommt man auf 36,1 die zahl ist uns völlig egal uns geht es nur darum ist das eine positive
15:14 zahlen oder es ist eine negative zahl wenn es eine positive zahl ist dann wissen wir mit unserem test dass es gegen plus unendlich läuft und dasselbe
15:23 machen wir mit einem testkandidaten wenn wir links von der - 3 die sachen untersuchen also wir kommen hier von minus 5 -4 und gehen so nah an die -
15:35 drei run von links kommend also zum beispiel minus 3,1 wäre links von dem 13 und dann setzen wir das einfach hier in die funktion ein die minus 3,1 rechnen
15:47 dass aus und da kommt minus 44,1 raus für uns nur wichtig ist es negativ und deswegen würde der grenzwertig jetzt gegen - und endlich laufen also mit so
15:57 einer textstelle kann man dann entscheiden ob es ging bis unendlich oder - unendlich läuft wenn wir hier anzahl den grenzwald untersuchen gut
16:07 dann kommen wir jetzt zu einem ganz klassischen schritt nämlich die extrem punkte finden dass unsere funktion immer noch wir brauchen die ableitung um die
16:18 extrem stellen zu finden deswegen gehen wir hier direkt dran und bilden die erste ableitung wie wir haben hier einen bruch und da bräuchten wir die codes
16:29 enten regel oben den teil nennen wir wünschen den nenner nennen wir v und was sagt die patientin regel beim ableiten können wir unten auf jeden fall im
16:40 jänner schon mal v quadrat hinschreiben und oben steht strich mal vsv strich wir bräuchten jetzt also die
16:52 ableitung von und dann noch die ableitung von v erstmal die ableitung von einmal nur den zähler arbeiten da kommt die zwei nach
17:03 vorne also zweimal ex und der exponent wird ein kleiner also aus der 2 in 18 klassen und hier beim nächsten teil da fällt beim ableiten dass ex weg und nur
17:16 die zahl bleibt übrig also die zwei und hinten da ist ja gar kein extrem da fällt die zahl komplett weg aus währung strich dasselbe mit v strich da ist es
17:27 so hier steht ja einmalig beim ableiten fällt das ixs weg und nur die 1 bleibt übrig und die drei hat gar kein xd fällt komplett weg also
17:38 das wären relativ schnell die ableitungen jetzt müssen wir die jetzt hier aber noch einsätzen in die prozenten regel strich war schon immer
17:47 eine klammer drumrum 2x +2 das war gut strich mal frau war der nenner also das x3 auch das schöne klammert dann kommt ein -
18:04 war der zähler auch da eine klammer drumrum ihr habt das prinzip verstanden mit x wo es meint rich 1 das ist nett unten
18:17 der männer wird einmal quartiert also schnappt euch den arsch schreibt in einmal hin eine große klammer drum rum und einmal quartieren das hier ist jetzt
18:27 die art leitung die erste allerdings kann man mit der so noch nicht rechnen also lasst uns die erst mal noch ein bisschen vereinfachen hier steht sie
18:35 noch mal wir lösen clan auf und fassen zusammen generell bevor ihr klammern auflöst schaut immer mal ob er etwas kürzen
18:45 könnte also das x3 ist ja hier einmal drin da unten ja auch aber hier ist ein - das x3 ist nicht mehr hier hinten drin also da kann man es dann nicht raus
18:55 kürzen ihr könnt jetzt nicht dass da mit einem hier unten kürzen weil hier eine summe die differenz ist und daraus darf man ja nichts kürzen deswegen bleibt uns
19:04 nichts anderes übrig als aus dem und speziellen 2x x iks wäre 2x quadrat 2x mal
19:13 36 62 x iks 1 2x und zweimal drei sind sechs hier hinten haben wir mal eins gut das kann man auch weglassen können wir direkt die - klammer hierauf lösen also
19:26 - quadrat - 2x und -1 unten lasst den nenner so dastehen löst den nicht auf man kann dann bei der
19:42 zweiten ableitungen im normalfall immer noch kürzen deswegen lass den sodass stehen nur den zähler jetzt noch ein bisschen zusammenfassen 2x quadrat ex
19:51 quadrat werden einiges quadrat 6x und 2x sind 8x 2x sind weder 6x und die zahlen 6 -1 wären fünf unten hätten wir dieses kleine päckchen das lassen wir so stehen
20:07 das ist unsere erste ableitung wir brauchen für die extrem stellen aber noch die zweite ableitung deswegen schnappen wir uns unsere erste ableitung
20:17 und leiten die nochmal ab wir sind ja jetzt geübt in dem ganzen auch wieder mit quotienten regel oben der teil ist unser unten der komplette teil mit dem
20:28 quadrat ist unser v wir brauchen für die zweite ableitung kann die patientin regel die sagt wir eben auch ulrich x h x v strich und unten denn er wird
20:42 kritisiert dann bilden wir jetzt mal strich wie eben auch die zwei kommt vorne dran hätten wir da 2x stehen und das eichsfeld einfach weg beim ableiten
20:54 aber die sechs bleibt stehen und hinten die zahl fällt komplett weg strich machen auch easy v strich da haben wir jetzt so eine verkettete funktion müssen
21:05 wir nur ein bisschen aufpassen wie das geht und zwar ist ihr das mal ganz kurz hier unten dass wir ein bisschen was markieren können wir haben
21:15 hier eine innere funktion dieses x3 und wir haben eine äußere funktion und da braucht man die ketten regel zumindest müsst ihr dran denken
21:27 dass ihr die ketten regel vielleicht gebrauchen könnt hier leiten wir erstmal das äußere das grüne ab das würde bedeuten die zwei kommt
21:35 vorne dran also zweimal diese klammer und die hoch zahl wieder als kleiner gemacht in der klammer fassen wir gar nichts an die kommt einfach so da rein
21:46 das ist ja die äußere ableitung gewesen und die wird jetzt noch multipliziert mit der inneren ableitung also nur dieses x3 einmal ableiten die drei fällt
21:58 weg und iks abgeleitete steht ja ein x iks der platane 1 übrig also an die ketten regel denken ich eine aufgabe ist echt viel zug drin
22:09 ok dann lasst uns das mal aufschreiben strich ist 2x +6 schön in klammern x v das war dieser wunderschöne gnade vorherige mit dem quadrat nicht
22:25 vergessen - war der riesen zähler und frau es hat mir da frau strich für strich
22:36 strich das ding da hinten erstmal eins kann man auch weglassen dann müssen wir nicht so viel schreiben 2 x iks +3 und unten nicht vergessen wir müssen jetzt
22:48 noch mal quartieren also so wie das da stand die 6 plus 3 in amman zum quadrat müssen wir jetzt nochmal quadri an also da steht zwar schon ein quadrat aber wir
23:01 müssen noch mal quartieren vergisst man gerne halt so da steht das ding was wir jetzt gerade eben gemacht haben da dürfen wir jetzt dran dass ein bisschen
23:09 zu vereinfachen und da kommt jetzt das ins spiel was ich euch eben gesagt habe schaut ob ihr was kürzen könnte wir haben hier ein großes - wenn jetzt in
23:20 allen teilen also in diesem teil und in diesem teil etwas drin ist was unten auch drin ist dann können wir kürzen und wir sehen dass hier ein x3 drin ist hier
23:33 sind ex +3 drin und und mir halt auch deswegen können wir eins von diesen dreien rausziehen und kürzen also lasst es uns ausklammern eins von diesen
23:44 explosionen und was ist dann noch übrig hier dieser teil hier vorne also dieses 2x plus 6 x 1 von diesen dreien haben wir schon raus
23:57 gezogen das zweite muss jetzt dann noch hier drin bleiben dann kommt es - und hier hinten bleibt dann also das x3 hinten haben wir schon raus gezogen dann
24:11 ist nur diese klammer mit dem x 2 noch da und unsinn da können wir schon mal ein bisschen was dann ausrechnen also nicht
24:25 die klammern auflösen aber hoch zwei hoch zwei da werden die hoch zahlen ja miteinander multipliziert also zwei mal zwei wären und jetzt können wir nämlich
24:35 etwas kürzen denn dieses plus 3 ist hier oben einmal mit einem mal und riesen klammer und hier unten können wir dann eins davon weg machen und dann können
24:45 wir noch ein bisschen aus multiplizieren schon mal also 2x x xx quadrat 2x mal drei sind 6x ihr merkt wiederholt
24:58 sich das hat man auch so eine art schon plus 6x noch hier dazu und 6.018 was hätten wir da hinten - kriegen wir das alles jetzt so hin wie glauben
25:10 müssen wir noch mit zwei multiplizieren also - zweimal ex quadrat - 2x quadrat - zweimal sechs wehren - 12x und - zweimal fünf sind - sehen uns
25:25 in hätten wir das da stehen wir machen gerade nur die ableitung extrem punkte obwohl für die wände stellen brauchen wir die zweite ableitung ja sowieso auch
25:34 also da sind wir schon dann auf einem guten weg gut dann vereinfachen wir das jetzt aber noch weiter da stets
25:43 zusammenrechnen zwei grad minus zwei grad hebt sich raus 66 plus 6 sind zwölf x12 xc70 raus 18 - 10 wäre 8 und unten das
25:59 bleibt stehen also die zweite ableitung muss man sagen ist dann doch schöner geworden als man es erwartet hätte gut wir haben die erste und die zweite
26:07 ableitung gemacht jetzt schnappen wir uns die erste ableitung denn wir suchen extrem stellen nur mal so als erinnerung was wir eigentlich wollten wir suchen
26:17 hoch und tiefpunkte und da nimmt man sich ja die erste ableitung und setzt die gleich null so was ähnliches hat man doch heute schon das kann uns jetzt
26:28 nicht mehr shoppen wir multiplizieren einfach mit dem nenner dann fällt der nämlich auf jeden fall schon mal weg 0 x der nenner ist 0 und
26:39 das steht nur die rechte noch der zähler der rechten seite pq formel weil es eben auch schon so schön war dass p ist die zahl bei dem mix dass die zahl bei sie
26:51 alleine steht x12 da hätten wir - p halbe als 6 durch zwei sind drei plusminus wurzel aus sechs halbe sind drei zum quadrat in 9
27:07 -5 ok dann sind es wenigstens schöne zahlen unter der wurzel steht nämlich vier und die wurzel aus vier wäre 2 dann kriegen wir als kandidaten - drei +2
27:20 sind -1 und der zweite kandidat - 3 - 2 wären - 5 wir haben zwei mögliche punkte für extrem stellen also wir erwarten hoch und tiefpunkte vielleicht müssen
27:35 wir noch mit der zweite ableitung überprüfen die haben wir gemacht die sache ja auch schön aus also da packen weil es unsere kandidaten noch rein und
27:43 überprüfen das ob das hoch oder tief punkte sind also die - 1 in die zweite ableitung rein dann hätten wir da stehen acht um
27:52 -1 +3 sind 23 nicht vergessen 8 durch acht sind 1 damit ist die positiv und wir haben einen tiefpunkt so
28:07 siemens positiv ist die zweite ableitung dann kriegen wir den tiefpunkt an dieser stelle und dasselbe testen wir noch mit der zweiten stelle die -5 in die zweite
28:18 ableitung rein und ausrechnen - 53 wären - zwei hoch drei dann kriegen wir diesmal ein minus eins raus die ist negativ und damit haben wir einen
28:32 hochpunkt an dieser stelle sehr gut das sind dann also wir wissen dass wir hier einen tiefpunkt haben und hier einen hochpunkt diese müssten wir jetzt aber
28:43 noch ausrechnen also wir haben die koordinaten davon noch nicht wir wissen nur der tiefpunkt liegt bei minus 1 von der iks koordinate und der hochpunkt
28:54 liegt bei minus 5 von der iks koordinate die y koordinaten müssen wir jetzt noch ausrechnen indem wir die hier in die ursprungsfunktionen einsätzen immer
29:07 schön darauf achten ob ihr strichen sind sind hier keine wir wollen ja koordinaten ausrechnen und da packen wir die -1 hier rein und rechnen dass aus
29:16 dann müsste null rauskommen genauso die -5 da reinpacken ausrechnen da müsste - 8 rauskommen so haben wir unseren tiefpunkt und unseren hochpunkt gefunden
29:29 nach einer gefühlten ewigkeit aber wir haben sie acht bände punkte die können jetzt nicht mehr so schwierig sein wir haben ja
29:40 schon die zweite ableitung gebildet hier steht sie noch mal und für die wendepunkte müssen wir die zweite ableitung nehmen und gleich null setzen
29:50 bildet noch nicht die dritte ableitung weil falls wir keine wendepunkte finden hättet ihr die dritte ableitung umsonst gemacht deswegen schaut erst mal mit der
29:59 zweite ableitung ob wir überhaupt wendepunkte finden wir sind jetzt schon geschult multiplizieren mit dem nenner einmal
30:07 durch ansteht einmal das bis 0 auf der anderen seite steht nur noch der zähler die 80 gleich acht nicht so geil wir kriegen gar keinen wendepunkt also ist
30:18 ja nichts schlimmes erspart uns ein bisschen arbeit es gibt keine wende punkte gut das war dann kommen wir jetzt schon dazu den
30:30 grafen zu zeichnen die punkte danach also die mache ich gern nachdem man den grafen schon gesehen hat dann kann man sie nämlich besser sich vorstellen und
30:39 besser dann abarbeiten deswegen jetzt schon graf zeichnen wir sammeln alles was wir in erfahrung gebracht haben als allererstes haben wir schon festgestellt
30:48 dass unsere definition menge die -3 nicht beinhaltet also bei minus 31 23 haben wir nicht nur eine definitions lücke sondern wussten wir auch schon
30:59 dass wir eine senkrechte aus dem tote bekommen und deswegen zeichnen wir so einen senkrechten strich der reihen der so aussehen sollte ihn schön dann haben
31:10 wir noch eine andere aus dem tote gefunden nämlich diese schräger sind tote die zeit ist mir auch ein also eine gerade mit steigung 1 da kommt jetzt
31:20 alles noch mal ins spiel weil sollen jemals gelernt hat die durch - 1 läuft also ihr könnt hier auf der y-achse auf -1 gehen und dann fünf nach rechts 5
31:32 nach oben damit ihr die steigung 1 hinbekommt und da zeichnet wir eben eine gerade durch die dann auch so in schön aussehen sollte das sind eure assim
31:43 toten was haben wir noch wir haben einen tiefpunkt bei minus 10 dann gehen wir da mal hin - 10 hier wissen wir dass da können wir schon mal
31:56 so andeuten wir wissen nicht genau wohin das dann so läuft aber da können wir schon mal so im tiefpunkt andeuten und den hochpunkt können wir bei minus 58
32:06 hin zeichnen also minus 5 und minus 8 123 ich hier so hin schon mal so andeuten als hochpunkt und wir haben ja die information dass das asyl toten sind
32:19 also dass ich da unsere funktion kann anschmiegen muss deswegen wie so ein lasso könnt ihr euch jetzt von diesen linien anziehen lassen und nicht drüber
32:28 zeichnen nicht überzeichnet also ihr kriegt das definitiv schöner hin einmal so an die linien run hier oben genauso an die linien ran ja und dann sieht das
32:41 ganze in schön so aus das ist doch besser das ist unser graf mit allen informationen die wir bis hierhin gesammelt haben und dann haben wir jetzt
32:51 aber noch drei punkte die wir am grafen jetzt besser abarbeiten nummer 10 monotonie man untersucht jetzt von wo bis wo steigt meine funktion und in
33:01 welchen bereichen falls sie also man muss jetzt intervalle angeben man startet am besten bei - unendlich und schaut was macht die funktion da wenn
33:11 wir hier auf der x-achse von - und endlich kommen da sehen wir die steigt steigt steigt steigt steigt bis hier zum hochpunkt also alles was wir hier machen
33:20 passiert auf der x-achse der hochpunkt war auf der x-achse bei -5 in dem bereich wissen wir bis sie strengen monoton steigend weil sie die ganze zeit
33:32 wächst ab der -5 fällt sie dann also ab der -5 fällt sie bis bis zu unserem toten also bis zu dieser grünen linie die war bei minus 3 wichtig bei der -3
33:49 also achtet hier auf die klammern die ersetzt da müssen wir jetzt wieder eine offene klammer hin machen manche von euch würden dann halt hier auch so eine
33:55 eckige klammern machen die nach außen gerichtet ist also einfach eine offene klammer weil die -3 ja gar nicht definiert ist und nicht angenommen
34:04 werden kann von unserer funktion also da eine offene bei unendlich und - um endlich kommt auch immer noch offen hin die -5 hingegen die ist ja definiert die
34:12 da kommt dann eine eckige klammern in dem bereich fällt unsere funktion also streng monoton fallend dann gehen wir weiter rechts von unserem toten ist
34:23 unsere funktion ja hier oben da fällt sie bis zum tiefpunkt also von dieser grünen linie also von der -3 bis zu unserem tiefpunkt der bei -1 lag fällt
34:37 unsere funktion also strom und feind und ab der -1 bis unendlich
34:46 wächst die funktion wieder also es strengeren steigend das ist halt das schöne das kann man am grafen schön sehen deswegen mache ich die punkte
34:55 gerne nachdem man den grafen schon gezeichnet hat das wäre die monotonie und so ähnlich funktioniert das ganze jetzt im elften punkt mit der krümme wir
35:04 schauen hier jetzt in welchen bereichen haben wir eine rechtskurve in welchen bereichen eine linkskurve wir haben keinen wendepunkt also wenn wir jetzt
35:12 hier in einem bereich sind wissen wir das ist durchgängig so oder ändert sich die krümmung jetzt hier nicht also wenn wir uns hier anschauen was wir hier für
35:20 die krümmung haben stellt euch vor ihr lauft hier lang oder fahrten im auto hier lang stell dich vor was hat der kurve das ist eindeutig eine rechtskurve
35:28 also von - und endlich auch wieder bis zu dem toten also bis zu -3 haben wie eine rechts krümmung rechtskurve und hier da ist jetzt auch ein bisschen
35:43 schritt geht dann bist du immer von links kommend als ihr müsst euch hier so hinsetzen mit eurem auto sozusagen und überlegen wenn ihr hier so auf den kopf
35:50 das glatt anschaut was ist das hier für eine kurve dann ist es ja eine linkskurve also von der -3 bis und es ändert sich denn auch nicht mehr bis
36:02 unendlich hätten wir eine linkskurve soviel zur krümmung vielmehr ist es auch gar nicht und willkommen zum letzten punkt der werte worum geht es da
36:14 jetzt jetzt müssen wir schauen also wir müssen unseren graf angucken zum beispiel hier den punkt und gehen dann zur y achse und seen okay der punkt oder
36:25 der wert hier wird von der von unserem grafen angenommen der wert gehen wir hier zur y achse auch da der mit angenommen der da wird angenommen der
36:35 hier unten wird angenommen dass ist dann der letzte der tatsächlich angenommen wird danach ist erstmal meppener da ist keine funktion hier wenn ihr mal rechts
36:43 und links schaut da ist nix erst wieder hier da geht es dann wieder los und da werden funktions werte angenommen also ihr schaut einfach wo verläuft meine
36:55 funktion und markiert euch diese werte sozusagen auf der y-achse all diese werte werden irgendwo hier von ihrer funktion angenommen und auch hier
37:04 oberhalb all diese werte werden von der funktion angenommen aber es gibt werte die dazwischen liegen wo keine funktion verläuft und die muss man aus der werte
37:15 menge rausnehmen die werte menge sind also alle y aus unseren reellen zahlen für die jetzt was gilt naja entweder unser y muss kleiner sein als hier der
37:29 wert beim hochpunkt der wert beim hochpunkt war - 8 als unser y muss unterhalb von der - 8 liegen oder unser y muss oberhalb von unseren
37:44 tiefpunkt liegen der war bei null also oberhalb der 0 größer gleich null da werden auch alle y werte noch mal angenommen also könnte ruhig so ein
37:53 zeichnen sich das anschauen auch super gut am grafen zu machen abzulesen welche werte wirklich angenommen werden leute wir haben es geschafft das war der
38:05 letzte punkt der kurvendiskussion respekt an alle die jetzt noch da geblieben sind dann würde ich euch noch einen schönen tag und macht es gut bis
38:12 zum nächsten mal