MONOTONIE berechnen Ableitung – Monotonieverhalten Mathe, Intervall
MathemaTrick
https://www.youtube.com/watch?v=R0zBCociKiI

Transkript (automatisch erstellt)

0:00 alle lieben heute möchte ich euch zeigen wie man das monotonie verhalten einer funktion bestimmen kann und wir gehen das ganze zusammen an diesem beispiel
0:09 hierdurch bevor wir an die berechnungen gehen lasst es uns aber erstmal anschaulich betrachten was das monotonie verhalten überhaupt untersucht wenn wir
0:18 also wissen wie unsere funktion aussieht das wissen wir ja oft nicht am anfang aber sagen wir mal wir wüssten wie der verlauf ist dann interessiert es uns
0:26 beim monotonie verhalten einfach nur in welchen bereichen unsere funktion steigt also streng monoton steigend ist und in welchen bereichen die funktion fällt
0:37 also streng monoton fallend ist man geht immer von links nach rechts vor also wenn welche links staaten wäre unsere funktionär steigen steigen steigen
0:47 steigen steigend bis hierhin dann endet sie ihr monotonie verhalten und steigt nicht mehr sondern sie fällt eben bis hierhin fällt sie und dann ändert sich
0:58 schon wieder in monotonie verhalten jetzt in dem fall und steigt wieder an und wer sorgt für ein monotonie wechsel das wäre hier der hochpunkt und hier der
1:11 tiefpunkt also ein hochpunkt ender das monotonie verhalten genauso wie ein tiefpunkt das heißt extrem punkte sind sehr wichtig für uns um das monotonie
1:22 verhalten zu untersuchen merken uns auf jeden fall ansonsten gibt man dann eben auf der x-achse an in welchem bereich die
1:30 funktion steigt und in welchem feld also wenn wir das mal markieren dann wüssten wir das hier in dem bereich bis zu null also hier bis dahin auf der x-achse
1:40 betrachtet ist meine funktion streng und steigend dann von diesem hochpunkt bis zu vier in dem bereich fällt meine funktion und dann wissen wir ab der 4
1:53 bis ins unendliche reihen wächst meine funktion dann gelernt also das sind die dinge die wir untersuchen müssen und da wir gerade schon festgestellt haben dass
2:03 die extrem stellen wichtig sein werden habe ich euch eine kleine übersicht gemacht wie man die monotonie bestimmen kann auf platz zwei stehen auch die
2:12 extrem stellen aber als erstes muss man die definitions menge bestimmen denn die hat auch einen einfluss auf des wachstums verhalten das sehen wir ganz
2:23 am schluss zeige ich euch noch ein kleines beispiel wurde es dann wichtig wird machen es trotzdem definitions menge für unser beispiel die war hier
2:30 jetzt tatsächlich schon angegeben bei seiner ganz rationalen funktion ist es ja relativ einfache sind einfach alle reellen zahlen hier war die einfach
2:39 schon angegeben von daher haben wir unsere definitions menge wo die wichtig wird kommt am ende beides also wenn es alle reellen zahlen sind dann müsst ihr
2:47 das eigentlich nicht mit einberechnen irgendwas aber immer mal im hinterkopf haben ok erster punkt war relativ easy zweiter punkt jetzt kommt extrem stellen
2:58 bestimmen gehen wir mal an das dauert natürlich stellt man seine zeit aber ab und zu hat man es ja schon in teil 1 teil d gemacht dann hat man die extrem
3:06 stellen dann kann man natürlich schneller vorangehen aber gehen wir mal auf die suche nach den extrem stellen wir brauchen die erste und die zweite
3:13 ableitung dafür erste ableitung lasst sie uns bilden die hoch zahl wird mit der zahl vorne dran multipliziert dreimal ein viertel wären drei viertel
3:23 und dann wird die hoch zahl 1 kleiner gemacht aus marl 3 widmet 2 genauso hier zweimal drei halbe während sechs halbe also 623 und die hochzeitskleider
3:35 gemacht und wenn gar keine nix drin ist dann fällt die ableitung einfach weg oder die zahl fällt weg beim ableiten okay das war schon die erste ableitung
3:44 die zweite wird genauso schnell gehen die zwei mit den drei vierteln multipliziert das wären sechs viertel können wir kürzen mit zwei das wären
3:55 dann drei halbe und die hoch zahl wird ein kleiner gemacht es wird dann nur noch zu einem keks und wenn nur ein extremist dann fällt es beim ableiten ja
4:05 weg und nur die zahl die vorne dran steht bleibt übrig diese - 3 okay das ging relativ flott die ableitung haben wir das machen wir damit jetzt
4:14 um die extremen stellen zu finden schnappen wir uns unsere erste ableitung und setzten die gleich null also das ist die erste ableitung hier setzen wir
4:24 gleich null damit wir überhaupt extrem stellen finden können das ist jetzt eine quadratische gleichungen die man mit der pq formel oder abc formen lösen kann
4:34 wenn man unbedingt will es geht aber auch einen tick schneller denn hier steht ja gleich null und auf der anderen seite ist in jedem teil 1 iks drin
4:45 deswegen können wie ein iks ausklammern und dann den satz vom 0 produkt anwenden super sache auf jeden fall wenn man es denn sieht und schon ein bisschen geübt
4:55 ist also lasst uns mal nichts ausklammern was bleibt dann übrig hier vorne die drei viertel auf jeden fall und nicht mehr iks hoch zwei sondern
5:05 noch ein ex 0 1 haben wir ausgezogen und hier hinten bleibt nur die - drei übrig weil das ist wie gesagt raus gezogen jetzt haben wir hier ein produkt
5:14 irgendwas mal irgendwas gleich null dann dürfen wir jetzt den satz von 0 produkt anwenden dann ist entweder hier vorn der teil also diese six gleich null oder der
5:27 teile hier in klammern ist gleich null ist gleich null ist direkt schon mal eine lösung sehr gut und die gleichung müssen wir jetzt noch nach iks auflösen
5:37 indem wir +3 rechnen dann stehen die drei viertel iks alleine da rechts hätten wir unsere drei dann müssen wir noch durch drei viertel teilen damit das
5:49 ixs alleine steht 3 durch drei viertel können wir dreimal und den care wert nehmen vierte ritzel kürzt sich schön weg und nur die vier bleibt übrig schöne
6:02 zahlen eine erste und eine zweite mögliche extrem stelle wir müssen jetzt nur entscheiden sind es hochpunkte tiefpunkte oder vielleicht sattel punkte
6:15 hier an diesen stellen und dazu hilft uns die zweite ableitung die wir gott sei dank schon gebildet haben also schnappen wir uns unsere stellen hier
6:24 und setzen die in die 2 ableitung 1 bilden wir mal elf strich strich von 0 das heißt wir setzen nur hier ein und
6:35 berechnet dass drei halbe mal 00 - 3 werden also minusbereich sie ist negativ das sagt uns jetzt sofort dass wir einen hochpunkt an dieser stelle haben es
6:48 können und so einfach schon mal markieren sehr gut das selbe mit der vierte packen will in die zweite ableitung einberechnen dass drei halbe
6:57 mal vier und dann noch die - 3 hätten wir da wir können kürzen das wären 2 und 1 3 x 2 wären 6 -3 also da kommt heraus das ist positiv und das
7:14 sagt uns dass wir einen tiefpunkt an dieser stelle haben sehr gut damit hätten wir unsere extrem stellen gefunden 0 und 4 merken wir uns auf
7:25 jeden fall das war der zweite punkt jetzt kommt das herzstück des ganzen die monotonie intervalle wie können wir die jetzt angeben alles was wir bisher
7:36 herausgefunden haben steht hier nochmal definitions menge auf jeden fall auch wir machen uns mal eine x-achse und untersuchen jetzt mal alles was wir
7:46 haben definitions menge alle reellen zahlen das heißt wir müssen hier gar nichts eintragen alles ist erlaubt nur wenn ihr eine definitions lücke hier
7:55 gehabt hätte dann hättet ihr die eintragen müssen denn die werden wichtig sehen wir gleich beim letzten beispiel was ich noch vorbereitet hat
8:03 hochpunkt tragen wir bei 0 1 können wir einfach mal so ein zeichen dass da so ein hochpunkt ist und bei der 4 zeichnen wir einen tiefpunkt ein wo der genaue
8:16 liegt hier in welcher höhe ist egal für uns es geht nur darum dass wir das was die einzigen extrem stellen sind die es gibt das bedeutet vor meinem hochpunkt
8:27 wird die funktion auf jeden fall die ganze zeit steigen nach meinem hochpunkt wird sie fallen bis da halt jemand kommt der das ändert das wäre dann der
8:36 tiefpunkt der sorgt dafür dass ist danach wieder bergauf geht das ist jetzt übrigens genau der verlauf den ich euch ganz am anfang gezeigt habe das ist ja
8:44 die funktion die ich schon gezeichnet hatte wir haben es selbst herausgefunden durch die extrem stellen und jetzt heißt es einfach nur noch sammeln also wir
8:54 müssen jetzt die intervalle angeben die hier jetzt entstanden sind auf der x-achse gesehen startet man hier ganz links bei - und endlich das notiere ich
9:04 hier schon mal und läuft bis zu der ersten markierung die wir hier gesetzt haben das wäre die null also von - und endlich bis 0 ist unser erstes intervall
9:13 die klammern von den intervallen bei - und endlich ist es immer eine offene klammer also eine eckige klammer die nach außen geöffnet ist oder ihr macht
9:24 runde klammern ist auch noch offene klammer bis zu 0 und da muss man schauen wie so die vorlieben von ihrem lehrer oder prof sind ich habe es gelernt dass
9:35 man hier eine geschlossene klammer macht manche machen hier aber auch eine offene also das ist wirklich geschmackssache macht natürlich sowie ihres machen
9:44 sollte ich mache jetzt hier geschlossen haben und unsere funktion ist dann eben bis dahin streng monoton steigend so und dann kommt kümmern wir
9:55 uns schon um den nächsten bereich das wäre dann von der ein extrem stelle des alexa extrem schneller denn da ist unsere funktion streng monoton fallend
10:04 das heißt von null bis zu vier auch da mach ich jetzt wieder geschlossene klammern falls ihr das nicht so macht dann macht eben offene hin streng
10:13 monoton fallend ist sie da und daneben den letzten bereich den wir haben wenn da keine markierung mehr ist dann läuft es
10:22 einfach bis ins unendliche also ab der 4 bis nach unendlich ist unsere funktion dann streng monoton steigend die klammern hierbei der vier nachrichten
10:33 beschlossene bei unendlich da sind sich auf jeden fall alle eigentlich da macht man eine offene und das sind die gesuchten monotonie intervalle die wir
10:42 jetzt allein durch die extrem stellen und die definitions menge gefunden haben und thema definitions menge zeige ich euch jetzt noch ein anderes beispiel bzw
10:52 auch thema sattel punkt und was passiert wenn wir keine extrem stellen haben weil eben hatten wir extrem stellen da wussten wir hochpunkt alles klar dann
11:01 weiß ich wie meine funktion verläuft aber wenn wir zum beispiel nur ein sattel punkt finden die sie denn da aus dass es dann so wenn wir wirklich keine
11:10 extrem stelle finden wir müssen auch keinen sattel punkt finden es geht einfach nur darum wir finden keine extrem stellen meine funktion ist aber
11:18 überall definiert dann gibt es nur ein einziges monotonie intervall und zwar ein durchgängiges von - unendlich bis plus unendlich also meine funktion ist
11:30 entweder durchgängig streng monoton steigend so wie in diesem fall hier oder sie ist durchgängig streng noch tun fallend wenn man jetzt nicht weiß wie
11:39 der graf aussieht dann kann man trotzdem einfach die ableitung bilden von der funktion und dann setzt er einfach eine einzige stelle ein zb hierbei der einst
11:50 berechnen wir einfach die steigung an dieser stelle also f strich von der stelle 1 berechnen wir da kommt in diesem fall was positives raus und dann
12:00 wissen wir an dieser stelle steigt meine funktion dann wird sie es automatisch auch an allen anderen stellen durchgängig machen weil ja kein
12:09 hochpunkt oder kein tiefpunkt drin ist der daran was ändern könnte genau das war das szenario und das letzte szenario jetzt kommen wir endlich unsere
12:20 definitions lücke hierbei an der stelle 5 ist unsere funktion nicht definiert also hier alle fünf haben wir eine definitions lücke und wir sehen auch
12:30 ganz schön dass diese definitions lücke das wachstums verhalten ändert in dem fall denn links von der lücke ist unsere funktion streng monoton steigend es ist
12:42 kein hochpunkt ua tiefpunkt zu sehen und trotzdem ist nach der lücke unsere funktion strenge monoton fallend also definitions lücken können dass steigungs
12:53 verhalten ändern das bedeutet wir hätten hier jetzt zwei einzelne intervalle einmal von - unendlich bis zu - und endlich offen die fünf diesmal
13:05 jetzt auch definitiv offen denn die fünf ist ja nicht definiert also da haben wir streng und ton steigend und dann bekommen wir noch ein zweites offenes
13:15 intervall von der 5 bis unendlich da fällt unsere funktion also immer schön darauf achten welche definitions menge vorliegt dann kann ziemlich viel
13:25 passieren dann hoffe ich dass es ein schöner anblick für euch war in diese welt falls ihr fragen habt schreibt sie gerne in die kommentare
13:31 ansonsten bis zum nächsten video macht's gut