Abstand Punkt Gerade mit LOTFUßPUNKTVERFAHREN!
Einfach Mathe!
https://www.youtube.com/watch?v=OVpp6T79K2E

Transkript (automatisch erstellt)

0:00 hallo und herzlich willkommen zum heutigen Video in dem heutigen Video möchte ich gerne mit Dir einmal darüber sprechen wie man den Abstand von einem
0:06 gegebenen Punkt zu einer gerade in der Vektorrechnung mit Hilfe des sogenannten dodfußpunktverfahrens berechnet wir haben jetzt eine Menge vor ich würde
0:13 sagen wir verlängern jetzt nicht allzu viel Zeit und fangen mal direkt an also gegeben sind der Punkt und die gerade und du kannst dir vorstellen dass so ein
0:21 Punkt ja unendlich viele Abstände zu einer graden hat ne ich könnte z.B diesen Abstand messen ich könnte irgendwie diesen Abstand messen ich
0:28 könnte diesen Abstand messen doch wenn man von dem Abstand von einem Punkt zu einer graden redet dann spricht man immer von dem kleinsten Abstand und
0:35 dieser entsteht immer dann wenn man im Endeffekt hier senkrecht zu der Geraden geht und hier einen rechten Winkel hat das ist dann genau dieser Abstand den
0:44 wir im Endeffekt suchen also D für distance und diesen Abstand den werden wir jetzt hier mit Hilfe des lotfußpunktverfahrens wie ich es gerade
0:52 schon sagte berechnen das lotfuß punktverfahren hat eigentlich immer dieselben Schritte die man abspulen kann das erste was was wir machen werden ist
1:00 wir werden eine Ebene bilden ne die siehst du jetzt hier rot eingezeichnet und diese Ebene braucht besondere Eigenschaften die erste Eigenschaft ist
1:08 sie soll senkrecht zu der Geraden sein ne das hatten wir gerade schon besprochen damit hier genau dieser kleinste Abstand ermittelt werden kann
1:15 und nicht irgendeinen Abstand also senkrecht zu der Geraden g und sie soll auf jeden Fall durch den Punkt gehen ne das heißt wenn ich jetzt hier irgendwie
1:23 eine gerade eine Ebene erstellen würde wird sie ja mir nicht irgendwie dabei helfen genau diesen Abstand zu berechnen also wir brauchen den die Ebene einmal
1:32 senkrecht zu der Geraden und diese Ebene soll durch den Punkt gehen warum machen wir das du kannst dir vorstellen dass wenn wir diese rote Ebene gebildet haben
1:40 können wir im nächsten Schritt den sogenannten Fußpunkt berechnen das ist der der Schnittpunkt von der gegebenen gerade mit der gerade entstellten Ebenen
1:48 ne also genau dieser Punkt hier der hier rot eingezeichnet ist wenn wir diesen Punkt nämlich haben den hier danach können wir dann nämlich den Vektor von P
1:57 zu diesem Fußpunkt berechnen also im Endeffekt den Vektor von P nach F du würdest mir ja recht geben die Länge von diesem Vektor ist gleich der Abstand von
2:06 diesem Punkt ne das heißt erster Schritt Hilfsebene mit den geforderten Eigenschaften aufstellen zweiten Schritt den Schnittpunkt von der Ebene und der
2:14 Geraden berechnen dadurch erhalten wir den sogenannten Fußpunkt dritter Schritt dann brauchen wir den Vektor von P nach F und im vierten Schritt können wir dann
2:21 die Länge berechnen weil genau diese Länge von diesem Vektor gleich dem Abstand von dem Punkt zu der Geraden ist so viel zu der Taktik und ich würde
2:28 sagen jetzt geht's mal direkt ans Rechnen also im ersten Schritt brauchen wir die Hilfsebene und eine Hilfsebene wenn man mit Hilfe des L
2:38 lotfußpunktverfahrens arbeitet bildet man immer in der Koordinatenform oder in der Koordinatengleichung wir wollen ja dass die Ebene auf jeden Fall senkrecht
2:47 zu der Geraden g ist dadurch können wir jetzt den Richtungsvektor von der Geraden als Normalenvektor von der Koordinatenform nehmen so eine
2:53 Koordinatenform hat ja immer den Aufbau N1 X + N2 y + N3 Z = D ne und unsere Aufgabe besteht
3:05 jetzt darin N1 N2 N3 und dann schlussendlich auch das D zu bestimmen ich habe hier unten eine kleine Skitze eingefügt du siehst jetzt hier im
3:12 Endeffekt die gerade eingezeichnet im Blau mit dem Ortsvektor und mit dem Richtungsvektor und wir wollen ja dass die Ebene senkrecht zu der Geraden ist
3:20 oder andersrum dass hier jetzt quasi so ein rechter Winkel entsteht wie realisiert man das relativ einfach man benutzt den Richtungsvektor von der
3:28 Geraden als normalen Vektor von der Ebene du weißt ja so eine Koordinatenform hat immer normalen Vektor und dieser ist senkrecht zu der
3:35 Ebene und wenn ich jetzt hier den Richtungsvektor von der Geraden als normalen Vektor benutze heißt es dann auch dass die gerade senkrecht zu der
3:42 Ebene ist also ich schnappe mir jetzt den Richtungsvektor das ist ja der hier und den setze ich dann für N1 N2 und N3 erst
3:51 einmal ein das ist immer der erste Schritt wenn ich das mache bin ich hier dann bei 1x +0y + 1 Z = D damit habe ich schon mal
4:03 die erste geforderte Eigenschaft realisiert gerade und ebene sind senkreicht jetzt möchte ich ja auch dass die Ebene durch den Punkt geht also
4:10 benutze ich jetzt den Punkt um das D zu berechnen indem ich jetzt hier die Koordinaten von Punkt von dem Punkt mir schnappe und diesen hier für X Y und Z
4:19 einsetze ne also bin ich jetzt hier bei 1 x 1 + 0 x 2 + 1 x 0 = D kann das Ganze aus rechnen 1* 1= 1 0 x 2= 0 1* 0 0 so 1 + 0 + 0 ist natürlich 1 so und jetzt
4:39 kann ich das D wiederum welches ich ja jetzt hier gerade berechnet habe hier noch mal einsetzen dann habe ich auch genau diese Ebene da bin ich bei 1x + 0y
4:49 + 1 Z = 1 das dann genau diese Hilfsebene und damit haben wir auch den ersten Schritt komplett abgehakt sie ist jetzt senkrecht zu der Geraden die diese
4:59 Ebene und die enthält den Punkt P gehen Schritt weiter jetzt brauchen wir den sogenannten Fußpunkt den lotfußpunkt hierzu lassen wir jetzt im Endeffekt
5:07 oder berechnen wir jetzt im Endeffekt den Schnittpunkt von dieser Geraden mit der gerade aufgestellten Ebene es geht genau um diesen Punkt hier wie berechnet
5:15 man so ein Schnittpunkt von einer graden und einer Ebene nun gerade wenn die Ebene in Koordinatenform gegeben ist ist das relativ einfach du liestst dir die
5:22 oberste Zeile raus von der Geraden das kannst du jetzt hier einfach mal notieren die oberste Zeile ist dann ja z + 1 s kürzer aufgestellt 2 + S du
5:33 liestst die mittlere Zeile von der Geraden raus da sind wir hier bei y ist= -1 weil + S mal 0 fällt weg und du liest die untere Zeile fürs Z heraus 1 + S
5:44 also ne 1 + S mal 1 kann man kürzer notieren ist einfach nur 1 + S warum ist es so du musst dir vorstellen dieser Vektor hier der hier steht der ist ja
5:52 eine abkürzende Schreibweise für ich schreib es einfach mal da drüber wenn ich den ausschreiben würde wird hier ja stehen
5:58 XY und Z ne dann gehst Du einmal die obere ja Gleichung oder die obere Zeile entlang für X die mittlere Zeile für Y und die untere Zeile für z was haben wir
6:10 jetzt gewonnen nun wir können das jetzt im Endeffekt für X Y und Z hier in diese Ebene einsetzen wenn wir das dann haben dann entsteht eine Rechnung und dann
6:18 können wir im besten Fall genau den Parameter nämlich das S berechnen wenn wir das haben können wir das S wiederum hier einsetzen und haben dann den
6:25 sogenannten Fußpunkt ne also den Schnittpunkt von der Graden mit der Ebene jetzt setze ich das mal ein da bin ich hier bei einmal 2 + S wie du siehst
6:34 einmal das X durch 2 + S ersetzt ja dann + 0 x -1 fürs y die -1 eingesetzt und jetzt + 1 x 1 + S = 1 ne wie du siehst einmal genau das drei oder diese drei ja
6:51 Gleichung hier eingesetzt und jetzt können wir natürlich diese Gleichung lösen ne 1* 2 2 1 x s S 0 x -1 f Weg 1 x 1 ist 1 1 x S ist 1 S und =ich 1 für die
7:05 rechte Seite jetzt können wir natürlich das zusammenfassen was man zusammenfassen kann wir haben hier 2 und 1 das ist dann 3 1 S Plus noch ein s
7:13 sind dann 2S so und diese Gleichung die können wir jetzt durch Gegenrechnung nach S auflösen nhmen wir sie einmal mit -3
7:20 verrechnen ja wir holen die rechte die reine Zahl auf die rechte Seite da bin ich hier bei 2S = 1 - 3 -2 Teile jetzt hier noch einmal durch 2 denn hier ist
7:31 ja eine malrechnung dann bin ich hier bei s= -1 ne denn -2 dur 2 ist -1 das S wiederum kann ich jetzt in die gerade einsetzen und das Ergebnis ist dann wie
7:42 gesagt der besagte Fußpunkt ne das heißt ortzvektor einmal übernehmen 2 - 1 1 dann geht's weiter Plus und jetzt für das S die -1 einsetzen -1 mal 10 1 wie
7:55 du siehst es entsteht eine relativ einfache Rechnung die wir ausrechnen können Punkt vor Strichrechnung das heißt den ersten Vektor übernehme ich
8:02 einmal so den zweiten Vektor muss ich jetzt mit -1 multiplizieren einmal -1 ist -1 0 x -1= 0 1 x -1 -1 und die Addition die funktioniert ja immer
8:14 zahlenweise ne 2 +-1 also 2 -1= 1 -1 + 0= -1 und 1 + -1 also 1 - 1 0 also kann ich jetzt schon mal festhalten der Fußpunkt hat die Koordinaten 1 - 1 und 0
8:31 danach haben wir jetzt also jetzt haben wir im Endeffekt den zweiten Schritt abgehakt und wir kommen jetzt zum dritten Schritt jetzt werden wir nämlich
8:37 hier beim dritten Schritt den Vektor von P nach F berechnen ne also imekt genau diesen Vektor damit wir danach die Länge berechnen können ja den Vektor von P
8:47 nach F von P nach F berechnet man ja immer mit hinteres minus vorderes also f- P wobei das bei der Abstandsberechnung tatsächlich gar nicht
8:56 so entscheidend ist denn ich Kön genauso auch den Vektor von F nach P bilden und danach die die die Länge berechnen es macht im Endeffekt keinen Unterschied ob
9:04 ich die Länge von dem Vektor berechne oder aber die Länge von dem Vektor berechnen weil beides exakt der Abstand von dem Punkt zu der Geraden ist ne aber
9:14 hier einmal f- P das heißt den gerade berechneten Fußpunkt einmal einsetzen in vektorschreibweise minus den Punkt P in vektorschreibweise einmal einsetzen so
9:25 das Ganze einmal ausrechnen auch die Subtraktion funktioniert wieder zahlenweise das heißt ich rechne oben oben 1 - 1= 0 Mitte Mitte -1 - 2 -3 und
9:37 unten unten 0 - 0 ist 0 jetzt habe ich genau diesen dritten Schritt schon abgehakt also das hatten wir schon mal alles und jetzt möchte ich genau die
9:45 Länge von diesem Vektor berechnen da weißt du ja vielleicht schon aus den ganzen vergangenen Themen die Länge eines Vektors berechnet man immer mit
9:52 einer großen Wurzel und unter diese Wurzel schreibe ich jetzt jede Koordinate ins Quadrat und diese Quadrate die trenne ich durch eine
9:59 iition das heißt im Endeffekt erste Koordinate zum Quadrat plus zweite Koordinate zum quadrat+ dritte Koordinate zum Quadrat
10:08 und eine große Wurzel drüber das Ergebnis von dieser Rechnung ist die Länge dieses Vektors und damit auch der Abstand von dem Punkt zu der Graden
10:16 achte immer hierbei unbedingt dass wenn du negative Koordinaten hast oder Brüche dass wenn du diese Formel anwendest dass du diese unbedingt in Klammern setzt ja
10:24 0 zum Quadrat steht ja für 0 x 0 das ist 0 -3 in Klammern zum Quadrat steht für -3 x -3 das ist 9 0 zum Quadrat ist immer noch 0 0 + 9 + 0 ist 9 so und die
10:36 Wurzel aus 9 ist 3 ne das heißt wir können noch le dahinter schreiben für Längeneinheiten weil das ja der Abstand ist ja so funktioniert das
10:44 lotfußpunktverfahren ich hoffe dass dir dieses kleine Video oder dieses kleine Video geholfen hat dass du jetzt ganz genau weißt wie das ganze funktioniert
10:51 wenn du das ganze noch mal nachlesen möchtest schau gerne ins vector LK Script da ist das ganze Verfahren noch mal erklärt da findest du noch weitere
10:59 Beispiele übungsaufgabenlösung und so weiter und so fort und das soll es von mir für heute schon gewesen sein ich hoffe wir sehen uns im nächsten Video
11:05 wieder