Vollständige KURVENDISKUSSION e Funktion – Diskussion e-Funktion
MathemaTrick
https://www.youtube.com/watch?v=UT3uM4D9QVE

Transkript (automatisch erstellt)

0:00 hallo ihr lieben in diesem video möchte ich zusammen mit euch eine vollständige kurvendiskussion durchgehend von dieser funktion ja und da ist eine funktion
0:08 drin das ganze wird auch sehr umfangreich also macht euch gemütlich wir brauchen einiges an zeit um diese ganzen punkte hier abzuarbeiten es kann
0:18 sein dass ihr nicht alle punkte in eurer kurvendiskussion habt manche machen zum beispiel keine monotonie oder so also klickt euch einfach nur die punkte
0:24 heraus die für euch wichtigste schritt eins die definitionsmacht bei der definition menge ist man normalerweise relativ schnell fertig denn es sind
0:34 normalerweise alle reellen zahlen und dann muss man gucken ob man ein paar ausnahmen haus nehmen muss ausnahmen können passieren wenn wurzeln
0:44 drin sind hier sind aber keine wurzeln ok logarithmisch kann zu problemen führen bist ja auch nicht drin die ihre funktion an sich macht gar keine
0:51 probleme also da braucht man auch nichts zu achten und brüche müsste man noch schauen wenn ein iks im jänner vorkommt aber auch das ist hier nicht der fall
1:01 von daher ist die definition menge einfach alle reellen zahlen wir dürfen alles einsetzen das kann keine probleme geben damit haben wir die definitions
1:09 menge stein abgehandelt sehr gut nummer 20 stellen da schnappen wir uns einfach unsere funktion umsetzen die gleich null egal wie kompliziert die aussieht das
1:21 ist ja immer der ansatz und null stellen zu finden jetzt haben wir hier ein produkt also dass hier mal dass hier gleich null da können wir das ja so
1:31 aufsplitten und sagen entweder dieses eineinhalb mal hoch - 2x muss null sein oder das in der klammer also dieses 1 + ich muss gleich null sein das ist ja der
1:42 satz von 0 produkt hier vielleicht starte man da das ist ein bisschen sympathischer aus als dass da wenn wir jetzt - 1 rechnen finden wir direkt
1:52 schon meine neue stelle bei ex gleich - 1 die merkmale uns natürlich dass wir eine lehrstelle gefunden haben schauen wir mal ob es noch weitere 0 stellen
2:01 gibt in sehen wir das hier lösen hier können wir durch ein halb teilen damit diese funktion hier alleine steht 0 durch ein halb ist immer noch 0 und
2:11 jetzt ist es aber so dass könnte auch merken die funktion wird nie null also eh hoch irgendwas gleich null das gibt's nicht also kein iks erfüllt das und
2:21 deswegen finden wir hier halt keine weiteren stellen ok macht ja nix wir haben eine einzigen stelle bei minus 1 die ersten punkte gegen gott sei dank
2:31 immer relativ schnell auch der dritte punkt schnittpunkt mit der y-achse was müssen wir da machen naja der schnittpunkt mit der y-achse wo ich hier
2:42 heute im schneidet da ist ja unser iks gleich null und deswegen setzen wir für iks einfach nur ein und rechnen das ding aus also es von null berechnen wir ein
2:54 halb mal hoch - zweimal null bis 0 und hier hinten 10 ist eins wenn wir das ausrechnen kommt ein halb raus denn hoch 0 an sich wird zu einer 1 also irgendwas
3:11 ist ja immer eins und damit haben wir unseren standpunkt mit der y-achse direkt auch gefunden bei ein halb oder bei 0,5 gut die ersten drei punkte
3:23 abgehakt nummer vier symmetrie jetzt braucht man ein bisschen mehr zeit bei der symmetrie untersuchen wir auf achsen symmetrie und punkte mit und wenn keine
3:34 symmetrie von denen vorliegt dann schreibe einfach reden keine symmetrie achsen symmetrie bedeutet oder findet man heraus wenn es von - iks dasselbe
3:44 ist wie es von iks und punkt symmetrie das gilt eine andere gleichungen ähnlich wenn fx dasselbe ist wie minus von 6 das sind die bedingungen für achsen
3:57 symmetrie und punkte betrieb in beiden sehen wer ist dieses f von - extrem also bilden wir das mal es von - iks damit wir das vergleichen können phonix kommt
4:10 hier vor das haben wir ja dass wir unsere ursprungs funktion und er von - kriegen wir jetzt in dem wir für jede six was wir hier haben als an der stelle
4:18 und an der stelle setzen wir - x1 alles andere fassen wir gar nicht an also bleibt einfach und für ein also für das ixs setzen wir - x1 und
4:30 auch da hinten für das ixs setzen wir - 6 1 und rechnen dass jetzt mal aus eineinhalb mal hoch minus mal minus wird dann zu 2x und hier hinten hätten wir 1
4:45 - ecs so das ist jetzt unser f von - es sieht jetzt so aus jetzt vergleichen wir ist f von -6 dasselbe wie er von nichts das wäre für achsen symmetrie wichtig
4:58 wenn wir das mal vergleichen hier ist er auch 2x das ist hier ist - 2x das ist definitiv nicht dasselbe also achsen symmetrie fällt raus punkt symmetrie da
5:11 vergleichen wir es von - also den teil den wir hier unten haben mit - fv nix - elf von ex haben wir jetzt noch gar nicht gebildet aber das bedeutet einfach
5:20 dass wir unser nx einmal - im grunde vorne dran setzen also - das ganze ding hier das überall mal reicht wenn wir in - vorne dran machen jetzt vergleichen
5:31 wir ist das dasselbe wie das hier unten nähe auch nicht weil auch hier hoch zwei xe hoch - 2x ist nicht dasselbe also haben wir hier einfach keine symmetrie
5:43 ist ja nichts schlimmes aber ihr habt es gezeigt dass weder die eine bedingung noch die andere bedingung erfüllt ist und damit haben wir einfach keine
5:53 symmetrie gut das war halt der vierte punkt punkt fünf grands verhalten beim bremsverhalten müssen wir den limes für
6:02 ex gingen endlich untersuchen und felix gegen - unendlich von unserer funktion ich sag's euch gleichfalls ihr digital habt dann kann es hier tatsächlich auch
6:14 mit digital zeigen indem man so ein bruch hier raus macht dieses hoch - 2x kann man ja als ego 2x dann unten in den bruch setzen und den rest so nach oben
6:25 kann man machen und digital anwenden manche haben ja gar kein keine regel von digital deswegen machen wir jetzt einfach nur mit der begründung von den
6:33 funktionen geht ja auch schauen wir uns das ganze mal hier oben an denn nix gegen unendlich läuft dann hat die ein halb hier schonmal gar keine
6:44 probleme die bleibt bei einer halb hoch - 2x was passiert damit dann sollten wir uns vielleicht mal überlegen wie hoch - 2x aussieht wenn wir uns das
6:57 im kopf vorstellen wissen wir dass six so aussieht das ist die ganz ganz normale xe funktion hier haben wir jetzt aber eh hoch - ickx und das sieht dann
7:09 anders aus das ist nämlich hier so gespiegelt das kommt von oben und fällt dann also dass hier wäre - oder - 2x ist egal dann so vom verlauf ist es genau
7:20 das wenn nix also gegen unendlich läuft also die nach rechts gehen da läuft die funktion hier sehen wir schön nähert
7:29 sich der null an also sobald wir das visualisieren können können wir die grenzwerte auch dann schön schnell ab handel hier der teil eins plus
7:41 unendlich läuft auch gegen unendlich was haben wir hier jetzt eineinhalb mal null mal unendlich eineinhalb mal irgendwas das ist egal
7:52 also das hat keine gewicht keine gewichtung aber nun endlich die zwei duellieren sich und wir müssen jetzt entscheiden gewinnt die null oder
8:00 gewinnst unendlich die null wird hier von der ehe funktion verursacht und die ihre funktion ist stärker als jede andere funktion die da ist also vor
8:10 allem stärker als diese lineare funktion hier und damit könnte man am schreiben die funktion dominiert und deswegen läuft das ganze gegen null
8:19 alternativ wie gesagt über digital hier unten genau dasselbe die ein halb läuft gegen ein halb die hoch - 2x diesmal läuft s xl ging - unendlich wir müssen
8:31 hier also nach links gucken da läuft die funktion gegen unendlich und hier hätten wir 1 plus - unendlich also 1 - unendlich dann läuft es gegen - endlich
8:46 letztendlich haben wir eineinhalb mal unendlich mal - endlich vom vorzeichen wissen auf jeden fall schon mal dass wir - und unendlich mal unendlich da sind
8:55 sie sich dann einig dass das auf jeden fall unendlich wird also - unendlich als grenzwert gut dann haben wir das auch abgehakt das war nummer fünf nummer
9:08 sechs extrem punkte wir haben einige ableitungen für uns von diesen vier wunderschönen also gehen wir mal ran ableitung von einer funktion bei der wir
9:23 hier ein produkt haben also das ist unser erster teil das ist unser zweiter teil wenn in den u und v und laute produkt regel ist es deine strich x v
9:35 plus x v strich haben wir strich und v strich brachte strich das hier vorne einmal ableiten die ein halb bleibt weil das ist einmal
9:50 dazwischen die ehe funktion an sich müssen wir jetzt mit der ketten regel ableiten die funktion an sich bleibt ja auch dieses - 2x aber wir müssen das
10:00 jetzt noch mit der inneren ableitung multiplizieren also einmal noch diesen exponenten ableiten - 2x abgeleitet ist ja gottseidank schön einfach das ixs
10:11 fällt einfach weg und nur die -2 bleibt übrig das können wir jetzt ein bisschen schöner machen eineinhalbmal -2 wäre -1 und er hoch - 2x okay dass man strich v
10:26 strich ist gott sei dank leichter v ist nämlich eins classics dass die einst fällt komplett weg beim ableiten und aus dem ixs wird eine 14 steht ja einmal ex
10:38 und fx fällt einfach weg ok dann setzen wir das jetzt mal in die produkt regel ein strich ist - - 2x x v so wie es aussah am anfang
10:55 war dieses 1 halle - 2x und das wird jetzt x bow strich also vor strich ist nur eins also mal 1 können wir uns dann auch
11:07 sparen gut dann schauen wir mal was wir jetzt hier machen können immer wenn ihr eine funktion habt es beim ableiten können wir diese funktion ausklammern
11:20 also hier ist das drin und hier ist das drin und deswegen können wir diese funktion ausklammern also eher hoch - 2x steht vorne dran dann haben wir ein
11:34 - diese klammer also wir müssen jeden multiplizieren des - das noch nicht vergessen dann steht ein - 1 - und von da hinten hätten wir noch plus
11:47 dieses ein halb so verrechnen wir das jetzt einfach nur einmal schnell - x-fi leicht nach vorne und -1 plus eine halb wäre - ein halb wir hätten unsere erste
12:01 ableiter endlich gefunden und mit der müssen wir jetzt leider noch die zweite ableitung machen denn wir brauchen ja beide für die extrem stellen wenn wir
12:09 uns mal noch kurz daran erinnern was wir eigentlich vorhaben das ist also unsere erste ableitung die müssen wir noch einmal ableiten auf was kommen wird dann
12:19 auch hier wieder produkt regel ein teil des ein teil ist faul strich können wir jetzt aber richtig gut denn das ist ja der funktion einfach nochmal
12:30 hingeschrieben x der inneren ableitung also mit der -2 das hatten wir eben schon einmal den exponenten noch ableiten und also letztendlich wenn man
12:41 dann die - zwei nach vorne zieht - zweimal - 2x und v strich wäre - also asics feld direktor ableiten minus eins und die - ein halbfeld hinten
12:55 komplett weg dann einmal die programme strich mal bloß mal strich um strich ist - zweimal - 2x
13:08 x dieser klammer also das e-book - 2x x - 1 auch hier können wir jetzt wieder die ehe funktion
13:23 ausklammern denn hier ist sie drin und hier sieht denn wir ziehen sie haus und den rest schreiben wir einmal so ab man kann natürlich dann auch schon ein
13:33 bisschen was rechnen also - zweimal - wenn wir die klammer auflösen wer also erstmals jemand die funktion natürlich raus so und übrig bleibt - zweimal mit
13:44 2x - zweimal - ein halb wären 1 und da hinten ist noch eine - 1 letztendlich 1 -1 sind dann nur 2x hier drin dann kann man es auch vorne dran schreiben also 2x
14:00 mal hoch - 2x das wäre die zweite ableitung und jetzt können wir endlich mit der ersten und der zweiten ableitung an die extremen punkte gehen denn um
14:12 extrem stellen zu finden nehmen wir uns die erste ableitung und setzten die gleich null also einmal das ganze durch spielen gleich null ist gott sei dank
14:24 schon wieder so angenehm wie bei den null stellen nämlich wie splitten das hier so auf weil ihnen mal dazwischen es entweder ist er - 2x gleich null das
14:34 können wir direkt schon mal verneinen das haben wir schon gesehen dass die funktion nicht nur werden kann oder dieses minus ex - ein halb ist gleich
14:43 null wenn wir hier plus rechnen steht - ein halb gleich fix da und wir haben einen kandidaten für eine extrem stelle das könnte jetzt noch ein hochpunkt
14:55 tiefpunkt oder vielleicht sogar ein sattel punkt sein das testen wir jetzt mit der zweiten ableitung also unsere - ein halb setzen wir in die zweite
15:04 ableitung ein und rechnen die einfach aus zwei mal - ein halb das können wir schon mal zusammenfassen ist - 1 x - zweimal - ein halb das wäre 1 also
15:22 hier kommt - wichtig ist nur das ist was negativ ist ist könnte auch ein taschenrechner noch mal dann ausrechnen je ist auf jeden
15:31 fall eine positive zahl mit dem - vorne dran wird so etwas negativen bedeutet für uns dass wir hier einen hochpunkt gefunden haben wenn die zweite ableitung
15:40 negativ ist dann haben wir einen hochpunkt und diesen hochpunkt den wollen wir jetzt noch angeben weil wir haben ja bisher nur die iks koordinate
15:49 von dem hochpunkt da wissen wir schon mal dass es bei - ein halbes wir bräuchten jetzt noch die y koordinaten und deswegen um die y konrad zu finden
15:58 setzen wir die iks koordinate in unsere ursprüngliche funktion einmal ein das heißt wir berechnen f von - ein halt also für jede six was hier drin ist
16:12 setzen wir - ein halb eins dann hätten wir ein hoch - zweimal - ein halb wäre 1 und da hinten hätten wir 1 - ein halb das wäre also ein halb letztendlich
16:28 während das ein halb mann halb sind ein viertel und se noch hinten dran also ein viertel ein viertel ist der exakte wert denn
16:38 könntet ihr dann noch einmal im taschenrechner ausrechnen und kennt dann auf ungefähr 0,7 der es zum zeichnen natürlich angenehmer aber für den
16:46 exakten wert merkt euch den trotzdem schreibt er einmal hin dann habt ihr beide varianten einmal um dinge exakt anzugeben und einmal um sie zu zeichnen
16:55 wir haben tatsächlich etwas zum abhaken denn wir haben die extrempunkten gefunden wir haben einen einzigen punkt und den haben wir gefunden dann kommen
17:06 wir jetzt zu den wendepunkten die wendepunkte finden wir indem wir die zweite ableitung und die dritte ableitung benutzen die dritte
17:15 ableitung haben wir jetzt noch gar nicht es ist ganz schön viel zeug das man hier alles abarbeiten muss auch hier nochmal weil's so schön war die produkt regel
17:24 das ist mein u das ist mein vu strich ist gott wird anke sehr angenehm fällt asics einfach weg und nur die zwei bleibt übrig und v strich ja da müssen
17:35 wir noch mal mit der canon regel ran.de funktion einmal so hinschreiben wie sie ist und dann nochmal die hochzeit einmal ableiten das ist dann nur die -2 das
17:45 hatten wir schon ein paar mal okay dann muss ich mal plus x v strich um strich ist 2 nv ist eh hoch - 2x plus wo sind die zwei ex x meinem
18:03 wunderschönen dahinten einmal abschreiben und vereinfacht auch jetzt seht ihr in allen beiden teil ist die funktion drin wir
18:14 ziehen die rausnehmen lässt sich einiges leichter mitarbeiten was haben wir hier vorne übrig hier ist nur die zwei hier hinten hätten wir zwei x-mal -2 das
18:26 wären - 4x okay das ist die dritte ableitung und mit der zweiten und dritten ableitung suchen jetzt die wendepunkte damit ihr
18:36 noch wieso wir überhaupt waren wendepunkte suchen wir indem wir die zweite ableitung gleich null setzen und mal schauen welche vermieter hatten
18:48 wir überhaupt in frage kommen auch hier haben wir wieder ein produkt können wir wieder aufsplitten entweder 2x ist null oder die funktion ist 0 bei der ihr
18:57 direkt schon willst nö das kann gar nicht passieren hier teilen wir noch durch zwei dann steht asics alleine 0 durch zwei sind 0 das ist unser kandidat
19:08 den müssen wir jetzt noch in die dritte ableitung einmal einsetzen und gucken ob das nicht nur ergibt einmal die null da rein
19:18 hoch - zweimal 000 wissen wir es eins und zwei - viermal 0 das wird zu null dann kommt da nur zwei raus wichtig für uns ist nur
19:31 dass es nicht 0 ist damit wissen wir dass wir hier einen wendepunkt haben bei x10 und diesen wendepunkt wollen wir natürlich wie eben auch den extrem punkt
19:42 jetzt noch ordentlich ausrechnen ja nur die iks koordinate bisher wir brauchen noch die y koordinaten also packen wir die null in die ursprüngliche funktion
19:51 einmal rein und berechnet dass ein halb mal hoch 0 haben wir jetzt schon recht häufig gehabt 0 ist 1 und hier hinten kommt auch eins raus also kommt da ein
20:06 halb raus das ist unser wendepunkt und wir haben etwas zum abhaken achter punkt der graf wir wollen ihn
20:18 zeichnen ok sammeln wir alles was wir bisher hatten wir haben eine neue stelle bei ex gleich - 1 sie tragen wird auch schon mal direkt hier ein der
20:28 schnittpunkt mit der y achse war bei einer halb also auf der y-achse bei 0,5 da muss unsere funktion durch das sind so die ersten punkte gewesen schauen wir
20:36 weiter wir haben einen hochpunkt bei - ein halb und 07 - ein halb 0,7 ungefähr hier also dass ein hochpunkt können wir das schon mal so andeuten das ist ein
20:51 hochpunkt wird ein wendepunkt bei 0 und 1 halbjahr wendepunkte sind immer ein bisschen schwierig ein zu zeichnen merkmal uns nur mal so falls wir
21:01 irgendwie probleme kriegen dann zeichnen der grenzwert der ist jetzt noch wichtig wenn wir uns nach rechts bewegen dann schmiegt sich die funktion an die null
21:10 an wenn wir von links kommen dann kommt die funktion aus - und endlich ok laufen auch von links los wir kommen also von - unendlich laut dem grenzwert wir wissen
21:20 nicht genau wo aber wir sind ja wir müssen hier auf jeden fall dann hoch also wir kommen ja von unten von - unendlich und müssen hier
21:27 hoch dann können wir schon mal dass gegen - unendliche laufen lassen und der grenze nach rechts war 0 also wir müssen uns hier so an die 0 anschmiegen da
21:37 sehen wir schon mal weil wir hier durch müssen müsste das dann ungefähr so kann man natürlich noch schöner machen also das muss reichen als uns helfen
21:48 alle informationen die wir gesammelt haben um den grafen zu zeichnen ich zeige euch den jetzt noch einen schönen damit wir sehen können ja wir waren sehr
21:56 nah dran das passt dann auch da sind alle punkte also das ist der echte graf von unserer funktion den haben wir dann tatsächlich auch herausfinden können und
22:06 da können wir jetzt noch das war jetzt der graf das urteil acht teil 9 die monotonie da kann uns der graf nämlich jetzt einfach helfen deswegen ist die
22:15 reihenfolge eigentlich ganz gut dass wir jetzt die monotonie einfach nur noch ablesen montigny fragt von wo bis wo steigt meine funktion von wo bis wo
22:26 fällt sie also wir sehen hier sie steigt steigt steigt steigt bis zum natürlich der hochpunkt ist er der höchste punkt danach geht es wieder
22:34 bergab das bedeutet von - also auf der x-achse gesehen von - unendlich bis zum hochpunkt also bis minus ein halb da ist meine funktion streng monoton steigend
22:51 also sich steigt die ganze zeit und ab dem hochpunkt bis unendlich also von der - ein halb bis zu unendlich in der noch man auch offen intervalle fällt meine
23:05 funktion dann wieder dann ist streng monaten fallen also die hochpunkte helfen uns zu sagen von wo bis wo die funktion steigt und ab wo sie dann
23:14 wieder fällt mal abhängig unabhängig davon dass wir es jetzt hier auch am grafen gut sehen aber da haben wir dann die exakten werte auch nochmal dritten
23:21 also hoch und tiefpunkte helfen uns da beide monotonie bei der krümmung helfen uns hingegen die wendepunkte die krümmung fragt von wo bis wo habe ich
23:34 eine rechtskurve von wo bis wo habe ich eine linkskurve und die wendepunkte trennen diese bereiche denn wenn mich immer gucken sind wir hier so einer
23:41 rechtskurve wenn ihr euch hier so einsetzt und hier wechselt das ganze dann in eine linkskurve das heißt von - unendlich bis zu dem
23:54 wendepunkt also bis zu 0 habe ich eine rechtskurve als das muss ich dann einfach gucken wie die gegründet und von der null bis unendlich also da
24:07 ändert sich das verhalten nicht mehr sitze ich hier in in einer linkskurve drin das ist alles was man bei der krümmung dann noch will von wo bis
24:16 wolkig rechtskurven von wo bis wo habe ich linkskurve und die werte menge die wir eher selten gefragt aber wir machen sie trotzdem noch zum schluss da geht es
24:26 mir um die werte auf der y-achse also ich verfolge meinen grafen hier zum beispiel wird der wert angenommen hier wird der wert angenommen hier wird noch
24:36 der wert angenommen und hier gewünscht wieder hier der wert angenommen also auf der y-achse gucke ich welche werte werden angenommen und da ich von - und
24:44 endlich komme werden alle werte unterhalb angenommen bis ja bis zum hochpunkt das ist der höchste punkt der gerade noch auf der y-achse angenommen
24:56 wird oberhalb von diesem hochpunkt verläuft mein graf ja gar nicht mehr das heißt die werte menge wenn ich die auf schreibe dann sind es alle y aus den
25:07 reellen zahlen für die was gilt y muss unterhalb von meinem hochpunkt gegen also y muss kleiner gleich was war mein hochpunkt vom y wert ein viertel
25:20 hatten wir da raus es war diese 07 und so kann man eben die wärter menge aufschreiben und das
25:30 also wer jetzt noch hier mit dabei ist gratulation an euch dass ich durchgehalten habt wir haben die werte menge gefunden es ist wirklich ein
25:39 riesending immer wieder ich sag jetzt auch einfach direkt irgendwas anderes machen kann vielen dank fürs zuschauen wir sehen uns beim
25:46 nächsten video zschau