Differenzierbarkeit
mathemagazin
https://www.youtube.com/watch?v=Us8EF5xC4H4

Transkript (automatisch erstellt)

0:00 hi und herzlich willkommen im math magagazin Thema in diesem Video Differenzierbarkeit von Funktionen dazu schauen wir uns mal drei grafische Fälle
0:11 an bisschen vereinfacht dargestellt Fall Nummer 1 wir haben eine Funktion oder einen Grafen einer Funktion und den können wir nicht
0:22 durchgehend zeichnen wir müssen mit dem Stift abheben woanders ansetzen und dann weiterzeichnen das heißt wir sind nicht
0:32 stetig schauen wir uns diesen Grafen an wir haben hier unten eine Art Knick müssen aber nicht abheben und sind somit stetig auch hier
0:43 Art Parabel können einfach durchzeichnen sind stetig so jetzt habe ich ja da unten schon hingeschrieben nicht differenzierbar nicht differenzierbar
0:52 differenzierbar wann sind wir denn differenzierbar und wann nicht differenzierbar wir sind dann differenzierbar
1:00 wenn jetzt steht hier so kompliziertes der differentialquotient der Funktion in dem Punkt x0 in dem Punkt den wir uns
1:12 raussuchen existiert heißt nichts anderes wie wenn wir die Steigung in diesem Punkt berechnen können und jetzt schauen wir uns das
1:21 ganze mal hier an na wir kommen hier springender hoch welche Steigung haben wir jetzt hier in diesem Punkt wir können es nicht
1:31 sagen und deswegen sind wir hier nicht differenzierbar wenn wir nicht stetig sind werden wir nie differenzierbar sein in diesem Punkt das könnt ihr euch
1:43 merken wenn wir hier steätig sind und so ein Knick haben haben wir aber das Problem wir kommen hier mit dieser Steigung rein und gehen mit dieser
1:52 Steigung raus wir haben also sozusagen einen Konflikt wir können uns nicht entscheiden welche Steigung haben wir jetzt wirklich in dies Punkt und somit
2:00 sind wir nicht differenzierbar hier ist alles geschwungen zeichenbar wir müssen nirgendwo springen deswegen
2:10 haben wir auch in jedem Punkt eine Steigung und sind differenzierbar in jedem Punkt das heißt also Differenzierbarkeit
2:21 ist das strengere Kriterium wenn wir also differenzierbar sind sind wir auf jeden Fall auch überall steätig oder wenn wir überall differenzierbar sind
2:30 sind wir überall auch stetig wie schon gesagt wenn wir nicht stetig sind dann werden wir in diesem Punkt auch niemals differenzierbar
2:39 sein wenn wir stetig sind kann es sein dass wir differenzierbar sind es kann aber auch sein dass wir nicht differenzierbar sind
2:49 und jetzt schauen wir uns mal ein Beispiel dazu an und nämlich genau zu diesem Fall f von X g Betrag von X wenn wir uns das grafisch anschauen
3:00 schaut das so aus wenn wir nur x hätten dann wäre das hier würde weitergehen aber dadurch dass wir Betrag haben heißt es wir dürfen keine negativen ywerte
3:09 haben also das wird hier alles nach oben gespiegelt und wir gehen so weg das heißt also für X Werte kleiner 0 lautet unsere Funktion f vonx = - x warum weil
3:24 wenn wir jetzt z.B -2 ansetzen kommt 2 raus -2 2 das Minus macht jedes eingesetzte minus wieder zu einem Plus und wenn wir oder für x größer=ich
3:38 0 ist f von X = x hier das hier so und jetzt wollen wir wissen sind wir hier bei x = 0 differenzierbar wahrscheinlich nicht
3:52 aber das ganze kann man auch rechnerisch sich anschauen wir gehen ja mit dieser Steigung rein und mit dieser raus wir nähren uns mal linksseitig an über
4:03 die hmethode brechen also die Steigung reingehend wir haben h gegen 0 aber h kleiner 0 wie wir es hier sehen also bewegen wir uns auf
4:16 dieser Seite nehmen unsere Formel setzen für x0 die 0 ein und jetzt nehmen wir natürlich als Funktion
4:28 - x wir nehen nehmen jetzt also das hier und setzen 0 + h ein kommt natürlich - h raus ja bei 0 sind wir sowieso 0 also -0
4:40 ergibt - h dur h ist gleich gekürzt -1 das heißt die Steigung reingehend ist -1 schauen wir mal die Steigung rausgehend an man nennt das
4:53 rechtzeitig da ist jetzt der Unterschied h ist größer 0 das ist erstmal gleich jetzt nehmen wir das hier setzen es aber hier ein weil wir ja auf dieser Seite
5:04 sind das heißt wir nehmen diese Funktion hier 0 + h eingesetzt er gibt H- 0 gibt h dur h ist= 1 also haben wir jetzt einen steigungskonflikt wir gehen
5:16 mit -1 rein und + 1 raus und somit sind wir nicht differenzierbar in dem Punkt x = 0 zweites
5:25 Beispiel wir haben eine man nennt das hier abschnittswe te Funktion haben wir hier auch wieder und zwar für 2x oder anders gesagt für die xwerte
5:37 kleiner 4 haben wir die Funk 2x - 6 und für die x-Werte größer = 4 haben wir die Funktion 18 x² das heißt wir schauen uns
5:50 den Punkt x = 4 an so wieder die Formel nehmen wir nähren uns von links an haben h gegen 0 H kleiner 0 und packen für x0 unsere 4 rein und jetzt nehmen wir
6:07 natürlich diese Funktion hier werfen das da rein rechnen das aus und bekommen ist= 2 als Steigung das heißt wir gehen mit der Steigung 2 in den Punkt x = 4
6:21 rein wie gehen wir raus rechtzeitig hier haben wir dann natürlich h größer 0 und das ist weiterhin gleich jetzt nehmen wir aber diese Funktion weil wir ja
6:35 rechtseitig sind bisschen größer als 4 rechnen das aus und bekommen dann eins das heißt also wir gehen mit der Steigung 2 rein und mit der Steigung
6:44 1 raus und sind somit nicht differenzierbar so und das war's von mir zu diesem Thema ich hoffe ich konnte dir weiterhelfen und jetzt viel Spaß beim
6:58 verstehen ciao