Abstand windschiefer Geraden bestimmen
MathemaTrick
https://www.youtube.com/watch?v=UGYWP43-1CE

Transkript (automatisch erstellt)

0:00 Hallo ihr Lieben, heute möchte ich als Schritt für Schritt zeigen, wie man den Abstand zweier Windschiefergeraden bestimmen kann. Berechne den Abstand der
0:09 windschiefen Geraden G und H. Wir bekommen die Gleichung der Geraden Gegeben und auch die Gleichung der Geraden H. Wir bekommen auch schon
0:18 gesagt, dass sie windschief zueinander stehen. Also wir müssen jetzt nicht noch zeigen, dass sie windschief zueinander sind. Diese Information bekommen wir
0:26 schon. Und wir sollen jetzt den Abstand dieser beiden Geraden bestimmen. Wie liegen noch mal zwei Windschiefe Geraden zueinander? Das kann man sich ja so
0:36 vorstellen, dass eine Gerade in die eine Richtung zeigt, die andere gerade in die andere Richtung. Also, ich nenne die hier oben einfach mal G. Die hier unten
0:45 nenne ich mal H. Und dann muss man sich das aber so vorstellen, dass die in unterschiedlichen Ebenen liegen, die ich hier jetzt so grau markiert habe. Also
0:54 diese beiden Geraden schneiden sich nicht in dem Punkt, sondern sie liegen so übereinander mit so einem gewissen Abstand zueinander. Und diesen
1:04 Abstand, den wollen wir ja berechnen, den nenne ich einfach mal d. Das ist hier dieser senkrechte Abstand zwischen diesen beiden Geraden. Man kann sich das
1:14 so vorstellen, wie zwei Flugzeuge. Das eine Flugzeug fliegt in die Richtung, das andere Flugzeug fliegt in eine andere Richtung, aber sie treffen sich
1:23 halt Gott sei Dank nicht, weil sie in unterschiedlichen Ebenen fliegen und dann können die so untereinander durchfliegen. Okay, wie finden wir jetzt
1:32 den Abstand von diesen beiden Windschiefen geraden? Wir können immer in diesen drei Schritten vorgehen. Erster Schritt: Hilfsebene aufstellen.
1:41 Okay, eine Hilfsebene aufstellen. Wir haben ja zwei Geraden gegeben, aber wir wollen jetzt eine Ebene aufstellen und die nenne ich H. Groß.
1:53 Ähm groß H. Meine Hilfsebene kann entweder die graue Ebene hier oben sein oder falls es euch besser passen sollte, könnt ihr großer als die Ebene hier
2:04 unten nehmen. Wir nehmen jetzt einfach mal die Ebene hier oben. In dieser Ebene, die wir gleich aufstellen müssen, soll meine gerade G drin liegen und
2:15 diese Ebene soll so wie es hier schon gezeichnet ist, parallel zu der anderen Geraden verlaufen. Unsere gerade G besteht ja immer aus einem Aufpunkt und
2:27 einem Richtungsvektor. Also, wenn ich das mal hier einzeichne, kenne ich ja einen Punkt auf meiner Geraden und ich kenne den Richtungsvektor der Geraden.
2:36 Und genauso von meiner geraden H kenne ich ja auch einen Punkt da drauf und der Richtungsvektor ist ja auch gegeben, also den kenne ich, in welche Richtung
2:45 meine Gerade verläuft. Und für meine Ebene H, die ich jetzt aufstellen möchte, auch in Parameterform, brauche ich ja erstmal einen Punkt, der in der
2:56 Ebene liegt. Von welchem Punkt weiß ich, dass er in meiner Ebenen hier drin liegt? Na, da kann ich ja den Punkt von meiner Geraden nehmen, weil die Gerade
3:05 soll ja komplett hier drin liegen. Also nehme ich doch den Punkt von meiner Geraden. Das ist 1 - 3 2 und das wird auch mein Aufpunkt von meiner Ebene
3:15 werden. Okay, dann habe ich den Punkt. Dann brauche ich jetzt noch zwei Richtungsvektoren, die äh ich habe hier S t, dann nehme ich u als Parameter hier
3:24 und jetzt brauche ich einen Richtungsvektor in meiner Ebene hier und die gerade G soll ja drin liegen, dann nehme ich doch einfach den
3:32 Richtungsvektor von der geraden G auch. Also 1 2 - 3. Also soweit habe ich die komplette gerade G hier reingepackt. Aber in der Ebene braucht er noch einen
3:45 zweiten Richtungsvektor. Also nehme ich als nächsten Buchstaben das V. Und dann brauche ich noch einen zweiten Richtungsvektor. Und was haben wir jetzt
3:53 gesagt, wie diese Ebene H hier liegen soll? Die soll parallel zu meiner anderen Geraden verlaufen. Also kann ich als zweiten Richtungsvektor für meine äh
4:06 Ebene einfach den Richtungsvektor von meiner anderen Geraden nehmen. Also schnappe ich mir von H hier den Richtungsvektor die 2 - 3 0. Und schon
4:16 habe ich hier eine schöne Ebenengleichung von einer Ebene, die die eine Gerade enthält komplett, aber parallel zu der anderen Geraden
4:26 verläuft. Also, der Aufpunkt ist der Aufpunkt von meiner Geraden G. Der eine Richtungsvektor ist der eine Richtungsvektor von meiner Geraden G und
4:35 der zweite Richtungsvektor ist einfach der Richtungsvektor von der anderen Geraden. So könnt ihr diese Hilfsebene immer aufstellen und damit haben wir den
4:44 ersten Teil erledigt. Nummer 2 in Koordinatenform umwandeln. Diese Ebene, die wir gerade gefunden haben, haben wir in Parameterform
4:54 aufgestellt. Diese Ebene sollen wir jetzt in Koordinatenform umwandeln. Also schnappen wir uns unsere Ebene. So sah sie aus, in Parameterform und jetzt
5:04 wandeln wir das Ding in Koordinatenform um. Was brauchen wir dafür? den normalen Vektor unserer Ebene. Wie kann ich den aus meiner Parameterform hier finden,
5:17 indem ich die beiden Richtungsvektoren nehme und das Kreuzprodukt von den beiden Bilder? Also, ich schnappe mir den ersten Vektor
5:26 1 2 - 3 und kreuze den mit dem zweiten Richtungsvektor 2 - 300 und damit finde ich ja immer den normalen Vektor von meiner Ebene. Um das Kreuzprodukt jetzt
5:38 zu berechnen, ähm schreiben wir am besten diese beiden Vektoren noch mal untereinander. Also, wir wiederholen den hier einmal und dann
5:47 wiederholen wir den anderen hier auch. streichen hier vor immer die erste und die letzte Zeile und dann wird jetzt hier über Kreuz multipliziert. Also ich
5:58 starte hier oben und gehe hier einmal diagonal runter und dann von hier nach hier habe ich hier so ein Kreuz und diese Zahlen werden immer miteinander
6:07 multipliziert. Also 2* 0 wird hier gerechnet und dann ziehe ich immer das Produkt von den anderen beiden Zahlen ab. Also -3* -3 kommt dann noch hierhin
6:20 und das rechnen wir gleich aus. Das wird dann die erste Koordinate von meinem normalen Vektor. Zweite Koordinate bedeutet, wir rutschen hier eins runter
6:29 und multiplizieren hier über Kreuz -3* 2 zuerst und davon ziehen wir das Produkt von den beiden Zahlen ab. 1* 0 und für die dritte Koordinate genau
6:44 dasselbe mit dem letzten Pärchen hier. Es wird über Kreuz multipliziert 1 x -3 zuerst und davon ziehen wir 2* 2 ab und das müssen wir jetzt nur noch ausrechnen
6:57 und dann haben wir unseren normalen Vektor gefunden. 2* 0= 0 -3* -3 sind erstmal 9, aber mit dem Minus hier vorne dran sind es -9.
7:09 Hier haben wir -3* 2 sind -6. -0 sind dann insgesamt -6. Und hier unten haben wir einmal -3, das sind -3- die 4 hier hinten sind insgesamt -7.
7:25 Das hier ist jetzt also unser normalen Vektor. Den habe ich noch mal hier hingeschrieben und wir wollen ja die Koordinatenform von unserer Ebene
7:34 finden. Und die ist ja immer so aufgebaut, dass man einen Teil mit x1 hat, dann einen Teil mit x2 und einen Teil mit x3 und dann ist das gleich
7:44 einer Zahl, die normalerweise als d bezeichnet wird. D ist jetzt nicht der Abstand, den wir hier suchen. Das ist normalerweise einfach in der Formel so
7:54 drin. Also lasst euch da nicht verwirren, dass jetzt auch in D steht. Wir suchen diese Zahl gleich noch. Und vor mein X1, vor mein X2 und vor mein X3
8:05 kommen jetzt die Zahlen aus meinem normalen Vektor. Die erste Koordinate, die -9, kommt vor mein x1. Die zweite Koordinate kommt vor mein X2 und die
8:16 dritte Koordinate kommt vor mein X3. Und das hier ist jetzt fast die Koordinatenform, die wir gesucht haben. Das D müssen wir noch finden, aber das D
8:26 findet man immer so, indem man für X1, X2 und X3 einfach Koordinaten einsetzt von einem Punkt, von dem man weiß, dass er in der Ebene liegt. Von welchem Punkt
8:42 weiß ich denn, dass er in meiner Ebene liegt? meinem Aufpunkt hier, der liegt ja in der Ebene drin. Also kann ich die
8:51 Koordinaten von diesem Punkt jetzt hier in meine Ebene einsetzen und mein d ausrechnen. Das heißt, ich habe -9 mal die x1 Koordinate von dem Punkt ist 1,
9:04 dann -6 mal die x2 Koordinate von dem Punkt ist -3 und -7 mal die x3 Koordinate, das ist die 2 und das soll mein d sein und das kann ich jetzt
9:17 einfach nur noch ausrechnen. -9* 1 sind -9 -3 -6* -3 sind +18 -7* 2 sind -14, das wird mein d werden. Damit habe ich -9 + 18 sind 9,
9:33 -14 sind -5 sind mein d. Also von d weiß ich, dass es -5 ist. Das heißt, ich kann das hier schön ersetzen, die -5 rein und
9:45 zack habe ich die Koordinatenform von meiner Ebene gefunden. Und damit Schritt 2 erledigt. Und es fehlt nur noch der dritte Schritt, die hässische
9:57 Normalform. Wie hilft uns jetzt die hässische Normalform dabei letztendlich den Abstand zwischen unseren beiden Geraden G und H zu finden? Wir wollen
10:09 ja, wenn wir von der einen Geraden hier einmal so runterlaufen auf die andere Gerade drauf hier alles schön senkrecht. Da wollen wir wissen, wie groß ist
10:18 dieser Abstand hier, den ich einfach mal mit D bezeichne. Und mit der hässischen Normalform kann ich einen Abstand berechnen, allerdings keinen Abstand
10:29 zwischen zwei Geraden, aber einen Abstand zwischen einer Ebene und einem Punkt. Und die Ebene haben wir schon
10:42 aufgestellt. Dafür war Schritt 1 und Schritt 2 zuständig. Und jetzt brauchen wir nur noch den Punkt hier unten auf unsere anderen Geraden. Welcher Punkt
10:54 liegt denn auf unsere Geraden H? Na ja, gehen wir mal zu unserer Geradengleichung H hierhin. Welcher Punkt liegt drauf? Natürlich der
11:03 Aufpunkt, von dem wissen wir ja, dass er auf jeden Fall Teil von unserer Geraden ist. Das heißt 14 4 3. Dieser Punkt liegt drauf, den können wir nehmen. Und
11:13 jetzt wollen wir mit der hässischen Normalform den Abstand von unserer Hilfsebene zu diesem Punkt P bestimmen und dann haben wir den Abstand von
11:22 diesen beiden Geraden gefunden automatisch. So, für die häische Normalform brauchen wir hier diese Gleichung, die wir hier aufgestellt
11:30 haben. Allerdings ist die noch nicht perfekt vorbereitet. Die Zahl, die jetzt noch auf der rechten Seite steht, die will man immer auf der linken Seite
11:38 haben. Also die -5 bringen wir mal mit einer +5 auf die andere Seite. Dann steht natürlich alles noch da, was links stand. Da dran ändern wir nicht ab. Aber
11:51 hinzu kommt die + 5 und rechts steht dann aber nur noch eine 0. Jetzt ist alles perfekt vorbereitet, um unseren Abstand d zu bestimmen. Die Formel
12:04 lautet folgendermaßen. Wir nehmen einen großen Bruch, Betragsstriche drumherum, weil unser Ergebnis für unseren Abstand soll ja
12:13 positiv werden. In den Zähler kommt jetzt hier einmal die komplette linke Seite von dieser Gleichung. Deswegen haben wir die umgestellt, dass rechts
12:25 nur noch gleich null steht und der ganze linke Teil wandert jetzt in den Zähler hier rein. Allerdings müssen wir noch eine Sache abändern, nämlich an Stelle
12:35 von x1, X2 und x3. Da packen wir jetzt die Koordinaten von unserem Punkt rein, die 14, die 4 und die 3. Das heißt, da steht dann -9 mal statt x1 packen wir
12:48 die 14 rein. -6 mal statt der x2 kommt die 4 rein. -7 mal statt der dritten Koordinate kommt 3 rein und die + 5 hier nicht
13:02 vergessen, dass wir die auch noch mit reinschreiben. Im Nenner kommt jetzt der Betrag von unserem normalen Vektor rein. Wo haben wir noch mal den normalen
13:14 Vektor? Hier in dem ganzen Wir war. Wir müssen zu unserer Ebene gehen und die Zahlen vor x1, vor x2 und vor x3 waren ja die Koordinaten von unserem normalen
13:27 Vektor. Und wir müssen jetzt nur den Betrag von diesem Vektor berechnen. Das funktioniert ja so, dass man die Wurzel nimmt und die einzelnen Koordinaten
13:37 quadriert und aufiert. Also die -9 wird quadriert und dann plus die nächste Koordinate wird quadriert, das ist die -6 einmal quadrieren und plus und dann
13:50 noch die letzte Koordinate die -7 quadrieren. Und das hier müssen wir jetzt nur noch ausrechnen, um letztendlich unseren Abstand d zu
13:59 finden. Und da kommt es jetzt drauf an, wie exakt euer Ergebnis sein muss, laut Aufgabenstellung oder wie exakt euer Taschenrechner euch euer Ergebnis
14:10 liefert. Oft gibt der Taschenrechner einfach nur eine Kommazahl aus. Also, wenn ihr das hier alles eintippt, dann gibt mein Taschenrechner als Ergebnis
14:20 gerundet -12,9 raus. Wir gehen mal beide Fälle durch. Also, das hier wäre jetzt das gerundete Ergebnis. Und jetzt gucken wir
14:29 gleich uns noch ähm das exakte Ergebnis an. Aber falls ihr das hier rausbekommt und gerundete Ergebnisse für euch in Ordnung sind, dann müssen wir nur noch
14:36 die Betragsstriche hier drauf anwenden, denn die sagen, das Ergebnis muss positiv sein. Also aus der -12,9 machen wir dann eine 12,9 und das wäre unser
14:48 gerundeter Abstand. Wenn wir es allerdings exakt brauchen, dann sollten wir äh die Teile hier im Bruch einzeln ausrechnen. Also
14:59 nur der Teil oben in Taschenrechner eintippen und ausrechnen. Da kriegen wir ein Wert von -16 raus und dann dasselbe unten. Aber auch nicht die Wurzel
15:10 berechnen, sondern die Wurzel lasst ihr stehen und dann tippt ihr nur das unter der Wurzel in Taschenrechner ein und da kriegen wir einen Wert von 166 raus. Und
15:20 das machen wir jetzt noch ein bisschen schöner und erhalten gleich einen exakten Wert. Wir können uns jetzt schon mal um die Betragsstriche kümmern, denn
15:30 die sagen ja, das Ergebnis muss positiv werden. Also -16. Ah ah, das ist minus. lassen wir mal schön verschwinden. Wir schreiben
15:38 nur die 166 hier rein. Und die Wurzel von 166, die ist sowieso immer positiv. Da müssen wir gar nichts dran ändern. Und jetzt kann man das entweder so
15:47 stehen lassen oder noch ein Ticken schöner machen, denn dadurch, dass die Zahlen gleich sind, können wir hier noch kürzen. Die
15:56 166, da steckt ja die Wurzel von 166 auch drin, denn die Zahl können wir schreiben als Wurzel mal Wurzel und zwar Wurzel von genau dieser Zahl mal die
16:09 Wurzel von genau dieser Zahl, ne? Also jede Zahl kann man immer als zwei Wurzeln schreiben, die miteinander multipliziert werden. Also statt der 166
16:19 packen wir da dieses Produkt rein. Verlängern hier vielleicht mal den Bruchstrich noch ein bisschen. Und jetzt können wir nämlich kürzen. Eine dieser
16:28 Wurzeln kann weg und letztendlich haben wir den exakten Wert von Wurzel aus 166 für unseren Abstand. Ich hoffe, es ist klar geworden, wie man vorgehen
16:40 kann. Falls ihr Fragen habt, schreibt sie gerne in die Kommentare. Ansonsten habt noch einen wunderschönen Tag und wir sehen uns beim nächsten Video.
16:45 Macht's gut.