LAGE VON GERADEN im Raum – Lagebeziehung, analytische Geometrie, Vektoren
MathemaTrick
https://www.youtube.com/watch?v=S9m44EDVQ6M

Transkript (automatisch erstellt)

0:00 hallo in diesem video möchte ich mit euch zusammen die lage von zwei geraden immer traum durchgehen diese vier fälle können vorkommen
0:09 entweder sie verlaufen parallel oder sie sind identisch also die eine ist tatsächlich gleich wie die andere oder sie schneiden sich in genau einem
0:22 punkt hier oder der vierte fall sie sind windschief was bedeutet das habe ich jetzt hier mit zwei flugzeugen mal hin geschrieben
0:32 also das ist wirklich wie flugzeuge damit die nicht kollidieren verlaufen die ja in zwei verschiedenen ebenen also sie können über dem selben ort sein
0:45 zum gleichen zeitpunkt aber damit sie eben nicht kollidieren also nicht wie bei einem schnittpunkt dass sie unfall bauen verlaufen sie in zwei
0:56 verschiedenen ebenen dass sie übereinander fliegen können und windschief wie ihr vielleicht wirklich sehen könnt ist nicht parallel also die
1:06 können in verschiedene richtungen fliegen die müssen jetzt nicht in dieselbe richtung fliegen aber es ist halt auch kein schnittpunkt
1:14 weil sie eben über einen heftigen wir sind ja hier im raum und da ist es natürlich möglich dass diese zwei geraden eben nicht in einer ebene liegen
1:23 sondern in zwei verschiedenen und diese fälle möchte ich jetzt an zwei beispielen einmal haben wir diese beiden geraden die wir untersuchen sollen und
1:33 einmal diese beiden geraden das möchte ich jetzt mit euch durchgehen worauf ist zu achten also es gehören die ersten beiden fälle zusammen wie ihr seht sind
1:44 jedoch relativ ähnlich denn in beiden fällen zeigen die geraden in dieselbe richtung und wer ist dafür zuständig um die
1:54 richtung anzugeben naja ihr kennt ihn bestimmt den richtungswechsel also ihr habt ja immer ein stück weg tor also einen punkt auf eurer geraden und einen
2:03 richtungswechsel der euch die richtung zeigt und genau so haben wir auf dieser geraden einen punkt und einrichtungs vector der vielleicht in die andere
2:12 richtung zeigt aber von der gerade entsteht jeweils eine parallele gerade und auch hier haben wir genau dasselbe wir haben einen punkt und einrichtungs
2:20 vector und auch einen punkt und einen richtungswechsel wie ihr seht zeigen im grunde die richtungswechsel hier in den fällen in
2:28 dieselbe richtung ganz anders als hier unten wo wir einen punkt und einrichtungs vector haben und einen punkt und einrichtungs weg dort eine
2:36 völlig andere richtung zeigt aber hier zeigen sie in dieselbe richtung vielleicht in genau die entgegengesetzte richtung also 180 grad in die andere
2:47 richtung aber wenn ihr sohn gerade zeichnet wird das dieselbe gerade werden und deswegen untersuchen wir als allererstes die richtungswechsel wenn
2:58 ihr die lage untersuchen sollte denn die geben uns schon mal einen hinweis darauf ob die richtungswechsel in dieselbe richtung zeigen dann können die sachen
3:08 nur noch parallel oder identisch seien oder ob die richtungswechsel in unterschiedliche richtungen zeigen dann werden wir bei windschief oder bei einem
3:16 schnittpunkt also untersuchen wir die richtungswechsel als allererstes hier noch der vierte fall und das machen wir mal hier auf der nächsten seite
3:26 wir haben hier zwei geraden und die richtungswechsel sind ja immer hier der hintere teil wo dieser buchstabe nach vorne dran steht also 1 1 1 wäre ein
3:36 richtungswechsel und 222 und wir untersuchen jetzt diese richtungswechsel ob sie ein vielfaches voneinander sind das entscheidet nämlich ob sie in
3:47 dieselbe richtung zeigen so wie bei den beiden fällen oder ob sie wie im dritten und vierten fall in unterschiedliche richtungen zeigen und es funktioniert
3:57 ganz einfach ihr schnappt euch euren 111 vector und setzt ihn einfach gleich r x also und den buchstaben könnt ihr euch aussuchen den zweiten richtungswechsels
4:08 ihr wollt wissen ist der eine richtungs vector ein vielfaches von dem anderen und jetzt habt ihr so ein kleines gleichung system denn ihr könnt die
4:18 erste zeile auslesen da steht ja eins gleich zweimal er in der zweiten zeile steht eines gleich zweimal r und in der dritten 1 gleich zumal er ganz
4:33 außergewöhnlich das kommt natürlich auf eure zahlen anderen wie das gleiche system aussieht wichtig hierbei ist jetzt einfach nur dass ihr diese
4:40 gleichung systeme auflöst also wir wollen er alleine stehen haben also müssen wir hier durch zwei teilen damit dass er alleine steht wenn wir das
4:49 machen steht da er gleich ein halb genau so machen wir das in der zweiten zeile dann steht da auch er gleich ein halb uns in der dritten wunder es ist ja
4:59 alles gleich wenn wir dadurch zwei teilen steht auch er gleich ein halb und wenn für das er bei allen drei zeilen dasselbe ergebnis rauskommt dann
5:11 verlaufen eure richtung inspektoren in dieselbe richtung also rv also der richtung sektoren sind linie abhängig könntet ihr das nennen oder viel
5:23 voneinander je nachdem wie ihr das bezeichnet das bedeutet also wir sind jetzt entweder im ersten oder im zweiten fall denn wenn
5:33 wir jetzt noch mal zurück gehen haben wir gesagt wenn die vielfache voneinander sind also wenn sie in dieselbe richtung zeigen dann sind sie
5:41 entweder hier im ersten fall parallel oder wie im zweiten fall identisch sie können sich jetzt nicht mehr schneiden weil sie eben sonst in unterschiedliche
5:51 richtungen zeigen müssen oder sie können auch nicht mehr witzig sein weil auch hier zeigen sie eben in unterschiedliche richtung
6:00 das heißt wir müssen jetzt nur noch testen ob unsere beiden geraden echt parallel sind wie im ersten fall oder identisch und wenn sie identisch wären
6:13 dann müsste ja der punkt hier also dieser eine punkt von der einen geraden müsste auf der anderen geraden liegen und das testen wir jetzt wir schnappen
6:26 uns also einen stütz vector zeige ich euch gleich und testen ob der auf der anderen geraten liegt das heißt mit den stütz vektoren
6:36 haben wir ja noch gar nichts gemacht das sind die beiden hier vorne dran wir schnappen uns den einen und setzten den in die andere geraden gleichung ein
6:47 und gucken ob der auch auf der anderen geraden gleichung liegt das heißt für das ixs setzen wir jetzt diesen stütz vector einen da steht dann also 101 also
6:59 wegen diesem 101 vector hier gleich 123 ganz außergewöhnliche zahlen + t x 2 2 2 und jetzt kriegen wir schon wieder ein gleichung system das läuft immer auf
7:15 ziemlich viele gleich und systeme hinaus und wir vergleichen noch mal die zeilen also in der ersten zeile steht eins gleich 1 + 2 t in der zweiten steht 0
7:26 gleich zwei plus zwei t und in der dritten 1 gleich drei plus 2 t und dieses gleichung system lösen wir jetzt auch nachts auf machen wir das mal
7:42 ein bisschen flotter also wir machen uns ein bisschen im kopf wir rechnen - 1 damit die einst auf die andere seite kommt dann steht da 0 und dann um nach t
7:52 aufzulösen müssen wir noch durch die zwei teilen also 0 durch zwei ergibt 0 immer noch also das erste ts 0 hier in der zweiten gleichung müssen wir
8:04 auch zuerst die zwei auf die andere seite bringen also - zwei rechnen dann steht dann null - 2 ergibt - zwei würde hier stehen und dann müssen wir
8:14 auch noch mal durch zwei teilen damit s t alleine steht und minus 2 durch zwei ergibt - einst und jetzt könnt ihr schon aufhören also die dritte zeile ist jetzt
8:24 schon völlig egal denn für das t com unterschiedliche werte heraus also sobald das passiert dass unterschiedliche werte für das tier
8:35 auskommen dann wisst ihr dass dieser punkt denn ihr untersucht habt das denn nicht auf
8:41 dieser geraden liegt also der punkt p liegt nicht auf der geraden h das bedeutet für unseren fall jetzt was wir wollten testen ob dieser punkt auch auf
8:55 der anderen geraden liegt tut er aber nicht deswegen sind diese gerade nicht parallel und nicht identisch hätte diese andere punkt jetzt auch auf der anderen
9:10 gerade gelegen dann wären sie identisch gewesen ok also noch einmal zusammengefasst bedeutet dass um herauszufinden ob eine
9:19 gerade parallel oder identisch ist einmal noch mal schauen was wir gemacht haben untersuchen wir die richtungswechsel als allererstes und
9:28 gucken ob die vielfache voneinander sind dazu setzt man den einen gleich er mal den anderen und guckt ob würde ist er immer das selbe raus kommt wenn das so
9:39 ist dann sind sie viel voneinander und dann sind sie entweder echt parallel oder identisch und und das dann noch zu unterscheiden schnappt man sich den
9:49 einen punkt setzt den in der anderen geraden ein und guckt ob der punkt auch auf der anderen gerade liegt weil wenn sie identisch sein wollen dann muss der
10:00 punkt auch auf einen gerade liegen das tut er hier also nicht deswegen wissen wir dass diese beiden geraden hier echt parallel sind okay das wäre
10:09 der erste schritt für den fall eins und zwei und jetzt unterscheiden wir noch die anderen beiden fälle das ist ähnlich denn wir gehen schon wieder genauso am
10:20 anfang vor wie bei den anderen beiden fällen wir untersuchen erstmal die richtungswechsel denn wir wollen ja überhaupt wissen ob
10:29 die in unterschiedliche richtungen zeigen dazu gehen wir dann zu unserem zweiten beispiel also auch hier genau wie bei
10:40 dem anderen auch deswegen kann man sich das gut merken man untersucht erst mal die richtung sektoren wir schnappen uns den einrichtungs
10:47 vector den 102 und setzen den gleich ein vielfaches also eher mal den zweiten richtungswechsel 0 1 0 jetzt schauen wir
10:58 sind die vielfache voneinander das heißt wir lösen wieder ein gleichnis system oder stellen erstmals auf das steht 1 1 gleich r x 0 kommt einem schon
11:08 ein bisschen komisch vor aber gut 0 gleich einmal 1 und 2 gleich einmal 0 das wäre unser gleichen system was heißt denn jetzt ist es eher mal 0
11:23 also irgendwas x 0 ergibt 0 dh auf der seite steht eigentlich nur 0 und wenn mir das dann als gleichung lesen 1 gleich null ist schon mal direkt
11:34 ein fehler also sobald ihr einen fehler in diesem gleichung system findet braucht ihr gar nicht weiter zu rechnen das heißt jetzt dass unsere richtung
11:42 smackdown die wir untersucht haben dass sie eben kein vielfaches voneinander sind sie zeigen also in unterschiedliche richtung also keine vielfachen das sagt
11:56 uns jetzt was wir erhofft haben weil wir wollten den dritten und vierten fall untersuchen dass unsere richtungen von unseren
12:05 geraden unterschiedlich sind wir wollten ja nicht noch mal parallel untersuchen wir wollten jetzt zum fall drei und vier
12:12 und wenn die richtungswechsel eben keine vielfachen voneinander sind oder linie unabhängig je nachdem wie ihr das nennt dann zeigen sie diese geraden in
12:22 unterschiedliche richtungen und dann kann es jetzt noch passieren dass es einen schnittpunkt gibt und zwar genau einen schnittpunkt oder dass es eben
12:31 keinen schnitt punkt gibt und das ist das unterscheidungsmerkmal zwischen hier ein schlusspunkt und windschief nämlich hier gibt es einen schnitt punkt und
12:41 hier gibt es eben keinen und das müssen wir jetzt noch untersuchen denn das fehlt noch wir haben jetzt hier nur die richtung smackdown bisher untersucht und
12:51 herausgefunden dass es entweder jetzt ein schnittpunkt gibt oder eben vinci vorliegt und jetzt müssen wir eben noch testen ob
13:00 sie einen schnittpunkt haben schnittpunkt bedeutet wir setzen diese beiden geraden einfach gleich und schauen ob es einen punkt gibt also
13:09 schnappt euch diese erste gerade die 101 + s x 10.2 und setzt sich gleich der zweiten gerade der 1 2 3 0 1 0 das wird wieder ein gleichung system und
13:27 ich hoffe ihr mögt leitungssysteme denn hier kommen sie echt immer wieder vor und wir bauen uns jetzt ein gleichnis system daraus also lesen die zeilen aus
13:36 in der ersten zeile steht einsplus es mal eins also einsplus es gleich eins plus thema 00 mal irgendwas mit null also können wir erreicht wenn wir die
13:49 einst dahin schreiben in der zweiten zeile steht 0 + s x 0 also irgendwas x 0 ergibt 0 und 0 0 0 dasteht gar nichts nämlich null und auf
13:59 der rechten seite steht 2 plus 2 mal 1 also 2 plus t die dritte noch 1+2 es gleich drei plus thema 0 ergibt schon wieder 0 also nur 3
14:16 jetzt haben wir hier ein kleines gleichung system das müssen wir jetzt lösen wir jetzt hier vielleicht seht steht in der ersten zeile nur noch ein
14:27 es drin das heißt wir können die erste zeile direkt nach es auflösen indem wir -1 rechnen um die einzige auf die andere seite zu bringen
14:36 dann steht er nur noch es gleich null und auch in der dritten zeile haben wir nur noch es und auch das können wir auflösen wenn wir - 1 rechnen steht da
14:46 zwei es gleich zwei und dann müssen wir noch durch zwei rechnen also es gleich 1 wenn euch das mit dem gleichen system so schnell geht macht sich schritt für
14:57 schritt aber ich gehe da jetzt einfach mal so durch und jetzt was haben wir hier schon wieder einen widerspruch denn wir finden
15:05 für es zwei unterschiedliche werte es darf eben nicht vorkommen also immer wenn ihr zwei unterschiedliche sachen raus bekommt oder falsche aussagen dann
15:16 ist das ein widerspruch und was heißt das jetzt wir haben getestet ob es einen schritt punkt gibt weil wir haben beide gleichungen gleich
15:26 gesetzt und wollten einen schnittpunkt finden wenn wir jetzt aber einen widerspruch gefunden haben dann wissen wir es gibt keinen schnitt punkt gehen
15:35 wir kurz noch mal zurück zu unserer übersicht was heißt es jetzt wir wollten testen ob der fall drei vorliegt oder der fall 4
15:45 wir haben jetzt keinen schnitt punkt gefunden kanadas sind unsere flugzeuge die gott sei dank nicht kollidieren also wissen wir dass diese beiden geraden
15:56 hier windschief verlaufen und so kann man echt immer durch alle fälle durchgehend also als allererstes testet ihr die richtungswechsel ob die
16:06 vielfache voneinander sind das macht ihr in allen vier fällen und deswegen kann man sich das gut merken einfach durchziehen gucken und dann
16:13 unterscheidet ihr eben in welchem fall ihr landet ob ihr in dem fall eins und zwei landet weil sie in dieselbe richtung zeigen oder ob ihrem fall drei
16:22 und vier landet weil sie in unterschiedliche richtungen zeigen und dann müsst ihr nur noch so wie es euch gezeigt habe unterscheiden welche von
16:29 diesen anderen beiden fällen dann wirklich vorkommt ich hoffe es ist klar geworden ich habe gesagt es wird ein bisschen länger aber
16:36 dafür habt ihr jetzt wirklich so eine übersicht an den fällen die vorkommen können mit zwei geraden im raum falls ihr doch noch fragen zu ihren
16:44 aufgaben hat dann schreibt sie einfach in die kommentare