🎓 UNIMATHE! | Vollständige Induktion | Vorkurs Mathematik (Erstes Semester FH, Universität)
Magda liebt Mathe
https://www.youtube.com/watch?v=ODnS2J-ZmY8

Transkript (automatisch erstellt)

0:00 hey und herzlich willkommen zu einem wirklich super coolen thema aus der uni mathematik nämlich der vollständigen induktion vollständige reduktion macht
0:12 man gerne direkt am anfang vom studium in der allerersten mathe vorlesung oder aber sogar noch früher im mathe vor kurz bevor das studium eigentlich los geht
0:21 und die idee hinter dieser vollständigen induktion ist eine art dominoeffekt ihr kennt das wenn man so domino steinchen aufstellt dann schubst man den
0:32 ersten stein um der schmeißen den zweiten um der zweite schmeißen dritten um und so weiter dann fällt die ganze dominokette der reihe nach um und genau
0:41 so macht es die vollständige induktion auch man will nämlich dabei immer etwas zeigen für alle natürlichen zahlen weil es aber unendlich viele natürliche
0:52 zahlen gibt wenn man damit bis zum ende seines lebens beschäftigt und so denkt man sich halt naja ich zeige die aussage für in unserem fall gleich ein
1:04 dann zeige ich wenn es für ein bestimmtes entgelt dass es automatisch auch fürs nächste n gilt und damit habe ich es so bald ich für den ersten stein
1:15 gezeigt habe automatisch für alle steine gezeigt weil wenn der erste stein funktioniert sozusagen umfeld schubser den zweiten um der wiederum schubst den
1:27 dritten um und so beweist man die aussage nur für den ersten stein sagt dann wenn es für einen gilt gilt es für den nächsten und zack fällt die ganze
1:38 dominokette um bis eben irgendwann am ende alle natürlichen zahlen um gefallen sind und die aussage für alle elementen gibt dabei erhält man sich an so einem
1:50 bestimmten schema entlang und zuallererst zeigt man es wie gesagt für die erste zahl die in frage kommt bei uns für n gleich eins heißt also
2:00 zwischen abriss dieses ding hier meistens geht es darum so eine summe und gucken mal was passiert wenn wir endlich einsetzen dann steht da gleich 1 bis 1
2:12 über in klammern 2 i - 1 heißt also wir haben nur einen einzigen index nämlich die einst die wir einsetzen da steht da zweimal 1 - 1 das ist also 2 - 1 also 1
2:27 könnte ich auch schreiben als 1 quadrat und damit tatsächlich gilt die aussage ich mache ein haken dran für n gleich 1 nächster schritt man macht eine
2:39 induktions voraussetzung und die sagt dass die behauptung jetzt also für ein fans gewählten elementen gelten soll dass wir also diese gleichung hier
2:50 benutzen dürfen und damit geht es dann weiter das heißt man zeigt jetzt dass unter dieser induktions voraussetzung ev nennt man die die aussage auch für en
3:03 plus eins gilt und das ist als endlich der induktions schritt also der beweis von dieser induktions behauptung nennt sich induktions schritt und dafür sagt
3:15 man jetzt also wir müssen zeigen dass die summe von ii gleich eins bis endlos 1 über 2 i - einst auch en plus 1 in klammern zum quadrat ergibt also die
3:29 induktions voraussetzungen sozusagen mit enplus 1 statt und da muss man sich nur ein bisschen auskennen mitsummen wir fangen eigentlich immer mit der linken
3:40 seite an wo die summe also bis 11 jetzt geht und dann sagen wir wir nehmen die summe nur bis n und das enplus einte glied das letzte das schreiben wir
3:54 einfach so dahinter zweimal in klammern enplus 1 - 1 wäre das dann und dann kann man das nämlich hier ein bisschen aus multiplizieren somit gleich eins bis in
4:06 über 2 i - 1+2 enplus 21 und jetzt haben wir ja hier genau die linke seite aus unserer iv aus unserer
4:19 induktions voraussetzung um das bedeutet wir dürfen jetzt nutzen wie wir es hier gesagt habe das für die summe bis en einfach ein quadrat rauskommt das heißt
4:31 hier steht unter induktions voraussetzungen quadrat +2 enplus 21 wird zu +1 und da sieht man jetzt dass wir eine dynamische formen haben und
4:44 damit kann ich das hier wieder zu seinem päckchen zusammenschnüren zu en plus 1 in klammern quadrat und siehe da da steht genau das was ich zeigen wollte
4:55 und damit kann ich hier ein haken dran machen oder wie man es in der uni mathematik auch gerne macht ein kleines kästchen und ich habe die behauptung
5:05 gezeigt eigentlich gar nicht so schwierig wenn ihr lust habt auf mehr und mathematik oder vielleicht eine kleine vorbereitung auf den mathe
5:14 vorkurs dann schaut doch mal hier rein in diese videos oder in die uni playlist da oben drüber bei fragen meldet euch jederzeit gerne ich freue mich total
5:23 wenn ich euch mit an die uni begleiten kann ciao