Transponierte Matrix - Wie war das nochmal?
BrainPi
https://www.youtube.com/watch?v=LFiWeVz2wYg

Transkript (automatisch erstellt)

0:00 das transponieren einer matrix ist eigentlich gar nicht mal so schwer wir denken uns einfach eine diagonale linie einmal quer durch die matrix und
0:08 dann spiegeln wir die elemente der matrix einmal entlang dieser diagonalen linie und dann sind wir auch schon fertig
0:17 nimm dir eine matrix her und nennen sie a in meinem fall ist jetzt mein standard beispiel für eine matrix mr drei kreuz 3
0:26 das heisst die matrix mit den einträgen 1 2 3 4 5 6 7 8 9 die transportierte matrix notieren wir jetzt als hoch t die matrix a hatte hier
0:36 also die einträge 1 bis 9 1 2 3 4 5 6 7 8 und 9 und das -hoch t auch hier einmal mit an die matrix dran geschrieben und werden wir jetzt transponieren ich habe
0:48 sie im intro eben schon gesagt dann wollen wir einmal an dieser diagonalen die ich hier gerade ein zeichner einmal spiegeln spiegeln bedeutet jetzt nichts
0:57 anderes als dass die einträge die oberhalb der diagonalen stehen mit den entsprechenden einträgen die unterhalb der diagonalen stehen die position
1:04 tauschen das heißt hier zum beispiel einmal die zwei oder vier tauschen ihre position die drei und die 7000 ihre position und die sechs und die 8000
1:12 ihrer position die position der eins der fünf und der neuen platte gegen unverändert diese drei anträge liegen ja auf der spiegel
1:19 achse das heißt auch wenn ich an dieser achse spiegel ändert sich die position dieser drei einträge nicht wenn wir uns jetzt also hier einmal die matrix
1:27 anschauen die nach dem ganzen hin und her gespiegelte rauskommt dann haben wir einmal die einträge 195 war gleich von beginn an auf die diagonale schreiben
1:35 können danach können wir jetzt die vier und die zwei eintragen die haben ja einfach ihre position getauscht genauso die sieben und die drei die ihre
1:43 position getauscht haben und zum schluss noch die acht und die sechs wir gesehen habt ist also das transponieren einer matrix eine ziemlich einfache
1:53 angelegenheit dennoch möchte ich euch gerne noch eine art zweite anschauung mit auf dem weg geben das ist sozusagen eine alternative zu der anschauung mit
2:01 dem spiegel nehmen wir dazu erstmal hier diese ganzen markierung weg und jetzt können wir folgende beobachtung machen wenn wir
2:09 uns hier zum beispiel die erste zeile der ursprünglichen matrix hernehmen das heißt haben die zeile mit den einträgen 123 dann ist das in der transportierten
2:19 matrix nachher eine spalte also jede spalte mit den einträgen 1 2 und 3 das ganze können wir jetzt auch noch für zum beispiel die spalten in der ersten
2:28 matrix machen ja jetzt einmal die spalte 258 das ergibt nachher eine zeile und zwar genau die zweite zeile in der
2:36 transportierten matrix ganz allgemein können wir also sagen dass die teile der matrix am ende die ethisch bald in der transportierten
2:48 matrix ist genauso das ganze mit spalten die ethisch ballte in der ersten matrix ist am ende die etc in der transportierten matrix
3:00 lasst uns aber einfach noch mal eine weitere matrix anschauen wir nehmen hier mal einfach die matrix mit den einträgen 135 - 12 00 und 0 11
3:11 die wollen wir jetzt transponieren und dazu schauen wir jetzt einmal auf die zeilen und spalten nehmen wir jetzt hier eine erste matrix einmal die erste
3:21 spalte das heißt die spalte mit den einträgen 1 - 1 0 dann ergibt dass die erste zeile in der transportierten matrix das heißt 1 - 10
3:31 ist hier die erste zeile genauso die zweite spalte in der ersten matrix ergibt dann die zweite zeile in der transportierten matrix und jetzt zum
3:39 schluss noch die dritte spalte der ausgangs matrix ist die dritte zeile der transportierten matrix am ende ist es natürlich euch selbst überlassen ob ihr
3:49 euch das transponieren jetzt als spiegeln oder als tauschen von spalten und zeilen merken wollte aber wir wollen uns jetzt noch mal ein beispiel angucken
3:57 in dem es doch eher von vorteil ist spalten und zeilen zu tauschen statt zu spiegeln die bisherigen beiden matrizen die wir
4:05 uns angeschaut hatten haben ja immer gleich viele zeilen und spalten gehabt das ganze soll sich jetzt ändern wir wollen uns jetzt als ausgangs matrix
4:14 einmal eine matrix anschauen die zwei spalten und drei zeilen besitzt so eine matrix wie wir sie dann hier stehen haben das ist also eine matrix
4:25 aus dem r3 kreuz zwei werden wir das ganze jetzt auf dieser spiegel methode machen wollen würden dann müssten wir uns hier also wieder eine diagonale
4:35 einzeichnen dann läuft die hier irgendwie so raus aus der matrix da unten rechts da fehlt irgendwie ein element das sei irgendwie bei
4:42 quadratischen matrizen noch schöner aus das könnte man jetzt natürlich auch einfach ignorieren und einfach trotzdem spiegeln als ob da unten noch was stehen
4:49 würde aber vielleicht ist es dann doch einfacher hier auf die spalten zeilen technik umzusteigen da verändert sich
4:55 nämlich überhaupt nichts wie bereits zuvor nehmen wir uns jetzt hier einmal die erste spalte also die spalte mit den einträgen 213 her und das ergibt jetzt
5:05 die erste zeile in der transportierten matrix genauso die zweite spalte 530 was die zweite zeile in der transportierten matrix ergibt bei der transportierten
5:16 matrix handelt es sich jetzt um eine matrix mit zwei zeilen und drei spalten das heißt insgesamt wenn wir zwei zeilen und drei spalten haben dann haben wir
5:26 also eine matrix aus dem r2 kreuz 3 ganz allgemein kann man also sagen dass sich die anzahl der spalten und zeilen beim transponieren umdreht das heißt wenn wir
5:37 vorher eine matrix aus dem r n kurzem hatten haben wir danach eine matrix aus dem kreuzeck
5:49 das ganze kann man jetzt zum beispiel dazu nutzen aus spalten vektoren zeilen vektoren zu machen wenn man sich jetzt zum beispiel mal
5:57 vorstellt dass man ihr in solch einem fließtext irgendwo ein spalten vector aus dem er drei schreiben möchte dann sieht man dass das irgendwie überhaupt
6:05 nicht gut aussieht wenn man jetzt hier mitten im text ein spalten vector so hin schreibt ja wie man ihn mal hin schreibt dann sieht man dass dort riesen lücken
6:14 im text entstehen das mag jetzt zwar noch nicht sonderlich stören aber wenn man jetzt viele dieser sektoren in so einem fließtext
6:20 unterbringen möchte dann können diese lücken doch ziemlich hässlich aussehen anders wenn man jetzt diesen weg tor als zeilen vector hin schreib und mit dem
6:30 transponiert also hoch t nichts anderes signalisiert als dass es eigentlich ein spalten vector ist es handelt sich natürlich in beiden fällen um genau den
6:39 gleichen weg tor allerdings sieht der zeilen vector doch deutlich schöner in textfluss aus als der spalten vector
6:54 jetzt zum abschluss möchte ich euch noch drei kurze aber doch recht wichtige rechnen regeln für das transponieren von matrizen
7:01 vorstellen mit a wollen wir hier also immer eine matrix bezeichnen und für diese matrix soll dann als erstes gelten wenn ich diese matrix transponieren und
7:12 im anschluss noch ein zweites mal transponieren dann hebt sich dieses transponieren gegenseitig auf und man erhält wieder
7:18 die matrix a wenn man sich das transponieren als spiegeln vorstellt dann ist das zwar eigentlich recht offensichtlich aber
7:24 lasst es uns trotzdem hier noch mal an so einer einfachen 22 matrix nachrechnen wenn man die matrix 1234 transponiert dann erhält man also die matrix 13 24
7:35 und wenn man das ganze jetzt noch ein zweites mal transponiert nähert dann erhält man wieder widergespiegelt die matrix 1234
7:47 für den zweiten punkt brauchen wir jetzt erstmal zwei matrizen für die beiden matrizen a und b gilt dann das ist egal ist ob ich die beiden
7:57 matrizen erst addiere und dann transponieren oder als erstes transportiere und danach zusammen addieren auch dazu natürlich wieder eine
8:06 kleine rechen übung wenn ich jetzt wieder als matrix die matrix 1234 nehme und als matrix b die matrix 1 -1 und unten 0 und 0 und
8:16 die beiden zusammen addiert und dann transponieren dann erhalte ich zunächst die summe ausgewertet die matrix 2134 transponiert was dann nichts anderes ist
8:28 als die matrix 23 1 und 4 wenn wir jetzt auf der anderen seite die matrizen erst transponieren und dann addieren dann haben wir also die matrix
8:37 1234 transponiert plus die matrix 1 - 100 transponiert was dann als erstes die matrix 1324 ist plus die matrix 10 - 10 die summe schnell ausgewertet ergibt
8:56 dann am ende die matrix 23 1 und 4 die beiden matrizen sind also hier gleich und damit stimmt unsere behauptung nachdem wir uns jetzt
9:06 angeschaut haben wie das transponieren auf die summe zweier matrizen wirkt können wir uns jetzt noch anschauen wie das transponieren auf das produkt zweier
9:14 matrizen wirkt nehmen wir uns unsere beiden matrizen a und b multiplizieren die beiden miteinander und transponieren anschließend das produkt dann ist das
9:24 das gleiche als werden wir die matrix transponiert mit der matrix transponiert multiplizieren behaltet an dieser stelle mit dem hinterkopf dass das
9:33 multiplizieren von zwei matrizen nicht kommunikativ ist das heißt die reihenfolge in der ich die beiden matrizen miteinander multipliziere ist
9:40 wichtig und das transponieren ändert genau dieser reihenfolge wenn ich vorher a mit b x danach wie transponiert mit transponiert
9:50 multipliziert aber lasst uns jetzt auch hier schnell noch unser beispiel hinterher rechnen wir behalten jetzt die matrizen a und b genauso wie wir sie
9:58 vorher hatten das heißt er ist 1 2 3 4 und b ist 1 - 100 die beiden miteinander multipliziert und anschließend transponiert ergibt dann
10:08 einmal die matrix jetzt erst die multiplikation ausgewertet 13 in der ersten spalte und in der zweiten spalte minus 1 und minus drei das ganze noch
10:19 transponiert ist dann die matrix 13 minus 1 und minus drei wenn wir jetzt auf der anderen seite erst b transponieren danach transponieren und
10:29 das dann im anschluss miteinander multiplizieren dann haben wir also 1 - 100 transponiert x 12 34 transponiert stehen das transponieren von b
10:40 resultiert in der matrix mit 1 - 1 in der ersten spalte und 0 0 in der zweiten spalte und 12 34 transponiert ist wie gehabt 13 24
10:49 und das ganze miteinander multipliziert ist dann 1 - 1 in der ersten spalte und 3 -3 in der zweiten spalte wir sehen also dass die beiden matrizen
11:01 hier übereinstimmen und damit konnten wir jetzt unsere aussage für zumindest dieses beispiel einmal verifizieren
11:10 nun und dieses video hier gefallen hat dann nutzt doch einfach mal die kraft eurem auszeit aus und transponiert den gefällt
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