WURZELN ableiten – Kettenregel und Brüchen, Regeln an vielen Beispielen erklärt
MathemaTrick
https://www.youtube.com/watch?v=NYYbhj3qUAQ

Transkript (automatisch erstellt)

0:00 hallo zusammen in diesem Video möchte ich mit euch zusammen ein paar Wurzeln ableiten wir starten ganz einfach mit der einfachsten Wurzel die es überhaupt
0:09 gibt und werden uns dann steigern und zum Schluss auch dieses Beispiel hier durchgehen also schauen wir uns das einfach mal gemeinsam an so das
0:19 wichtigste was ihr machen müsst oder was euch klar sein muss wenn ihr Wurzeln ableitet ist dass ihr die Wurzel erst einmal umschreibt also wir leiten die
0:29 Wurzel an sich nicht so ab wie sie da steht sondern schreiben die Wurzel als x also das was unterhalb der Wurzel steht und jetzt kommt hier eine Hochzahl hin
0:40 und diese Hochzahl wird ein Bruch sein denn wir ziehen hier die zweite Wurzel also wenn vor eurer Wurzel nichts steht ist das die ganz normale Quadratwurzel
0:51 das damit zwei eigentlich steht und hier dieses x da steht ja auch keine Hochzahl aber dann steht sozusagen die Hochzahl 1 da und diese beiden Zahlen geben euch
1:02 Aufschluss darüber welche Bruch hier oben hinkommt nämlich die Zahl die hier oben als Hochzahl schon stand diese 1 die kommt da auch wieder ganz oben hin
1:12 und die wievielte Wurzel ihr ziehen sollte das kommt dann unten in den Nenner also eine ganz normale Wurzel aus x
1:20 könnt ihr immer umschreiben als x hoch ein halb das ist es allerwichtigste Wurzeln umschreiben dass ihr das ganze als Hochzahl schreibt und zwar als Bruch
1:31 in der Hochzahl und jetzt leiten wir es ganz normal ab wie ihr das auch schon kennt also ihr wisst ja wie man solche Ausdrücke ableitet nehme ich mal
1:42 an man zieht diese alte Hochzahl nach vorne also dieses ein halb kommt vorne dran dann schreibt man wieder das X und jetzt verringert man diese alte Hochzahl
1:53 um 1 also wir müssen ein halb minus 1 rechnen das könnt ihr entweder mit den ganz normalen rechnen Regeln zum
2:02 Bruchrechnen machen oder ihr tippt es in euren Taschenrechner ein auf jeden Fall kommt ihr dann auf Hoch minus einhalb das ist jetzt ganz normal abgeleitet wie
2:12 ihr x^5 auch ableiten würdet indem ihr die 5 nach vorne zieht und dann die Hochzahl um 1 verringert also x^4 draus macht und
2:23 genau das haben wir hier jetzt auch gemacht jetzt würde man also das ist jetzt schon die Ableitung ihr könntet das so stehen
2:30 lassen meistens macht man es aber nicht also dieses ein halb vorne dran damit macht man eigentlich nichts aber jetzt steht hier ja eine negative Hochzahl und
2:42 noch ein Bruch als Hochzahl also damit lässt sich echt nicht gut rechnen negative Hochzahlen die also machen wir erstmal ein Beispiel vielleicht
2:52 x^-7 das kann man umschreiben zu 1 durch x hoch 7 dann also wenn ihr negative Hochzahlen habt das habt Ihr bestimmt auch schon gesehen schreibt man die
3:05 eigentlich zu einem Bruch also mit einem 1 durch das steht immer da und dann kommt unten euer Teil noch mal hin aber nicht mehr mit einer negativen Hochzahl
3:15 sondern eben mit einer positiven Hochzahl und genau das würden wir hier jetzt auch machen um das nochmal umzuschreiben also wir schreiben 1 durch
3:23 haben wir ja gesagt sobald wir eine negative Hochzahl haben und dann kommt das Ding da noch mal rein aber dann nicht mehr mit der negativen Hochzahl
3:31 sondern eben mit der positiven Hochzeit und jetzt erst also ihr merkt es sind einige Schritte die man da einmal durchgehen muss dieses ein halbblatt
3:40 vorne dran und jetzt können wir dieses x hoch einhalb noch mal umwandeln in die wurzelschreibweise wie es vorher halt eben war also hoch ein halb heißt ja
3:53 eigentlich dass es eine Wurzel war mit hier steht die zwei und hier als Hochzahl der innen drin steht dann die 1 die hier vorher oben stand aber die
4:03 Zahlen könnte ja wie gesagt bei der zweiten Wurzel und hoch 1 sowieso weglassen und das da ist die schöne Ableitung von der Wurzel die ihr euch
4:13 auch merken könnt aber meistens merkte sich niemand und man muss immer wieder von vorne los laufen aber das ist so die Basis für alles was mit Wurzeln kommt
4:23 also gehen wir es jetzt noch mal an einem anderen Beispiel durch das weiß wirklich viel Information auf einmal und testen das hier also das erste was
4:32 ihr macht ist diese Wurzel in eine Hochzahl umzuschreiben x stand unter der Wurzel das was als Hochzahl hier unten drunter stand dieses 5 kommt auch wieder
4:42 als oben auf den Bruch und hier steht die wievielte Wurzel es war das war jetzt schon wieder die Quadratwurzel also die zweite Wurzel erster Schritt
4:52 zweiter Schritt ihr leitet das genauso ab wie ihr es gewohnt seid indem die alte Hochzahl nach vorne kommt also dieses fünf halbe kommt vorne dran und
5:01 wird dann die neue Hochzahl gebildet indem wir von den fünf halben ein ganzes abziehen also fünf halbe minus 1 müsst ihr rechnen und
5:12 wenn ihr das macht kommt ihr auf drei halbe diesmal ist es tatsächlich gar nicht negativ das ist eigentlich super gut
5:21 denn dann müssen wir das nicht in diese eins durch Schreibweise bringen hier würde man jetzt einfach nur noch mal die wurzelschreibweise draus machen also
5:31 testen wir das mal die wievielte Wurzel und was wohin kommt es ist jetzt hier oben steht eine 3 das heißt hier innen drin muss auch ein hoch drei hin und
5:41 hier unten steht eine zwei das war dann die zweite Wurzel so funktioniert es Prinzip ich denke ihr versteht es langsam wir testen das an einem weiteren
5:51 Beispiel jetzt haben wir hier von Anfang an schon nicht mehr nur eine normale Wurzel sondern eben die dritte Wurzel macht aber auch nichts wir schreiben das
6:02 was unten drunter stand noch mal als x dahin hoch 2 stand da unten das ist das was oben stehen wird und unten steht die Zahl die vor die wievielte eben gezogen
6:13 habt das SD Tritte jetzt leit das ganze noch mal ganz normal ab zwei Drittel kommt nach vorne und dann die zwei Drittel davon müsst ihr eins
6:26 abziehen und kommt dann auf minus ein Drittel genau das ist eure neue Hochzahl jetzt ist sie schon wieder negativ das bedeutet die zwei Drittel da vorne
6:38 bleiben einfach stehen und aus dieser negativen Hochzahl macht ihr ein 1 durch und schreibt das ganze Ding dann noch mal genauso hin aber nicht mehr mit der
6:47 negativen Hochzahl sondern mit der positiven Hochzahl und jetzt würden wir das Ganze noch einmal in die wurzelschreibweise bringen
6:57 X steht unter der Wurzel so jetzt die Zahlen hier die drei steht unten das heißt dass wir die Zahl die die wievielte Wurzel ihr gezogen habt und
7:06 diese Zahl die oben stand die eins die kommt hier rein die könnt ihr dann aber auch einfach weglassen wenn sich um eine Eins handelt
7:13 sehr gut dann habe ich echt viele Beispiele vorbereitet fällt gerade auf aber gut wir gehen es gemeinsam durch denn hier hat sich jetzt ein bisschen
7:22 was verändert hier müssen wir jetzt auch die wurzelschreibweise in die Hochzahl Schreibweise bringen die acht
7:35 Mal bleibt vorne dran stehen und die jetzt ist zum ersten Mal so dass unter der Wurzel tatsächlich mehr steht als nur
7:47 in X ne da steht jetzt hier so eine Summe und da müsste darauf aufpassen dass dieses x² + 1 also alles was unter der Wurzel steht wenn da dann mehr steht
7:57 als nur das X was wir eben hatten das müsst ihr in der Klammer setzen und davon müsst ihr jetzt die Hochzahl bilden also lasst euch von dem X Quadrat
8:05 da gar nicht täuschen das kommt jetzt nicht in diesem Bruch von der Hochzahl rein denn wir müssen wirklich alles betrachten was unterhalb
8:15 der Klammer steht wir haben hier die zweite Wurzel gezogen also kommt die zwei dann auch hier unten in den Nenner rein
8:22 und hier stand jetzt eine 1 im Grunde oben also wirklich von allem was unter der Wurzel steht da müsste die Hochzahl von nehmen diese gemeinsame Hochzahl von
8:32 dem was unten steht und das stand ja keine Hochzahl deswegen steht da eine 1 also lasst euch wie gesagt von diesem x
8:40 Quadrat nicht täuschen ihr müsst das komplette Teil unter der Wurzel betrachten so und jetzt leiten wir das ab die 8
8:49 hier vorne ist ja nur so ein Faktor der bleibt einfach beim Ableiten erhalten das kennt ihr ja schon und das da müssen wir jetzt mit der Kettenregel ableiten
8:59 über die Seite hoffentlich schon gestolpert falls nicht dann also gestolpert im Sinne von ihr habt sie schon mal gesehen nicht dass ihr dran
9:07 gescheitert seid falls ihr die Kettenregel nicht kennt dann könnt ihr jetzt offiziell dieses Video beenden weil jetzt kommen die
9:14 Teile mit der Kettenregel aber ihr könnt natürlich auch zugucken und schon mal gucken was so auf euch zukommen wird Kettenregel heißt ja wir müssen das
9:23 Innere ableiten und das Äußere ableiten das Innere wird jetzt hier dieses x Quadrat plus 1 werden und das Äußere ist diese Klammer mit dem Hoch einhalb
9:35 leiten wir vielleicht erstmal das Innere ab also x² + 1 wenn wir das Ableiten dann wird das X Quadrat ja zu einem 2x und das plus eins fällt weg weil es eine
9:46 Konstante ist okay das wäre die innere Ableitung und die äußere Ableitung da geht es jetzt nur noch um das rote das machen wir jetzt genauso wie eben die
9:55 ganze Zeit auch also ein halb mal und jetzt also man nimmt zieht die einhalb nach vorne dann schreibt ihr einfach alles noch mal rein was da war
10:07 also die äußere Ableitung kümmert sich jetzt nur noch um dieses Hoch ein halb das ein halb kommt wie gesagt nach vorne und die neue Hochzahl müsst ihr wieder
10:15 um eins verringern also ihr müsst ein halb minus 1 rechnen und das ist schon wieder - einhalb und das ist eure neue Hochzeit das war die Kettenregel also
10:29 nochmal zusammengefasst die 8 steht hier nur weil dann mal vorne dran stand da werden die Faktoren immer mitgezogen das diese 2x ist eure innere Ableitung da
10:39 habt ihr das X Quadrat plus 1 abgeleitet das ist der Teil und der rote Teil abgeleitet ist wirklich ein halb mal den kompletten roten Teil den müsst ihr
10:51 einfach so reinschreiben dieses x Quadrat plus 1 das dürfte nichts dran verändern weil das ist ja die innere die muss so bleiben ihr seid ja gerade dabei
10:57 die äußere abzuleiten und eines der ganz normale Fall die einhalb kommt nach vorne und die Hochzahl wird um 1 abgezogen
11:05 das hier müsste man jetzt noch vereinfachen zusammenfassen so weit es geht die negative Hochzahl wieder wegbringen aber
11:13 ich will jetzt einfach nur mal hier ableiten das andere könnt ihr ja dann testen ob ihr das in eine schöne kompakte Form rein bekommt okay und das
11:22 letzte Beispiel da ist jetzt alles möglich an ich habe ja sogar noch ein Beispiel fällt mir gerade auf also danach habt ihr wirklich einige
11:31 Beispiele hinter euch gebracht hier haben wir jetzt eigentlich so ein klassischen Fall einfach nur eine große Wurzel also ihr packt wieder alles was
11:40 unterhalb der Wurzel steht in der Klammer und die Hochzahl wird jetzt eben unten stand ja ihr habt keine gemeinsame Hochzahl für alles deswegen ist es
11:51 wieder eine hoch 1 hier das wird euer eure Zahl oben und unten das wird die Zahl die wievielte Wurzel ihr gezogen habt
12:00 und das leiten wir jetzt wieder ab und wieder bezüglich Kettenregel dran denken weil ihr jetzt einfach ziemlich viel verschachtelt habt also ihr habt hier
12:09 eine innere Funktion das ist alles was in der Klammer steht und ihr habt die äußere Funktion das ist dieses Hoch ein Drittel und ihr merkt schon es ist
12:18 wieder dasselbe Prinzip wie eben wir leiten zuerst mal das grüne ab also alles was in der Klammer steht x Quadrat abgeleitet wird zu 2x - x abgeleitet das
12:29 ist ja -1 das X fällt ja weg beim Ableiten und die -1 hier hinten da ist ja gar kein X drin es fällt komplett weg merkt
12:39 euch dass ihr wieder klammern um eure Ableitung setzt weil das da ist jetzt eure innere Ableitung die muss komplett einmal multipliziert werden mit der
12:48 äußeren Ableitung also immer schön um eure Ableitung das ist jetzt die grüne die innere eine Klammer setzen und jetzt leiten wir das Äußere wieder ab also das
12:58 rote dabei ignorieren wir das Innere also das rote abgeleitet ist ja die ein Drittel kommt nach vorne dann kommt alles was in dem roten ist
13:07 und dann müssen wir gar nichts machen das kommt einfach so wieder rein und jetzt müssen wir die hochzahlung 1 erniedrigen also - also ein Drittel -1
13:16 ist ja minus zwei Drittel und das ist eure neue Hochzeit hier kann man jetzt gar nicht mehr so viel vereinfachen also auch das könnt
13:27 ihr noch mal ein bisschen testen die negative Hochzahl die würde man halt eben schon gucken dass man die noch mal positiv macht mit diesem eins durch und
13:37 das ganze Zeug dann unten rein aber ansonsten wird es nicht sonderlich schöner und jetzt aber das letzte Beispiel ich
13:45 hoffe ihr seid noch mit dabei da ist jetzt alles noch mal zusammen mit drin was machen wir hier draus wir haben hier einen Bruch
13:55 und in dem Bruch eine Wurzel und oben steht noch eine fünf also die fünf würde ich mal vorne dran schreiben damit die fünf gar nichts mit dem Rest zu tun hat
14:04 und da oben dann nur noch eine 1 hinschreiben dass wir fünf Mal diesen Bruch hier haben jetzt erinnert ihr euch vielleicht oder wir machen vielleicht
14:14 erstmal die Wurzel da unten weg also fünf mal eins durch statt der Wurzel können wir ja hoch ein halb schreiben oder Stadtwerke der
14:25 normalen Quadratwurzel packen wir alles was in der Wurzel stand in der Klammer und schreiben dann hoch unten haben wir schon wieder keine gemeinsame Hochzahl
14:36 deswegen kommt eine Eins hin und unten steht weil es die zweite Wurzel war eineinhalb also da steht jetzt x Quadrat plus 1 in Klammern hoch 1/2
14:46 das lässt sich jetzt noch nicht so gut ableiten weil das ja in diesem Bruch da steht aber erinnert ihr euch jetzt gerade an dieses
14:54 eins durch das ganze Zeug was wir eben gemacht haben das haben wir immer gemacht wenn dann ein negative Hochzahl stand das können wir hier jetzt
15:03 natürlich auch umgekehrt machen also wir haben hier noch keine negative Hochzahl aber unser das Ding da unten steht halt in diesem Bruch drin dann holen wir es
15:12 doch aus dem Bruch raus müssen dann aber aus dem Hoch ein halb eben ein Hoch minus ein halb machen weil wir es jetzt genau umgedreht aus diesem Bruch
15:23 rausgezogen haben also wenn ihr was unten stehen habt in einem Nenner dann könnt ihr das nach oben schreiben aber ihr müsst halt die Hochzahl dann negativ
15:34 machen so und das Ding können wir jetzt ganz normal ableiten wie wir es eben auch schon gemacht haben also das ist jetzt
15:42 sehr ähnlich zu der vorherigen Aufgabe die fünf bleibt vorhanden weil es einfach ein Faktor vorne dran ist und jetzt wird abgeleitet nehmen wir
15:50 vielleicht erstmal die innere das ist das grüne und danach dann das Äußere dieses Hoch minus einhalb und jetzt das Innere abgeleitet x
16:04 Quadrat wird zu 2x die eins fällt weg und jetzt leiten wir noch das Äußere ab des rote da ist es wieder so die Hochzahl kommt nach vorne
16:15 also die minus einhalb dann kommt alles hin was da vorher stand das X Quadrat plus 1 und jetzt kriegen wir eine neue Hochzahl indem wir von der alten also
16:25 von der - einhalb noch mal eins abziehen dann sind wir bei minus drei halbe und das ist eure neue Hochzahl
16:35 da war jetzt echt einiges drin viele Beispiele ich hoffe ihr konntet nachvollziehen ansonsten guckt euch einfach noch mal in Ruhe an
16:44 vereinfacht hier die Sachen ruhig mal und guckt dass er die in eine schöne kompakte Form bekommt falls ihr Fragen dazu habt meldet euch einfach falls ihr
16:53 euch vergewissern wollt ob ihr es richtig gemacht habt meldet euch auch dann und ich helfe euch dann in den Kommentaren macht's gut bis zum nächsten
17:00 Mal