Abstand Punkt Ebene wenn Abstand gegeben ist, Hessesche Normalenform - Umkehraufgabe
Kochrezepte für Mathematik
https://www.youtube.com/watch?v=RLS6TeS0-nA

Transkript (automatisch erstellt)

0:00 in diesem tutorial werden wir uns eine abitur typische umkehr aufgabe zur hessischen normalen form anschauen bevor wir gleich bin ein beispiel aufgabe
0:09 loslegen werden wir zuerst allerdings noch ein paar grundlagen bezüglich diese hessische normalen form wiederholen und zwar in s3 müsst ihr euch erinnern dass
0:19 diese formel dafür gedacht ist den abstand eines punktes von einer ebene zu bestimmen die klassische formel sah so aus und wenn man diese formel ein
0:28 bisschen umformt dann kriegt man eine weitere form dieser formel aus und zwar die hier für diese art von aufgaben die wir hier lösen wollen ist die erste form
0:39 nicht so gut geeignet deshalb werden wir die zweite form benutzen und deshalb macht es durchaus sinn wenn wir uns erstmal an den aufbau dieser
0:48 formel erinnern also grundsätzlich kann man mit dieser formel den abstand eines punktes p von einer ebene bestimmen und die voraussetzung für die anwendung ist
0:59 die tatsache dass sich die ebene in koordinaten formate in die koordinaten darstellung befindet und deshalb schauen wir uns jetzt ein bisschen genauer die
1:07 formel an wir fangen mit dem leichteren teil an und zwar den nenner da erkennt ihr eigentlich die länge eines rektors und anhand dieser allgemeinen
1:18 koordinaten n1 n2 n3 ist ja klar dass es sich um den normal vector dieser ebene handelt im zähler tauchen dieser n1 n2 n3 ebenfalls auf und wenn ihr genauer
1:30 hinschaut erkennt ihr eigentlich die ebene wobei die koordinaten b1 b2 und b3 genau die koordinaten des punktes p sind was man dieser ebene einsetzen muss also
1:43 vereinfacht formuliert setzt man in zählern nur den punkt in die ebene ein und hier ist unser beispiel aufgabe ich überfliege kurz die aufgabenstellung
1:53 wenn euch das zu schnell geht dann drück dich auf pausen und dies die aufgabenstellung aufmerksam durch also gegeben sind die ebene in cortina
2:02 in form und die gerade g bestimme diejenigen punkte auf die von der ebene den abstand drei längen ein haben die erste frage die man sich stellt ist
2:14 vielleicht wie man überhaupt erkennen kann dass es sich um so eine art von umkehr aufgabe handelt naja ganz einfach man erkennt anhand der aufgabenstellung
2:24 dass es um punkte unebenen geht und am stand problem deshalb sollte man automatisch an die hf denken zweitens noch wichtiger ist die tatsache dass der
2:35 abstand gegebenes mit drei längen einheiten also immer wenn der abstand gegeben es handelt sich eigentlich um eine sogenannte umkehr aufgabe
2:45 zweitens für den fall dass sie schwierigkeiten habt euch diese ganze station gedanklich vorzustellen gibt es in der factory eigentlich eine sehr
2:54 einfache lösung man erstellt eine planskizze damit meine ich nicht diese sachen ein koordinatensystem eintragen das festzelt und seiner folgen solche
3:02 stationen sondern einfach nur eine planskizze vor dem bestellen dieser planskizze könnt ihr euch noch der gedanke kommen
3:10 welche lage beziehung sich dieser geradezu der ebene befindet naja eine aufgabenstellung ist nichts über die lage der beiden sachen gesagt das wird
3:19 es gibt auch keine besondere lage deshalb könnt ihr von allgemeinen fall geben oder ausgehen die allgemein fall würde bedeuten dass diese gerade
3:28 irgendwie die ebenen schneidet so wie hier rechts dargestellt vorbei die blaue ebene ehe als programm abstrakt dargestellt wird und die grüne linie
3:38 natürlich unser gerade ist als nächstes trage ich natürlich in diese skizze ein was die aufgabenstellung von uns will und zwar
3:47 bestimme diejenigen punkte auf g die von der ebene den abstand drei haben also so einem punkt könnte sich zum beispiel hier auch diese gerade befinden und er
3:58 hätte dann von der ebene diesen abstand drei den habe ich jetzt allgemein mit klein d bezeichnet allerdings ich hoffe dass es gute
4:06 kämpfer ist das könnte nicht der einzige punkt sein sondern hier unten könnte noch ein weiterer punkt geben das von der ebene ebenfalls diesen abstand hat
4:15 übrigens die tatsache dass es jetzt zwei punkte gibt beeinflusst eigentlich nicht die rechen weise das ergibt sich durch die rechnung automatisch
4:24 als nächstes wollen wir natürlich unser formel benutzen zur erinnerung das war diese hier und wenn man ganz normal die heim-elf
4:33 benutzt braucht man ein punkt um eine ebene und den um diesen abstand zu bestimmen allerdings wie ihr merkt ist hier alles
4:41 ein bisschen anders der abstand ist gegeben wir haben zwar eine ebene aber wir haben kein punkt aber das ist nicht weiter schlimm und
4:52 zwar wir wissen dass dieser punkt oder dieser punkte auf der geraden liegen deshalb zur erinnerung man kann jeder gerade zerlegen und in ein allgemeines
5:02 punkt darstellen und genau das werde ich hier an dieser stelle machen weil wir natürlich diesen punkt brauchen also wie zerlegen zeilenweise dieser geraden in
5:12 x1 x1 werde dann 2 + t x 1 oder kurz gesagt 2+ tx2 die zweite koordinate in der zweiten zeile ist 3 + t
5:25 und die x3 koordinate ist dann einfach nur - fünf plus nun sind natürlich - 5 und das alles kann man auch als ein sogenannter
5:37 allgemeine.de allgemein hier schreiben also wir nehmen diese allgemeinen koordinaten schreiben sie einfach hinter einander entsprechen dann den punkt b
5:46 hat dann die koordinaten 2 + d 3 plus und minus 5 jetzt haben wir einen passenden punkt was wir in dieser formel
5:58 hier oben einsetzen können also haben wir jetzt ebene punkt und unser abstand und rechts eingeblendet die formel wo wir das ganze einsetzen wollen
6:10 und das machen wir jetzt auch also wir fangen mit dem abstand anstatt die schreiben wir natürlich schon dem bekannten abstand also drei ist gleich
6:20 und dann kommt dieser langer flug strich wo wir diesen punkt b in die ebene einsetzen also haben wir dann entsprechend zweimal statt x1 schreiben
6:32 wir dann zwei plus de - klammer aufstiegs 23 plus tih dann - zwei mal - 5 und nicht vergessen die acht die auf der rechten seite steht
6:49 muss rübergebracht werden natürlich in diesem fall mit -8 alles im betrag und das ganze durch die länge des normal lektors der normale
7:01 vector könnt ihr hier problemlos erkennen zwei minus 1 und minus 2 erinnerung bei der längen berechnung kann man problemlos auch die negativen
7:12 vorzeichen weglassen wird ja eh alles quartiert deshalb schreibe ich jetzt nur zwei hoch zwei plus eins auch zwei und plus zwei hoch zwei
7:22 und jetzt wollen wir natürlich das ganze auf der rechten seite ein bisschen zusammenfassen also wir haben dann drei ist gleich und dann wieder unser lager
7:33 bruch strich einen zähler können wir entsprechen die klammern auflösen hier also wir haben dann zwei mal 210 4 + 2 t dann kommen die - klammer
7:46 deshalb - 3 - d und hinter - zweimal fünf kann man schon zusammenfassen zum plus 10 und das ganze noch minus 8 und männer haben wir die wurzel die kann man
8:01 auch ausrechnen beziehungsweise zusammenfassen 4 + 1 plus 4 9 und wurzel das 93 und jetzt könnten wir auch diesem buch
8:10 auflösen nehmen wir einfach mal das ganze mit drei multiplizieren damit verschwindet diese drei von hier unten und taucht auf der anderen seite
8:18 entsprechend haben wir dann hier neun stehen und innerhalb dieser betrag stücke kann man alles nochmal ein bisschen zusammenfassen also 21 bleibt
8:29 note übrig und 43 sind eins plus eins sind 11 - art sind wiederum 3 also das ist die gleichung die am ende übrig bleibt
8:40 und wenn die betrag stehe ich jetzt nicht da wären wäre das eine sehr einfache gleichung übrigens die betrag stichen haben schon eine bestimmte
8:49 bedeutung und die dürften nicht einfach so weg lassen es gibt gründe dafür wenn ihr eine betrags gleichung habt
8:57 müsst ihr immer eine so genannte fall unterscheidung machen also ich werde jetzt hier schreiben fall 1 den fall eins hätte man nicht verboten
9:08 können weil es bedeutet einfach dieser betrag steht wegzulassen der grund dafür dass ganz einfach im fall 1 geht man davon aus dass dieser
9:16 termin betrag sowie so positiv ist deshalb haben die betrag steht hier keinen sinn an dieser stelle heißt für uns 9 ist gleich t + 3 und dann können
9:26 wir jetzt problemlos nach der jungen form bringen einfach nur die drei über und somit haben wir dann ts gleich sechs zweiter fall dass es der fall der
9:37 manchmal vergessen wird hier an dieser stelle musste davon ausgehen dass der termin betrag negativ ist na ja und wie macht man aus der negative zahlen eine
9:46 positive zahl der waren einfach - davor setzt das sieht dann so aus neun ist gleich und wir setzen die gleich die ganze rechte seite in einem - klammer
9:56 wir haben dann entsprechen - in klammer t + 3 dieser - kramer kann man ja problemlos auflösen denn dann - t - 3 und dann
10:07 könnten wir entsprechen auch wieder nach dem formen würde ich hier einmal +3 machen dann haben wir zwölf ist gleich - t und wenn wir das ganze noch mal -1
10:18 nehmen dann haben wir für tee einfach der wert - 12 merkt das ist auch sehr wichtig es gibt zwei lösungen das sp1 und sp2 und das
10:31 ist auch gut so weil wir erinnern uns es gibt natürlich auch zwei punkte deshalb gibt es auch zwei lösungen wie gesagt das ergibt sich dann durch die rechnung
10:40 von selbst jetzt um diese zwei punkte zu bestimmen um die aufgabenstellung zu beenden muss man einfach nur diese zweite werte sechs und minus 5 da oben
10:52 in den allgemeinen punkt für tee einsetzen also ich fange natürlich mit 6 an ich nenne diese punkte an
11:00 und wenn wir jetzt sechs einsätzen haben wir zwei plus 6 sind natürlich 83 +6 9 und minus 5 bleibt und der zweite punkt ich glaube wir haben den vfb strich
11:14 bezeichnet jetzt müssen wir die minus fünf einsätzen also entsprechend haben wir dann - 10 dann 3 -12 sind - 9
11:25 und erneut die - 5 und das war dieser umkehr aufgabe zum schluss noch ein paar hinweise die euch vielleicht weiterhelfen zum
11:36 beispiel ab standpunkt ebene kann man mit aber auch ohne die hessische normalform ausrechnen es gibt noch weitere abstand zu nehmen die punkt
11:44 gerade da gibt es mehrere lösungswege genauso wie bei abstand zwischen schaefer geraten und spiegelungen smedley ist ein thema was fast
11:54 vollständig auf die abstands probleme passiert wenn bedarf tutorials so alle diese themen findet ihr gleich im abspann
12:02 und wenn euch dieses video geholfen hat vergiss nicht ein like ein hinter kommentar oder sogar ein abo kostet nichts