Die Integralfunktion | Integralrechnung by Quatematik
Jascha Quarder
https://www.youtube.com/watch?v=Lg49gwF6sHI

Transkript (automatisch erstellt)

0:00 in diesem video beschäftigen wir uns mit der integral funktion dabei ist das video wie folgt aufgebaut zunächst einmal betrachten wir bestimmte
0:08 integrale um auf dieser grundlage dann die integral funktion einführen zu können die sie möchten wir dann auf einmal bei geobra veranschaulichen und
0:16 im dritten und letzten schritt betrachten wir die integral funktion und den integrierten im zusammenhang das heißt das wäre dann auch so der erste
0:25 schritt richtung hauptsatz der differenzial und integralrechnung wie immer steht das video unter einer freien bildungs lizenz ok fangen wir vorne an
0:33 mit dem bestimmten integral dort nochmal zur wiederholung zur symbol und begriffserklärung wir haben wir dieses lange es was wir somit steht dann haben
0:41 wir die untere integrations grenze und die obere integrations grenze wir haben den integrierten f&e in diesem fall und die integrations variable t und wenn wir
0:52 das jetzt mal mit einem beispiel fühlen dann sagen wir jetzt mal die untere grenze ist hier null die obere grenze ist hier zwei die funktion der integra
1:01 die gerade tee die durch den ursprung geht mit der steigung 1 und wenn wir uns das ganze jetzt mal betrachten im schaubild dann sehe das ja ungefähr so
1:10 aus dass wir hier diese gerade haben die gerade es und dann haben wir jetzt hier die grenzen von null bis eben 2 und was ist jetzt das integral dass bestimmte
1:23 integral ihres bestimmte integral so haben wir es kennen gelernt ist der flächen inhalt zwischen diesem grafen der funktion f und der x-achse das heißt
1:33 es ist dieser schraffierte bereich hier und das wäre in unserem fall jetzt hier zwei das heißt das ist mir ganz wichtig das ist ein ganz konkreter wert bei dem
1:43 bestimmten integral den körper ausrechnen dass irgendeine rechts eine dreiecks fläche das ist alles möglich okay wir gucken
1:50 uns jetzt noch mal ein anderes beispiel an das heißt erst mal schreibe ich das an dieser stelle hier wieder so ab und dann
1:56 setzt sich einfach ein bisschen anders ein die untere grenze bleibt gleich aber ich nehme jetzt als obere grenze die zahlt 3
2:04 das heißt was würde sich jetzt hier verändern na gut es wäre so auch hier wieder hätten wir zunächst einmal ein ähnliches schaubild
2:12 aber jetzt hätten wir nicht die grenze zwei sondern halt eben die grenze 3 und demnach würde der flächen inhalt hier auch größer werden und das spiegelt sich
2:22 dann auch in dem integral widernatürlich das heißt hier wäre das 9 halbe also 4,5 und was wir jetzt machen um uns irgendwie zu dieser integral funktion
2:34 zukommen ist dass wir sagen na gut wir haben jetzt hier zweimal eine unterschiedliche obergrenze eingesetzt um gesehen darauf dadurch verändert sich
2:41 halt auch irgendwie der wert des integrales also diese größe des flächen inhalts und wir sagen jetzt einfach mal nur die untere grenze
2:49 die bleibt jetzt 0 aber die obere grenze ist jetzt variabel das heißt hier setzt sich einfach nix ein und da kann ich natürlich jetzt zunächst
2:59 einmal den flächen halt nicht so genau bestimmen denn ich musste mir gucken je nachdem wie ex gewählt ist so groß wird dann entsprechend der flächen inhalt das
3:10 heißt wenn exil ist und dann wird der flächen inhalt halt so groß und wenn ich's noch weiter rechts gewählt ist hier dann wird der flächen inhalt halt
3:21 entsprechend groß das heißt in abhängigkeit von iks verändert sich dann auch dieses integral dieser flächen inhalt und das ist auch schon unsere
3:32 integral funktion denn wenn ich das jetzt mal irgendwie zusammenfassen haben wir gesagt okay im ersten schritt nummer zur erinnerung da hatte ich die grenze
3:43 zwei die obergrenze und das wurde auch ein flächen inhalt von 2 zugeordnet und im zweiten bestimmten integral hatte ich die obere grenze 3 und dann war wurde
3:56 das dem integral dh orientierten flächen inhalt 9 halbe zugeordnet also 4,5 und genau das ist ja eine funktion ich habe hier irgendeine nix wert und diese mix
4:08 wert wird halt ein y wert zugeordnet dh je nachdem wie wir die obere integrations grenze weh so verändert sich natürlich auch dieser flächen
4:19 und das fassen einfach mal zusammen das heißt wir haben irgendwie das integral wir haben eine untere grenze die ich jetzt mal beliebig die ich jetzt mal ab
4:26 es ist aber eine feste zahl das heißt es irgendwie ein parameter beliebig aber fest und oben haben wir jetzt eine variabel stehen
4:35 das heißt dieses integral ändert sich je nachdem wie wir halt diese variable diese obere grenze w und das ist dann entsprechend unsere integral funktion
4:51 das heißt wir setzen irgendwas für x1 und irgendwas für y für große von nix kommt raus und das ist uns integral funktion damit dass eine zuordnung das
5:01 für eine obere grenze einsetzen und ein integraler orientierter flächen inhalt kommt raus ich mag er das auch noch mal das so als definition dh die integral
5:11 funktion ist eine zuordnung nämlich von der oberen grenze auf den orientierten flächen inhalt und diese integral funktion zeichnen wir oder definieren
5:23 wir als große von dix gucken wir uns das ganze am besten einem einem schaubild an dazu habe ich hier mal so eine geodaten oder 1 gb bled erstellt und jetzt sehen
5:35 wir hier folgendes wir haben wir unsere integrierten also unsere funktion f das ist hier die gerade durch den ursprung mit der steigung einst und jetzt haben
5:43 wir als ex ist die obere grenze also die untere grenze ist hier null und die obergrenze ist jetzt hier an dieser stelle mal setze ich die mal auf 3 und
5:54 dann sehen wir den kommenden flächen inhalt von 4,5 aus ist ja das was wir eben doch ausgerechnet haben und diesen wert 4,5 die trage ich jetzt einfach mal
6:04 ab hier im als y wert eines punktes also haben wir ein punkt der aus sex koordinate iks besteht je nach dem wie wir halt die obere grenze w und y wert
6:16 ist halt genau dieser flächeneinheit dh wenn ich jetzt zu zwei gehen würde müsste dieser flächen inhalt ja bei 3 liegen bei 2 liegen das dass es
6:24 ausgerechnet haben und dann rutscht dieser punkt auch auf die höhe 2 das können jetzt mal beliebig verändern das heißt ich froh
6:31 jetzt mal diesen flächen hat dadurch geht der punkt auch immer weiter höher und die funktion die ihn steht das ist gerade meine integral funktion weil dem
6:42 ixs also und grenze wird der orientierte flächen inhalt zugeordnet und wir sehen tatsächlich es entsteht irgendwie eine funktion sie immer nach einer
6:51 quadratischen funktion aus nach einer parabel ok es ganz auch mal ändern ich nehme jetzt mal noch ein einfacheres funktion nämlich einfach die gerade drei
7:02 die konstante 3 und auch hier habe ich jetzt wieder den flächen inhalt der bei 6 liegt 2 x 3 dann habe ich hier entsprechend den wert
7:14 6 wer jetzt weiter nach rechts gegen sechs der flächen enthält natürlich und entsprechend geht der punkt nach oben und das ist meine integral funktion
7:25 doch hier sehen wir es entsteht eine funktion und das sieht mir irgendwie nach einer geraden aus ok kommen wir zu dem zusammenhang
7:36 denn was wir gerade eben schon gesehen haben ist die wenn ich jetzt hier den integrierten habe es und dann die integral funktion betrachte dann war das
7:48 hier so eine gerade das heißt das wäre jemand große f und in diesem fall hatte ich ja gerade eine parabel das heißt das hätte ich irgendwie so als großer und
8:02 wenn man das häufig genug macht also irgendwie die integral funktion auf grundlage eines integrierten bestimmen dann erkennt man einen zusammenhang
8:11 nämlich wenn ich gross es jetzt ableiten würde entsteht dieses kleine f4 also die ableitung der integral funktion ist der integra auch hier wenn ich die ableitung
8:24 betrachter von gross es komme ich auf diesen intelligenten das heißt das dass das mal festhalten ich habe irgendwie großes und
8:34 1 f also mein integriert kleines und meine integral funktion und wenn ich die in die graf funktion großes ableite dann komme ich auf den integrierten also auf
8:50 klein es das heißt und wie bin ich von klein auf großes gekommene wood das ist ja das was wir definiert haben gucken uns ganz normal über das integral das
9:04 heißt durch das integrieren kommen wir zu groß ist und das bedeutet dass das integrieren irgendwie das gegenstück zum ableiten ist und das ist
9:20 ganz interessant also wie hängt das die ableitung und das integral miteinander zusammen erscheint wie das gegenstück zu sein
9:28 deswegen gibt es auch welche die sagen anstatt integrieren auf leiden weil das ableiten da kommen wir von den t grah funktion auf den pikanten und von den
9:37 integrierten zentralfunktionen kommen wir mit dem integrieren das heißt das ist schon mal die erste andeutung richtung hauptsatz der differenzial und
9:45 integralrechnung sie die differenzial rechnung und die integralrechnung miteinander zusammenhängt dazu wird es aber nochmal extra video geben aber
9:54 zunächst einmal hoffe ich dass euch das insgesamt ein bisschen weiter geholfen hat