Integrieren Grundlagen (Integral)
Mathe - simpleclub
https://www.youtube.com/watch?v=Q6SyfR76k2s

Transkript (automatisch erstellt)

0:00 [Musik] das Integral erklärt von den simple
0:23 [Musik] ma in Stammfunktion basic tion bildet doch für was braucht man das überhaupt ein
0:35 Beispiel J Jan fährt Auto seine Geschwindigkeit beträgt konstant 5 m pro Sekunde die Funktion dafür ist die rote gerade parallel zur
0:47 x-Achse jetzt fragt sich Jan wie viel Strecke er nach 10 Sekunden zurückgelegt hat die Rechnung ist leicht hat man die Zeit und Geschwindigkeit gegeben kann
0:56 man leicht die Strecke berechnen dazu muss man einfach die Zeit mit der Geschwindigkeit multiplizieren jan hat nun berechnet
1:04 dass er nach 10 Sekunden 50 m zurückgelegt hat stellt man das im Schaubild da ist die Strecke die Fläche unter der Geraden
1:14 diese Fläche ist ein Rechteck welches mit 5 x 10 berechnet wurde wir halten also fest hat man ein geschwindigkeitszeitdiagramm gegeben
1:24 kann man die zurückgelegte Strecke ermitteln indem man die Fläche unter der Kurve berechnet in diesem Fall war die Fläche ein
1:32 Rechteck doch was hat das Ganze mit der Stammfunktion zu tun und was ist überhaupt das Integral wir hatten die Funktion f vonx
1:42 = 5 die zurückgelegte Strecke also die Fläche unter der Geraden nach 10 Sekunden hat Jan mit 5 x 10
1:51 berechnet die Strecke nach einer beliebigen Zeit X wäre dann also 5 x x denkt man jetzt zurück an die stammf so müsste etwas
2:01 auffallen genau 5 x X ist die Stammfunktion der Funktion FX = 5 das bedeutet also die Strecke oder die Fläche unter der Kurve ist gerade die
2:14 Stammfunktion zur Kontrolle setzt man in die Stammfunktion 5x die Zeit 10 ein man erhält wieder die 50 m Jan merkt sich also die Stammfunktion
2:26 gibt die Fläche zwischen der x-Achse der y-Achse und einer beliebigen rechten Grenze x an überprüfen wir das an einer anderen
2:35 Funktion Janna die Funktion FX = 2x nun will er die blau gekennzeichnete Fläche berechnen zuerst muss er die Stammfunktion
2:46 ermitteln diese ist nach den gelernten Regeln x² Jan erkennt dass die rechte Grenze im Schaubild x = 5 ist er setzt x = 5 in die Stammfunktion ein und erhält
2:59 die die Fläche 25 geometrisch lässt sich das natürlich auch überprüfen Jan erkennt dass die Fläche 1 Dreieck ist ein Dreieck berechnet man
3:10 mit einhb mal Grundfläche mal Höhe setzt der alle Zahlen ein erhält er wieder 25 wir können also absolut sicher sein dass die Stammfunktion die Fläche
3:22 unter der Kurve bildet bei den letzten Beispielen hatten wir immer eine festgelegte linke Grenze für die Fläche
3:30 diese war immer die yachse doch kann man auch eine andere linke Grenze wählen und dann diese Fläche berechnen
3:41 natürlich will man eine Fläche zwischen der Linken Grenze a und der rechten Grenze B berechnen geht man wie folgt vor zuerst berechnet man die Fläche von
3:51 der yachse bis B und zieht davon die Fläche von der yachse bis A ab das Prinzip jetzt verstanden jetzt geht's zur integralschreibweise oder
4:04 auch genannt leibnitschreibweise und die geht so zuerst schreibt ihr das komische große s also das große schwarze Zeichen
4:14 links das ist das Integralzeichen darunter wird die Linke Grenze a geschrieben und darüber die rechte Grenze B rechts vom
4:24 Integralzeichen wird die Funktion geschrieben und dahinter DX B deeutung des dxes ist für normale Schüler wie Jan zunächst unwichtig also
4:34 allgemein ausgedrückt das komische Zeichen darunter linke Grenze drüber Rechte Grenze und dahinter die Funktion unter
4:44 der man die Fläche berechnen will als nächstes schreibt man zweieckige Klammern und dazwischen die Stammfunktion der Funktion wie ihr seht
4:53 kommen hinter die eckigen Klammern wieder die beiden Grenzen als letzter Schritt kommt das rechnen
5:00 man berechnet die Stammfunktion der rechten Grenze und zieht davon die Stammfunktion der Linken Grenze ab noch mal zur
5:07 Erinnerung damit berechnet ihr die Fläche unter der Funktion f vonx mit der Linken Grenze a und der rechten Grenze B zur Verdeutlichung wieder ein Beispiel
5:18 die Funktion f vonx = - x² + 4 ist gegeben man soll die markierte Fläche berechnen J erkennt dass die link Grenze -2 ist und die rechte Grenze +
5:33 2 wie oben gelernt schreibt Jannes auf integral von -2 bis 2 von der Funktion - x² + 4 DX er bildet dann die Stammfunktion und hat - 13 x H 3 + 4x
5:49 hinten wieder die Grenzen nicht vergessen jetzt muss ich an die Grenzen einsetzen zuerst die obere Grenze also 2 2 3 + 4* 2 also 8 das ganze dann
6:05 - 13 x -2 ho 3 -8 hier ist es wichtig dass ihr den Teil hinter dem Minus in Klammern schreibt damit ihr wegen dem Vorzeichen keine Fehler macht also alles
6:16 immer in Klammern Schreiben der vordere Teil ist -83 + 8 dann minus Klammer auf 83-8 jetzt löst J die Klammer auf
6:30 wenn er das macht muss er das Vorzeichen in der Klammer umdrehen da vor der Klammer ein Minus steht erhält also statt -8 +
6:39 8 zusammengerechnet erhält das Ergebnis 32/3 die markierte Fläche ist also 32 dr Flächeneinheiten groß jetzt zu etwas sehr wichtigem
6:52 janner die Funktion FX = Sinus von X wie groß ist die markierte Fläche die Linke Grenze ist - PI die rechte + PI die Stammfunktion vom Sinus ist
7:06 Cosinus dies nach der gelernten Regel aufgelöst ergibt Cosinus von pi- KL auf Cosinus von min PI beim klammer auflösen dreht sich
7:19 wieder das Vorzeichen weil minus mal minus plus ergibt hinten also + Cosinus von PI rechnet er jetzt die Werte aus erhält
7:30 aber 1- 1 was ull ergibt die Fläche kann doch gar nicht Null sein man sieht doch eindeutig dass die Fläche größer als Null
7:41 ist wir versuchen es zu erklären Flächen die sich unterhalb der x-Achse befinden gehen negativ in die Rechnung ein deswegen ist es immer wichtig sich bei
7:51 der Integralrechnung eine Skitze zu machen und die Flächen oberhalb und unterhalb einzeln zu berechnen also machen wir es richtig zuerst
8:02 berechnen wir die reine grüne Fläche und dann noch die rot punktierte für die grüne Fläche mit den Grenzen 0 und PI ergibt sich eine Fläche
8:11 von 2 für die rot punktierte Fläche mit den Grenzen - PI und 0 ergibt sich eine
8:19 Fläche von -2 die Gesamtfläche ist also 2 plus Betrag von 2 = 4 warum Betrag klar weil Flächen ja schlecht negativ sein können
8:31 bekommt ihr also ein negatives Ergebnis nach einer Integralrechnung nehmt einfach die positive Zahl also den Betrag der
8:40 negativen jan hat jetzt das Prinzip der Integralrechnung verstanden er weiß jetzt wozu man die Stammfunktion braucht wenn ihr noch mehr zum integral oder
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9:04 [Musik]