Die gedämpfte Schwingung | (NEU)
Studytiger - Physik & E-Technik
https://www.youtube.com/watch?v=OpvlY353vW4

Transkript (automatisch erstellt)

0:01 In diesem Video geht um die gedämpfte Schwingung und das ganze gucken wir zuerst jetzt am Beispiel der Federpelschwingung an und dann
0:08 besprechen wir hier die einzelnen Fälle Schwingfall, aber Grenzfall und Kriegfall und danach leiten wir mal hier die Differentialgleichung her. Jetzt
0:18 seht ihr erstmal hier rechts eine freie ungedämpfte harmonische Federpelstehung. Ihr seht das Objekt schwingt immer hoch und runter. Und jetzt könnt euch
0:29 vorstellen, in der Praxis haben wir immer eine gewisse Dämpfung. Seht ihr jetzt auch mal hier, wenn ich jetzt mal hier das Objekt runterziehe und jetzt
0:37 eine Spingung einleite, dann würdet ihr sehen, irgendwann würde jetzt so langsam die Masse aufhören zu schwingen. Liegt eben daran, dass wir jetzt hier gewisse
0:46 Verluste haben. der Reibungsverluste durch die Feder durch Luft und dadurch haben dann eben jetzt hier so ein Abklingen der Amplitude, weil logisch
0:56 durch die Reibung verlieren wir mit jeder mit jedem Schwing Energie sodass dann irgendwann nach und nach die Energie verloren geht und dann
1:04 irgendwann die Schwingung aufhört. Und dann wäre das jetzt eben hier schon mal ein Beispiel für ein Schwingfall. Schwingfall heißt, wir haben jetzt
1:14 weiterhin ein Schwing, aber durch die Dämpfung verliert das System nach und nach Energie und irgendwann hört die Schwimm auf. Und jetzt können wir hier
1:25 sagen, dass wir dann beim Schwingfall eine schwache Dämpfung haben. Also die Dämpfung ist jetzt noch nicht so stark, dass jetzt und das sehen wir gleich,
1:34 dass jetzt die Schwingung sofort aufhört, sondern wir verlieren nur nach und nach Energie. Wir werden sprechen von einer schwachen Dämpfung und hier
1:43 können wir sagen, dass jetzt hier schwierig Stichwort dieser Buchstab ist die Dämpfungs Konstante. Es gilt jetzt, dass jetzt hier die
1:53 Dämpfungsfaktonstante jetzt kleiner als Omega0 die Eigenfrequenz hier bei der Schwingung ist. Und ihr seht noch rechts Animation,
2:03 je höher und stärker die Dämpfung und das wird dann über die Dämpfungskonstante beschrieben, je höher die Dämpfungskonstante,
2:11 ja, logisch, desto schneller haben wir dann so ein Abkling und jetzt können wir hier im Schwingfall diese Funktion jetzt mit folgender Gleichung beschreiben. Und
2:22 zwar können wir sagen, dass jetzt hier s von t g=ich und dann überlegen wir mal, wir haben jetzt einmal einen Sinusanteil und jetzt noch so ein Anteil durch die
2:34 Dämpfung. Kann ich auch mal so darstellen. Wir könnten jetzt mal hier die einzelnen Schwingungs Berge können wir dann jetzt hier über so eine rote
2:43 Kurve darüber noch darstellen. Und dieser Teil beschreibt dann eben genau die Dämpfung. jetzt hier mit euch- und dann delta mal t
2:56 unseren Sinusanteil sodass dann als Schwingungsgleichung sagen können, wir haben ein SCH, das ja allgemein bei Schwingungsgleichung erstmal ein Maximum
3:05 unserer Auslenkung mal und jetzt einmal hier durch die Dämpfung mal das E- hier Delta mal t mal weiterhin unseren Sinusanteil. Sinus
3:19 omeg t. Das der Unterschied zu ungedämpften Schwingung. Da haben wir einfach nur s8 mal Sinus Omega t und da sehen wir eben je höher das Delta, desto
3:27 schneller hier das Abklingen, desto steiler hier der rote Bereich. Und dann, wenn wir jetzt eben die Dämpfung hier noch weiter erhöhen und zwar dann können
3:38 wir folgendes sagen hier bei Schwingfall gilt, dass jetzt hier die Dämpfungskonstante oder auch Abgekonstante, die ist jetzt hier immer
3:47 noch kleiner als die Eigenfrequenz des Systems, kleiner als Omega0. Und wenn wir dann aber jetzt hier die ab Konstante noch weiter erhöhen, dann
3:58 kommen wir hier zum aberischen Grenzfall oder Kriegfall. Und zwar ich kann es jetzt erstmal schon mal hinschreiben. Der aberche Grenzfall ist, wenn wenn die
4:06 Abklingkonstante genau Omega0 ist und hier ist die Abklingkonstante sogar größer als Omega0, weil erstmal logisch vorgespim Kriegfall, wenn jetzt die
4:16 Dämpfung so stark ist, größer als die Eigenfrequenz, dann kann man sich vorstellen, dass jetzt bei einer ganz starken Dämpfung wir so viel Energie aus
4:25 dem System ziehen, dass das System jetzt so viel auffhört zu spielen. Ein Beispiel wäre, wenn wir mal das Federpendel jetzt irgendwie in einer
4:33 ganz cflüssigen Flüssigkeit wie Honig dann geben, dann kann man sich vorstellen, dass das Spendel jetzt hier keine weiteren Schwingung mehr
4:42 durchführt, sondern sofort hier die Masse abgebremst wird und dann abhischer Grenzfall ist so ähnlich. Nur da treffen wir jetzt genau mit der
4:52 Dämpfungskonstante die Eigenfrequenz und da sehen wir auch, dass jetzt hier das Abklingen kürzer ist und jetzt seht ihr das mal in drei Animationen dargestellt.
5:04 Beispiel für Schwingfall wäre eben Feder einfach in Luft. Nach und nach hört das zu schwingen auf. Und jetzt absische Grenzfall. Da haben wir z.B. eine
5:11 Flüssigkeit, die jetzt aber dann nicht so stark dämpft wie die dritte Flüssigkeit beim Kriegfall. Und der Grund, warum jetzt beim aberodischen
5:21 Grenzfall jetzt das Abding schneller ist, was man dann an der Praxis auch oft gebrauchen kann, ist, dass man kann sich so ein bisschen vorstellen, wir haben
5:29 hier eine geringere Dämpfungskonstante. bedeutet das System hier, die Masse wird jetzt nicht so stark gebremst, deswegen nicht so stark bremst, schwingt erstmal
5:42 noch ein bisschen schnell nach unten, aber durch genau diese Dimensionierung ist es dann so, dass wenn die Masse dann einmal nach unten ist, sie nicht mehr
5:52 sich wie hoch bewegt, weil sie dann genau an dem Punkt, wo sie in einmal unten ist, dann genau zu diesem Zeitpunkt komplett die Energie verloren
6:00 hat und dann nicht mehr hochschwingt Und der Vorteil eben dadurch, dass die Impfung jetzt nicht ganz so stark ist wie beim Kriegfall, haben ist halt die
6:09 Abbremsung nicht so schnell wie hier beim Kriegfall. Da ist ja ein ganz langsam das noch abz Kriegfall abiodisch Grenzfall hat man nutzt man z.B. Bei
6:18 Stoßdämpfern, da will man eben nicht so ruckeln, nicht so ein Schwing haben, da nutzt man dann den abhischen Grenzfall oder es gibt auch noch Bremstüren,
6:27 vielleicht kennt es, wenn man die so zuverlässt, dann am Ende werden die genau gebremst, gehen dann langsam zu, dann nutzt man auch das ganze hier.
6:34 Jetzt als nächstes wollen wir jetzt speziell beim Federpendel die Differentialgleichung herleiten und jetzt haben wir hier eine harmonische
6:43 Spingung und überlegen wir mal, was gilt denn jetzt hier allgemein an Kräften bei der harmonischen Schwingung? Wir haben ja jetzt erstmal bei der ungedämpften
6:55 freien harmonischen Schwingung immer hier eine Rückstellkraft. Deswegen jetzt erstmal überlegt hier Differentialgleichung bei der normalen
7:03 Harmon Schwingung und Demppung hatten wir eine Rückstellkraft F rück und die war mit der Formel beschrieben minus jetzt minus, weil geh
7:12 jetzt Richtung ist jetzt eine Richtungsbetrachtung hier - D mal s von t. Ja, man kann es sehen f = - d mal s sieht man z.B. auch noch kurz D ist ja
7:22 die Federkonstante und umgestellt nach Dibt bisher D = F dur S und das war ja auch das Hut Gesetz F dur S. Daran kann man es noch ein bisschen sehen, aber das
7:31 dann hier die Gleichung und dann brauchen wir jetzt hier ein Kräftegleichgewicht. Jetzt können wir sagen, diese Kraft entspricht dann in
7:40 diesem System gleich f = mal a. Also hier vorgestellt und dann jetzt mit entgegensetzter Richtung, damit wir dies Kräftsplecht aufstellen können. F = M
7:52 mal a von t so erstmal bei der ungedämpften Spülung sagen können, wir hätten jetzt hier ein m mal a von t
8:06 = 1 - d mal s von t. Das war bei der ungenäppten Stung der Fall. hier Kräftegleichgewicht. Man kann sich auch vorstellen, dann je weiter wir den
8:17 Körper nach unten ziehen, desto höher ist dann die Rückstellkraft und gleichzeitig dann auch je weiter wir den Körper da unziehen, desto stärker wir
8:26 der Körper dann beschleunigt hier. Deswegen dann auch ein höheres Aut. das erstmal das Kräftgleichgewicht und jetzt haben wir eben zusätzlich bei der
8:34 gedämpften Schwung jetzt eben noch dann Dämpfungsverluste, die dann jetzt hier in die Gegensetzrichtung wirgen und zwar dann auch hier in diese Richtung. Ich
8:44 mache mal jetzt noch ein Pfeil, ja, noch einen roten Pfeil hier und das wä dann jetzt auch minus hier - k V mit k jetzt erstmal einer gewissen
8:56 Konstante abhängig von der Geschwindigkeit, sodass wir dann das jetzt hier in die Differentialgreichung noch schreiben können. Ist dann gleich
9:04 minus und jetzt k mal v t. Das erstmal der allgemeine Ansatz und dann bei der Differentialgleichung wollen wir das ja jetzt alles in Abhängigkeit von einer ab
9:17 zeitabhängigen Größe haben. Das heißt, wir wollen nicht mehr AS S und Von haben und wie können wir das umwandeln? Ist ja möglich, weil V und A ist eine Ableitung
9:26 von S. Gilt ja allgemein hier. Wir können auch sagen, V ist die erste Ableitung der Strecke und die Beschleunigung ist die zweite Ableitung
9:34 der Strecke. Ist Thema beschleunte Bewegung, sodass wir dann jetzt einmal das hier nutzen können und wir können das Ganze noch nach links bringen,
9:42 sodass wir eine Differentialgleichung aufstellen, wo wir am Ende gleich 0 stehen haben. Bedeutet beides jetzt in einem Schritt gemacht. Wir haben jetzt
9:49 einmal statt m a von t m zweite Ableitung von t der Strecke plus dann das D mal s von t. Das lassen wir so, weil wir wollen das S haben. + D mal S
10:00 von T und dann jetzt + K mal V von T. Aber jetzt setzen wir statt V eben die erste Abreitung der Strecke ein, also s Punkt von t=
10:10 0. Dann haben wir so zur Differentialgleichung nur mit einer zeitabhängigen Funktion s von t und dann im letzten Schritt teilen wir noch hier
10:19 durch m, so dass wir dann jetzt hier s Punkt von t plus jetzt alles durch m geteilt + d durch dur m s von t und dann plus ich könnte jetzt noch das SPKT nach
10:34 vorne schreiben, aber jetzt jetzt ich das gleiche + k n m n mal S P von T = 0. Das dann unsere fertige Differentialgleichung. Und diese
10:47 Differentialgleichung gilt eben jetzt speziell für unser Federpendel eben auch mit speziell d der Federkonstanten. Und das wiederum diese Bewegungsreichen für
10:57 S von D, die gilt ja allgemein bei gedämpft Schwingung. Allgemein habe immer so eine gewisse Dämpfungskonstante und immer das Skill allgemein. Und wenn
11:06 wir jetzt diese allgemeine Funktion einer Gläpfenschwörung jetzt hier speziell auf das Federpendel übertragen, also dann hier das S von T hier
11:17 einsetzen würden mit noch D und M, also unseren konkreten Systemparametern beim Federpendel, dann erhält man sehr kompliziert dann eine
11:26 Differentialgrechung, die man lösen könnte. Und dann könnte man jetzt hier genau das ganze lösen. Und zwar würde man dann jetzt hier ein Omega erhalten,
11:37 weil wir haben ja dann hier das Omega drin und die Abgon Delta drin. Die könnte man dann hier berechnen und dann erhält man jetzt hier einmal für Omega
11:47 den Wert hier Wurzel aus DM m- und dann die Ablenkonstante hoch 2 und hier das Delta die
12:00 Ablenkonstante selbst wäre das k hier mit dem k dem Dämpfungsmaß, was wir allgemein jetzt hier beim Federpanel angesetzt hätten. Und wenn ihr euch
12:11 diese Formel anguckt, vielleicht kennt ihr es schon bei der normalen harmonischen Schwung ungedämpft, da war ja das Omega hier beim Federpendel
12:19 pulzel aus DCH m und jetzt haben wir eben noch zusätzlich eben minus dann das Delta Quadrat eben die Abkstante. Und das macht auch Sinn mit dem, was wir
12:29 schon hier besprochen haben, denn wir sehen jetzt, wenn jetzt hier die Abkstante kleiner als Omega 0 ist, deswegen macht auch das Sinn, dann hier
12:38 eingesetzt haben wir dann immer noch ein Omega, also immer noch Omega heißt wir haben immer noch ein Schwing, ein Frequenz beim Schwingen, nur die halt
12:46 solutch keiner ist und gleichzeit, also damit sehen wir gleichzeitig Schwingfall bedeutet, wir haben weiterhin ein Schwing, aber mit geringerer Frequenz
12:55 und deswegen seht ihr auch mal Hier. Ihr seht erstmal das Schwing ohne Dämpfung. Achte mal auf die Frequenz. Ihr seht hö Wir haben jetzt noch eine höhere höhere
13:04 ähm Kreisfrequenz. Bedeutet das Schwing ist noch ein bisschen schneller. Und jetzt seht ihr mal genau bei Dämpfung und da seht ihr das auf mal langsamer
13:11 schwingt. Ist auch ein bisschen logisch, wenn wenn es gebremst wird, schwingt jetzt ein bisschen langsamer. Kann man darüber berechnen, aber wichtig die
13:19 Schwingung an sich, die schwingt jetzt über die Zeitlang gleich schnell. Also ist nur so verglichen ohne Dämpfung, mit Dämpfung, mit Dämpfung schwingt das
13:30 Ganze langsamer nach dieser Formel, aber die Schwingung mit Dämpfung, die schwingt in der gleichen Frequenz. Die will jetzt nicht hier währenddessen ähm
13:38 langsamer. Also, wir können sagen, bei so einer äh gedämpften Stimmung ist die Frequenz aber hier mathematisch konstant. Dann noch hier
13:47 dies Formel K durchs VM kann man sehen. Das noch eine Sache dazu. Dann flinke ich noch hier ein Aufgabenvideo zum Thema Genämpferschwung. Dann hier noch
13:54 weitere Spielungsvideos äh verlinkt, hier noch mal Chemiekanal verlinkt und das war's dann damit zu diesem Video.