Exponentielles Wachstum (Grundlagen)
Mathe - simpleclub
https://www.youtube.com/watch?v=UQYt8HyY37Q

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0:00 [Musik] das exponentielle Wachstum erklärt von den simple
0:25 m heute behandeln wir das Thema exponentielles Wachstum als Grundlage für dieses Thema empfehlen wir dir unsere Videos Z e-Funktion anzuschauen
0:35 fangen wir an mit einem Beispiel Jan legt 1000 € mit einem Zinssatz von jährlich 1,5% bei der Bank an in einer abituraufgabe ist gefragt wie groß die
0:47 Wachstumsgeschwindigkeit nach 4 Jahren ist er hat das exponentielle Wachstum schon mal in der Schule behandelt und erinnert sich noch dunkel an die Formel
0:56 das exponentielle Wachstum wird beschrieben durch fonx = F V0 x a hoch x F von0 ist der Startwert in a steckt in unserem Beispiel der Zinssatz und X ist
1:09 die Zeit in Jahren so jetzt kann J auch die Formel F und T aufstellen das Startkapital 1000 € mal den Zinssatz also mal 1,015 hoch
1:23 t warum 1,015 der Zinssatz ist 1,5%. und wenn man diesen in die wachstumsfunktion einsetzt muss man noch
1:33 + 1 rechnen sonst würde das Kapital ja abnehmen also 0,015 + 1 führt dann zu 1,015 und hoch t ist einfach die Zeit
1:45 aber wie bestimmt er jetzt die Wachstumsgeschwindigkeit er weiß dass die Wachstumsgeschwindigkeit die Ableitung ist aber Jan weiß nicht wie
1:53 man den Term 1,015 hoch t ableitet aber wir können uns anders behelfen
2:02 wir wissen die Ableitung von E hoch x ist e hoch x und wir haben unsere alte Formel F vonx = F von0 x a hoch x mit dem Wissen aus efunktion basic
2:16 können wir diese Formel jetzt umschreiben dazu schreiben wir anstatt a hoch e hoch LN von A hoch x denn wir wissen dass E h LN sich
2:27 auflöst wir können ebenfall als das hoch x in der Klammer vor bzw hinter den len ziehen somit haben wir die Formel F von0 mal a hoch x so umgeschrieben dass eine
2:38 e-Funktion entstanden ist die sieht jetzt zwar komplizierter aus als die alte hat jedoch einen großen Vorteil wir wissen wie man eine e-Funktion ableitet
2:48 und können deshalb auch die Wachstumsgeschwindigkeit berechnen ebenfalls muss man erwähnen dass LN von A als K definiert ist also
2:59 zurück zu unserem Problem wir haben jetzt eine neue Formel für das exponentielle Wachstum FX = F V0 mal e hoch
3:10 KX wie gesagt LN von A ist als die wachstumskonstante K definiert also schreiben wir die alte Formel in die neue um die Funktion f von T ist dann
3:22 1000 x E hoch LN von 1,015 hoch t das T können wir wieder hinter den ziehen enen von 1,015 ist eine konstante Zahl deshalb können wir auch 1000 mal e hoch
3:39 0,0149 x T schreiben ihr müsst natürlich nicht jedes Mal die alte Formel aufstellen und dann zur neuen umformen sondern könnt
3:48 euch einfach direkt die Werte in die allgemeine Funktion des exponentiellen Wachstums einsetzen wie gesagt die
3:56 Wachstumsgeschwindigkeit ist die Ableitung und da wir jetzt eine e-Funktion haben können wir auch die Ableitung bilden die ist dann 1000 x E
4:05 hoch 0,0149t denn der e-term bleibt einfach stehen wir dürfen jedoch nicht die innere Ableitung vergessen müssen hinten
4:14 also noch mal 0,0149 schreiben oder zusammengefasst 14,9 x E hoch 0,0149 t da man die Wachstumsgeschwindigkeit nach 4 Jahren
4:27 haben will setzen wir die Ableitung 4 ein das ergibt dann 14,9 x E hoch 0,0149 x 4 oder mit dem Taschenrechner ausgerechnet ungefähr
4:42 15,81 das heißt nach ca 4 Jahren beträgt die Wachstumsgeschwindigkeit 16 € pro Jahr jetzt rechnen wir mal eine Aufgabe die sich in der Realität eher
4:54 nachvollziehen lässt die Frage ist wann hat sich Jans Geld verdoppelt da er 1000 € angelegt hat muss er seine wachstumsfunktion
5:04 g=ich 2000 setzen denn 1000 verdoppelt sind ja 2000 Jan schreibt also 2000 = 1000 x E hoch [Musik]
5:16 0,0149t dann geeilt durch 1000 ergibt 2 = e hoch 0,0149t den enen auf beiden Seiten bilden führt dann zu allen von 2 =
5:27 0,0149t nach t aufgelöst erhält man len von 2 durch 0,0149 was ca 4,5 entspricht das heißt
5:40 dass ich Jans Geld bei einem Zinssatz von 1,5% nach 47 Jahren verdoppelt hat man spricht hierbei dann auch von der
5:50 sogenannten Verdopplungszeit so lang ja denn allein mit Geldanlagen über die Runden zu kommen klappt nur mit einem
5:58 entsprechenden Start Kapital genauso wie es ein exponentielles Wachstum gibt gibt es auch einen exponentiellen Zerfall
6:07 Mathematiker bezeichnen einen Zerfall ebenfalls als Wachstum aber das soll euch nicht verwirren ihr erkennt ob es sich um ein Zerfall handelt wenn die
6:16 wachstumskonstante K negativ ist so beschreibt z.B die Funktion f von T = 10e hoch -0,5t einen exponentiellen Zerfall
6:30 bei einem exponentiellen Zerfall gibt es dann anstatt der Verdopplungszeit die sogenannte halbierungszeit die wird in der Chemie
6:37 auch als halbwärtszeit bezeichnet aber oft fällt auch in Abituraufgaben der Begriff halbwärtszeit merkt ih euch also gut
6:44 damit ihr wisst was ihr dann machen müsst wir erkennen an unserer Funktion 10e hoch-0,5t das 10 der Startwert war um
6:54 die halbwtszeit zu berechnen müssen wir also die Funktion gleich 5 setzen denn 5 ist die Hälfte von 10 hier wieder dasselbe Spiel umform
7:04 ergibt 1/b g= e hoch-0,5t dann den len bilden und das Ganze nach t auflösen ergibt schließlich ca 1,4 die halbwärtszeit der Funktion
7:18 10e hoch-0,5t beträgt also ca 1,4 Stunden wir halten fest ihr müsst im Abitur die neue Formel FX F V0 x E h KX beherrschen
7:33 die sieht zwar komplizierter aus als die alte aber dafür könnt ihr die neue viel bequemer ableiten und das wird im Abitur auf jeden Fall verlangt
7:42 werden deshalb prägt sie euch gut ein und rechnet noch Übungsaufgaben damit ihr im Abitur Aufgaben wie bchne die Wachstumsgeschwindigkeit ohne Nachdenken
7:52 lösen könnt wir sind die simple math und wünschen euch viel Erfolg im Abitur wenn euch das Video gefallen hat gebt uns
8:00 einen Daumen Hoch kommentiert teilt oder was auch immer das Wichtigste ist wenn ihr immer auf dem neuesten Stand der Abitur relevanten Themen sein wollt
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