Ortskurven – Funktionenschar / Kurvenschar
Mathe - simpleclub
https://www.youtube.com/watch?v=SXkBPZhL0v8

Transkript (automatisch erstellt)

0:02 [Musik] Erstmal, was sind noch mal Funktionen mit Parametern? Sagen wir mal, ihr habt eine ganz normale Funktion. In unserem
0:11 Fall x hoch 2 - 4x, dann sieht die z.B. so aus. Ein Tiefpunkt mittendrin und Nullstellen. Jetzt kann man aber auch sagen, ey, wie wird die Funktion
0:22 aussehen, wenn da statt dem Vierer eine sech stehen würde? Die liegt dann anders. Und mit einer zwei statt der 5 sehe es wieder anders aus, nämlich so.
0:31 Deswegen sagt man, ich tue meine Funktion aufstellen, die anstatt einer bestimmten Zahl haltenden Parameter hat fa x = x hoch 2 - ax. Weil der Parameter
0:42 hier mal a heißt, haben wir den kleinen an die Funktion unten dran geschrieben. Ha, genial. Dann lässt man sich mal für verschiedene A die Bilder ausspucken.
0:52 Dann kommt man auf sowas. Für den Parameter setzt ihr also im Prinzip eine Zahl ein und lasst euch dann die Funktion ausspucken. Eine andere Zahl
0:59 gibt eine andere Funktion. Bei jeder einzelnen Funktion ist die Zahl aber fest. Also der Parameter ist keine Variable. Da hat man jetzt ganz viele
1:08 Funktionen, die irgendwie ähnlich sind, aber nicht gleich. Das nennt man Funktionenschar. Ist also vereinfacht gesagt eine Menge
1:15 von Funktionen, wo ihr verschiedene Werte für den Parameter einsetzen könnt. Was man jetzt machen kann, ist folgendes. Man kann sich z.B. mal von
1:24 den Funktionen den Tiefpunkt ausrechnen. Wie? Klar, erstmal ableiten gibt 2x - A. Wenn du hier schon Probleme hast, erstmal die Ableitungsplaylist
1:35 durchgucken. Weiterentagt. Die Ableitung wird null gesetzt. Klar, X muss also um Tiefpunkt gerade a halbe sein. Könnt ihr ja selber auf dem Papier nachrechnen.
1:45 Ja, B. Eigentlich müsste man jetzt noch testen, ob es ein Tiefpunkt ist, aber das sehen wir hier am Bild. Jetzt setzen wir das x noch in unsere Funktion ein,
1:53 dann erhalten wir unseren y Wert vom Punkt. Machen wir das mal. Gibt a² - a²/, also - a². Der Tiefpunkt hat also den x-Wert a und y Wert - a².
2:08 Ihr seht, wo der Tiefpunkt von der Funktion liegt, hängt von der Zahl ab, die wir für unseren Parameter einsetzen. Sieht man auch gut am Bild. Die
2:16 Tiefpunkte liegen an unterschiedlichen X-stellen. Irgendwas haben die Punkte ja alle gemeinsam, kommen ja immerhin aus derselben Parameterfunktion. Und was?
2:25 Die liegen alle auf der grauen Parabel hier. Die Parabel verbindet alle Tiefpunkte der Funktionenchar. Das nennen wir dann eine Ortskurve. Das ist
2:34 eine Kurve, die irgendwelche speziellen Punkte von der Funktion Schar verbindet. Z.B. wie bei uns Tiefpunkte. Nur wie kriegen wir die raus? Schauen wir dazu
2:43 mal noch mal die Tiefpunkte von der Funktion an. Bisher können wir für jede Zahl für a immer ausrechnen, wo dann der Tiefpunkt liegt. Bei 2 wäre es z.B. 1
2:53 -1. Also hier. Wir wollen aber jetzt was anderes wissen. Wenn wir irgendeinen x-Wert vorgeben, welche Zahl müssen wir für den Parameter einsetzen, dass genau
3:03 bei dem x-Wert der Tiefpunkt liegt? Und was ist dann der yWert vom Tiefpunkt? Also eigentlich wollen wir sowas den Tiefpunkt mit X und Y darstellen und der
3:13 y Wert hängt dann wieder irgendwie vom X-Wert ab, nämlich über die Ortskurve. Die nennen wir mal G von X. Rauszukriegen, welche Zahl wir für den
3:22 Parameter einsetzen müssen, ist leicht. Glaubt ihr nicht? Dann sehet zu und staunet. Wir haben ja vorhin gesehen, dass wir am Tiefpunkt sind, wenn wir für
3:30 x die Hälfte von a einsetzen. Jetzt wollen wir einen x-Wert vorgeben und fragen uns ja, was jetzt der Parameter für einen Wert haben muss. Also stellen
3:40 wir die Gleichung einfach nach A um. In unserem Fall müssen wir für den Parameter also doppelt so viel einsetzen wie den x-Wert, den wir vorgeben. A ist
3:48 nämlich 2x. Heißt z.B. Wenn wir wissen wollen, was wir für A einsetzen müssen, dass unser Tiefpunkt bei x = 2 liegt, genau einfach die 2* 2 nehmen, gibt 4.
4:01 Und siehe da, wenn wir für a 4 einsetzen, ist unser Tiefpunkt bei 2. Das ist unsere rote Funktion. Okay, aber jetzt haben wir noch nicht erklärt, wie
4:10 man auf das g von x kommt. Na ja, lass mal gucken, was wir schon haben. Erstens haben wir ja vorhin schon ausgerechnet, dass unser Tiefpunkt bei a/ - a² liegt.
4:20 da steht jetzt noch kein x drin. Aber wir haben ja gerade aus dem X-Wert herausgefunden, dass a = 2x ist. Also setzen wir das a direkt mal da ein. Dann
4:30 haben wir 2x dur und für den y Wert -2x zum dur 4. Das können wir jetzt noch ein bisschen vereinfachen. Dann steht da x und - x². Das -x² ist unser g von x,
4:44 also unsere Ortskurve. Ey, und wisst ihr was? Die graue Kurve hier ratet mal, was die für eine Gleichung hat. Richtig, Tatsache -x².
4:55 Auf der Kurve liegen alle unsere Tiefpunkte von der Funktionenchar fa von x = x² - ax. geht natürlich für alle anderen Funktionen und Arten von Punkten
5:05 genauso. Zuerst ausrechnen, wo die Punkte in Abhängigkeit vom Parameter liegen, dann umgekehrt zu den X-Wert aussuchen und ausrechnen, was man dann
5:15 für den Parameter einsetzen muss, damit bei dem x-Wärn so ein Punkt liegt und dann die Gleichung für den Parameter in die Punkte einsetzen. Fertig. Habt ihr
5:24 gecheckt? Dann probiert's mal aus an unserer Aufgabe. Bestimmt die Lage der Wendepunkte der Parameterfunktion FA von X. = e hoch - ax hoch 2. A soll dabei
5:35 irgendeine reelle Zahl über 0 sein. Stellt für die Wendepunkte die Ortskurve auf, auf der alle Wendepunkte liegen. PS das nachprüfen, ob das tatsächlich
5:45 Wendepunkte sind, könnt ihr euch sparen.