Uneigentliches Integral: Was ist das? Unbegrenzte Flächen in 6 Minuten verstanden!
matheskills2go
https://www.youtube.com/watch?v=RKMDfSfPm00

Transkript (automatisch erstellt)

0:00 wie du eine fläche zwischen zwei grenzen ausrechnen sonst hast du verstanden nun stehst du allerdings vor dem problem dass zu einem unbegrenzten flächen
0:06 inhalt bestimmen sollte die fläche ist dann doch auf jeden fall unendlich groß oder nicht und kann man das ganze dann überhaupt berechnen das schauen wir uns
0:14 gleich an [Musik] herzlich willkommen bei mathe skills to
0:23 go heute geht es um die so genannten eigentlich eine integrale beziehungsweise unbegrenzten flächen vielleicht erinnerst du dich noch an den
0:30 beginn dieser integral reihe dort habe ich die eine aufgabe zu einem stausee gezeigt es ging darum dass die schleuse eines stausees geöffnet wurde
0:37 und unmengen von wasser in maintal geflossen sind die wassermassen ließen sich mit dem integralen einer funktion bestimmen
0:43 gehen wir davon aus dass die funktionen zb von iks gleich zwei eu - lautete den grafen blende ich die hier einmal ein wir können so zum beispiel berechnen wie
0:52 viel liter wasser den stausee zwischen der nullten und der zweiten stunde verlassen haben dafür setzen wir diese werte einfach als
0:58 untere und obere grenze ein und berechnen das integral der graf ist sie natürlich durch die x-achse begrenzt den flächen inhalt markiere ich die hier
1:06 schauen wir uns nun aber eine andere aufgabenstellung an die funktionäre von iks gleich 2x bleibt dieselbe wie groß sind die geflossenen
1:14 wassermassen also der flächen inhalt zwischen graf und x-achse für den zeitraum ist gleich null bis unendlich stell dir also vor wir stoppen die zeit
1:22 nicht sondern das experiment hat erstmal kein zeitlich begrenztes ende im ersten moment bei betrachtung des grafen denkst du vielleicht dass das
1:29 ganze ist weil der flächen inhalte beschränkt ist schließlich erreicht er graf irgendwann die x-achse schaut man jedoch genauer hin so fällt auf dass
1:37 sich der graf allerdings nur an die x-achse an schmied die ist aber niemals berühren wird dementsprechend ist der flächen inhalt auf dieser seite
1:43 tatsächlich nicht begrenzt wie geht man nun also vor die vermutung liegt nahe dass man bei einer unendlichen zeitspanne einfach
1:50 folgendes integral ausrechnet wir setzen den startwert 0 und die obere grenze und endlich ein und berechnen das integral von 2x dx erwartungen die obere grenze
2:00 endlich kann man so leider nicht aufschreiben hierfür müssen wir uns etwas anderes überlegen wir nehmen einfach mal den
2:06 buchstaben z und setzten ihn an die stelle des unendlich zeichens ein der sinn dahinter wir berechnen wir sonst auch das integral stören uns nicht
2:13 weiter an dem z und lassen es am ende gegen den gewünschten wert laufen in diesem fall und endlich probieren wir es einmal aus wir haben also das integral a
2:21 von z gleich das integral von null bis z 2x konzept bedeutet einfach nur die fläche die berechnet wird in abhängigkeit von z beginnen wir mit
2:32 der integration aus 2x wird in klammern - 2x von z bis 0 wenn ihr dieser schritt unklar ist dann schaut einfach mal das video integration
2:41 eine funktion rein nun setzen wir die grenzen ein und erhalten - 2 - in klammern - 20 beziehungsweise vereinfacht - zwei plus
2:53 zwei euro -0 wird schließlich 1 und 2 x 1 ist 2 jetzt kommt das z ins spiel umsatz- soll ja beliebig groß werden dass unsere imaginäre grenze darstellen
3:04 soll das heißt wir lassen z gegen unendlich laufen du hast schon im thema verhalten einer funktionen gelernt was das
3:10 bedeutet z geht ging unendlich zu untersuchen ist was dann aus - 2 uhr - z +2 wird nun die zahl 2 bleibt zwei da sie nicht von z abhängt -2 und -10 hängt
3:23 allerdings schon konzert ab wir schreiben den ausdruck um und erhalten - 2 durch wir nutzen hier die regel die ich dir einen blender setzen wir für z
3:32 nun eine unendlich große zahl eingeht der länder mit gegen unendlich der bruch insgesamt aber gegen etwas wahnsinnig kleines beziehungsweise sogar gegen null
3:40 das liegt daran dass der nenner schließlich unendlich groß wird somit können wir diesen teil der formel einfach weglassen daher annähernd gegen
3:47 null geht übrig bleibt dann für den limes von a von z mit set ging und endlich der wert 2 du siehst der flächen inhalt ist
3:55 endlich genau genommen zwei groß das ganze ist vermutlich wieder ein kleiner makel deshalb folgt nun wie immer beispiel 2
4:01 wir haben die funktionäre von iks gleich zwei durch felix gegeben das integral soll bestimmt werden wobei die fläche von den achsen und der grenze zwei
4:09 eingeschlossen ist das ganze skizziere ich die hier einmal das integral könnte demnach so lauten das integral von 0 bis 2 von 2 durch wurzel xd xd die fläche
4:20 durch die y-achse beschränkt wird habe ich die grenzen gewählt da die funktion sich allerdings nur gegen die y-achse anschmiegt diese jedoch niemals
4:27 erreichen wird dürfen wir die null nicht als grenze zu verwenden wir greifen also wieder auf das zelt zurück und korrigieren unser integral
4:34 von z gleichzeit bis 2 von z durch wurzel von iks dx bevor wir integrieren schreiben wir das ganze wieder um und erhalten das integral franz
4:43 bis 2 von 2x hoch - ein halbwegs aus zwei durchwegs wurde 2 durch xo einhalb wir haben diese regel verwendet aus 2 durch x-bow einhalb wurde wiederum zwei
4:55 mal extra - ein halb drücke am besten auf pause und versuche die regeln in ruhe nachzuvollziehen integrieren und mit hilfe der potenz regel herauskommt 2
5:04 durch ein halbwegs doch ein halb von 2 bis z bzw vereinfacht 4x auch ein halb von 2 bis z das ganze kann wieder als wurzel
5:13 ausdruck geschrieben werden also vier wurzel iks von 2 bis z setzen wir die grenzen ein erhalten wir vier wurzel 2 -4 wurzel z jetzt werden
5:22 wir wieder das z verfahren an dem wir z in diesem fall gegen die wünschte grenzen offen lassen wir notieren also rz gegen null
5:29 untersuchen wir den ausdruck vier wurzel 2 -4 wurzel z4 wurzel 2 bleibt vier wurzel 2 da kein set vorkommt vier wurzel z hingegen geht für z gegen null
5:40 ebenfalls gegen null somit ist dieser teil wegzulassen das ganze geht also gegen das ergebnis 14 2 und kann so aufgeschrieben werden
5:48 der limes von az für z gegen null ist gleich vier wurzel 2 die fläche hat also ungefähr den inhalt 5,66 ich hoffe ich konnte das thema verständlich näher
5:58 bringen du siehst und eigentlich integrale bzw begrenzte flächen sind kein hexenwerk sätze einfach für die grenze der
6:05 unbegrenzten seite z ein und lass das z anschließend nach der integration gegen den gewünschten wert laufen wiederhole dafür bestenfalls noch einmal das thema
6:13 grenz verhalten von funktionen für fragen nutzen gerne die kommentarfunktion hat dir das video gefallen ich mich
6:19 selber ein positives feedback bis zum nächsten mal