Inverse Matrix mit Einheitsmatrix berechnen
Kochrezepte für Mathematik
https://www.youtube.com/watch?v=Kypg2quua5E

Transkript (automatisch erstellt)

0:00 in diesem tutorial werden wir uns anschauen wie man den wert sei eine matrix bilden kann an dieser stelle ein kleiner hinweis ich werde jetzt nur
0:08 einen lösungsweg zeigen basierend auf dem losverfahren es gibt natürlich im studium viele alternative lösungswege die hier nicht angesprochen werden
0:17 allerdings ist dieser lösungsweg sowie für die abiturprüfung als auch für grundsteuer jugend geeignet bevor wir mit der tatsächliche berechnung loslegen
0:27 wäre ich noch ein paar hinweise geben damit ihr mir besser folgen könnte als erstes die version matrix wird immer mit eur -1 bezeichnet zweitens wenn eine
0:39 matrix eine inverse besitzt so heißt sie auch investierbar die haupteigenschaft in wersen ist das bei der multiplikation einer matrix mit der inverse die
0:49 einheits matrix auskommt erinnern uns die einheit matrix ist diejenige matrix die auf der haupt diagonale nur eins hat und sonst mit nur aufgefüllt ist dass
0:58 das neutrale element bei der multiplikation und nicht jede matrix besitzer diverse was genau damit gemeint ist wären wir werden eine
1:07 beispielaufgaben sehen werde euch in diesem tutorial einen relativ einfachen lösungsweg zeigen allerdings gibt es ein paar voraussetzungen die dafür erfüllt
1:16 sein müssen als erstes musste ein bisschen mit dem gas verfahren geübt sein also wissen wie das anzuwenden ist und was in der
1:23 stufung form ist zweitens es gibt ein lösungsansatz hier eine zielsetzung für die bestimmung der inverse es lautet wie folgt man schreibt die normale matrix
1:35 und ihre einheitspartei auf der rechten seite dann mit hilfe des cas verfahrens vor man das ganze so um dass am ende die einheits matrix auf der linken seite
1:43 steht und die matrix die auf der rechten seite entsteht ist dann automatisch die inverse wenn das hier zu schnell ging keine sorge gleich kommen die
1:51 beispielaufgaben dann kehrt sich das und im studium gibt es noch andere lösungswege zum beispiel mit hilfe der termin nannte
1:59 denn hier wie bereits am anfang gesagt nicht angesprochen am anfang ein relativ einfaches beispiel eine zwei mal zwei matrix und wie
2:07 bereits gerade erwähnt habe man ein ansatz den werde ich jetzt kurz hier schreiben also auf der linken seite schreibt man die normale matrix 4 - 2 1
2:19 und 5 und auf der rechten seite für die passende einheits matrix geschrieben also 100 uneins wie bereits oben erwähnt
2:29 unser ziel ist dass die einheits matrix am ende auf der linken seite steht und dafür benutzer wir das traditionsfest fahren also das ist die haupt diagonale
2:38 hier in dieser matrix in unser erster ziel ist hier eine null zu bekommen dafür multiplizieren wir die zweite zeile mit minus 4 und addieren es mit
2:48 der ersten das bedeutet die erste zeile bleibt unverändert wir - 210 und dann 44 gibt 0 hier unten oben habe ich - 22 sind - 22
3:04 daneben 1 und minus 4 000 also bleibt 1 und 0 und -4 sind natürlich - 4 das ist der vorwärts shit jetzt muss das gleiche noch mal rückwärts passieren das
3:19 wird ja wir brauchen hier an dieser stelle noch eine null und wir haben unten hier - 22 und hier - 2 das bedeutet wie multiplizieren jetzt die
3:29 erste zeile mit minus 11 so kommen wir auf die plus 22 jahren der stelle und addieren jetzt von unten nach oben das bedeutet bei dem nächsten schritt bleibt
3:42 die unter der zeile unverändert ich schreibe schon mal hin und multiplizieren oben alles mit -11 dann habe ich hier an dieser stelle - -
3:56 44 brüssel - 45 dann hier wie gewünscht und dann hier habe ich eins und minus 11 sind - 10 - vier +0 sind - 4 wir sind fast fertig was wir noch
4:12 brauchen sind einzig ob die haupt diagonale dafür teilen wir die erste zeile mit -44 und die zweite zeile mit -22 dadurch begibt sich auf der linken
4:27 seite dann die einheits matrix also wir haben hier 10 hier auf der rechten seite kürzlich noch nicht und schreib einfach mal 10 44 -
4:40 und hinter natürlich 444 und unten wenn ich durch -22 teile habe ich null und eins und an dieser stelle - ein 22 und hier hinten dann musste ich mich wieder
4:56 plus also 422 so dass hier ist bereits die im werk sei allerdings in eine sehr hässliche vorn und wenn wir damit zum beispiel aus notwendigkeit weiter
5:10 rechnen wollen sollten wir das ganze noch mal ein bisschen schöner schein deswegen in solchen fällen hat man die möglichkeit was auszuklammern
5:17 in diesem fall werden wir 122 ausklammern also je nach vorne ziehe ich aus jedem element aus dem matrix 122
5:28 dann bleibt hier oben an der ersten stelle bleibt 110 durch 2 hier bleibt 4 durch zwei und dann hier unten bleibt einfach - 1 und hier eine 4
5:50 gut natürlich können wir hier noch ein bisschen kürzen und dann haben wir endlich mal eine super form also es bleiben 52 - 14 üblich mit solchen
6:03 zahlen kann man natürlich weiterführen der rechten viel einfacher bewältigen in unserer nächsten beispiel wollen wir den wert seiner drei mal drei matrix
6:12 ausrechnen der ansatz bleibt gleich also schreibt hier einfach auf der linken seite und matrix a 2 2 1 4 - 2 3 - 1 2 und 1 und
6:27 auf der rechten seite natürlich die passende einheitsrat x1000 10001 orientierung wir wollen die stufung formen das bedeutet alle elemente unter
6:41 der haupt diagonale hier an der stelle müssen zuerst durch addition verfahren 0 gemacht werde als erstes werde ich die vier hier weg
6:50 machen indem ich erst einfach die erste zeile mal - zwei nehmen um in der zweiten das bedeutet die erste zeile bleibt
6:58 unverändert ist nun 0 und -4 +4 ist nur dann habe ich oben - 4 -2 sind 6 -2 +3 sind 1 - 2 + 0 sind - 2 - zwei mal 90 +1 ist 1 und 0 1 0 0
7:19 im gleichen schritt möchte ich noch hier eine null deshalb multipliziert einfach die dritte zeile mit zwei bannern der sie mit dem ersten also dann habe ich
7:29 zwei -2 ist natürlich auch hier 0 daneben 2 und eine 14 6 oben 1 und 2 sind dann 310 ist 100 ist 00 und 2 sind wieder zwei also an zwei stellen haben
7:49 wir schon in st als nächstes wollen wir noch hier die null das hat sie nun wir mit der zweiten zeile indem wir sie einfach mehr dritten
7:56 von oben nach unten addieren das bedeutet in diesem fall werden die ersten zwei zeilen unverändert abgeschrieben 1 0 0 und 0 6 1 - 2 1 0
8:13 und dann beim addition haben wir natürlich hier eine 040 hier hätten wir dann eine vier minus zwei plus eins sind - 11 + 0 ist 10 + 2 sind zwei jetzt wird
8:27 es ein bisschen unangenehm das gleiche müssen wir noch mal rückwärts machen das bedeutet wir wollen auch hier die drei stellen 0 haben
8:34 und natürlich machen wir das auch mit dem bus zu fahren nur das ganze ein bisschen glück wenn zu beginn von unten nach oben
8:41 das würde zuerst wollen wir hier die null dafür nehme ich die zweite zeile mal -4 damit sich mit dieser 4 auf hit ohne die jetzt von unten nach oben also
8:53 wir fangen jetzt an in dem ich die letzte zeile unveränderte abschreiben -1 einzeln 2 und dann geht's los nun ist natürlich 0 hier an dieser
9:06 stelle habe ich dann 24 dann hier ist wie gewünschte 0 dann habe ich ja 8 -1 sind sieben dann ein zu -4 sind - drei und 20 sind
9:20 natürlich zwei im gleichen schritt werde geschickt werden wir auch hier nun bekommen dafür nutze ich jetzt die zweite zeile ich kann auch die dritte
9:29 nutzen aber ich entscheide mich jetzt für die zweite und deswegen beispielsweise nämlich die erste mal -1 und addiert die zweite von unten nach
9:41 oben zu der ersten dann habe ich hier null und minus weise natürlich - 2 dann habe ich hier - sechs in der zweiten und -2 sind - 8 -1 plus 1 wie gewünscht 0 1
9:58 - 2 - 1 sind - 31 +0 sind 1 und 0 + 0 ist natürlich 0 uns fällt ja nur noch eine stelle und zwar die hier
10:09 dafür nutze ich natürlich wieder die zweite zeile ich habe hier - 8 424 also nehme ich die erste zeile dann mal 3 und wieder von unten nach oben addiert das
10:22 bedeutet die letzten zwei zeilen werden jetzt unverändert abgeschrieben - 11 um 20 24 07 - 32 und dann legen wir los dann haben wir
10:43 hier oben dann entsprechend einem minus 64 wir wollten 0 hier auch 0 dann habe ich hier - 9 plus 7 sind dann in 233 ist 0
10:57 und 0 2 sind 2 wir sind fast fertig jetzt müssen wir nur noch die einzel hier auch der hauptgewinn kriegen deshalb teilen wir die erste zeile durch
11:08 - 6 die zweite durch 24 und die letzte zeile dann durch vier springen jetzt an der seite dann habe ich auf der linken seite 1 0 0
11:23 und minus 2 durch - sechs sind 260 ich kurz mit absicht noch nicht dann 0 durch -6 ist natürlich 0 und 2 durch - sechs sind - 26 dann in letzter zeit in die
11:39 nächste zeile 0 1 0 dann 724 minus 3 24 und bei dem letzten habe ich dann zwei 24 und der letzten zeile natürlich 001
12:05 dann - eine vierte ein viertel und 24 genauso wie in unserer ersten beispiel wir haben zwar hier die inverse matrix aber die sieht nicht so schön aus
12:21 deshalb müssen wir sie noch in eine saubere form bringen dafür klammern wir aus dieser im vers matrix 1 24 raus ich weiß das klingt ein bisschen kompliziert
12:32 aber wie schon jetzt das ganze diese aus klammer geschichte für ein element hier an der seite also ausgaben bedeutet man teil durch die zahl die man nach vorne
12:42 zieht in diesem fall würde das bedeuten 26 geteilt durch ein 24 wenn man diesen doppel bruch auflöst dann haben wir zwei sechsten mal der
12:54 care wert von unserem buch also 24 einzel dann kann man noch mal ein bisschen kürzen die sechs verschwindet hier bleibt vier also das ergebnis acht
13:03 die gleiche taktik könnte ich hier für alle elemente der inversion matrix anwenden ihr könnt das gedanklich oder schriftlich eine seite machen damit hat
13:12 kriegt ihr sie als auch kurz gesagt die inverse matrix würde dann in unserem fall so aussehen dieser eigenen 24 nach vorne gezogen dann das erste element
13:24 hier bist 8 dann nun und - 8 bei der zweiten zeit ist ein bisschen leichter da kann man sich vorstellen man ihm nur diese 24 weg also 7 -3 und zwei und bei
13:38 der dritten zeile werde dann -6 6 und 12 das werde dann dem sma tricks damit kann man deutlich entspannter weiter rechnen in den einführenden teil zu diesem thema
13:53 habe ich bereits erwähnt dass nicht jede matrix in wehr tier beißt beziehungsweise dass nicht jede matic seien diverse besitzt so wie kann man
14:01 das sehr einfach erkennen es gibt mehr möglichkeiten zum beispiel im studium kann man das auch wieder rank eine matrix überprüfen
14:08 diesen begriff werde ich jetzt nicht neu einführen sondern ich werde den klassischen weg dass wir bereits besprochen haben benutzen
14:14 es ist nicht wirklich mit mehr aufwand verbunden deswegen kann man das auch so ganz gut erkennen und zwar wir versuchen so wie
14:24 vorher mit hilfe der einheitsrat rix dieser stufen form zu erreichen also 100 1000 1 gott das war unser haupt diagonale
14:36 unser ziel ist erstmal diese elemente hier null zu bekommen das erzählen wir mit dem addition verfahren also ich nehme beispielsweise
14:43 die erste zeile mal -1 und an der sie mit der zweiten dabei bleibt die erste unverändert 1 2 2 1 0 0
14:54 dann haben wir null - 2 bis 3 sind 12 bis 13 - 1 präsent sind - 10 + 1 sind eins und null und im gleichen zug möchte ich auch noch hier 1 0 erzielen deshalb
15:10 nehme ich noch mal die erste zeit mal 200 er sich mit der dritten dann habe ich hier nur dann habe ich oben 44 ist ebenfalls 0 - 4 + 4 ist ebenfalls 0
15:23 und hier habe ich dann zwei presse nun sind 200 und 1 bis 11 jetzt ist was alles passiert und zwar hier auf der linken seite statt es hier
15:37 noch ein element ist ist eine null zeile entstanden und dass es für uns ein klarer hinweis dass es keine hinweise gibt
15:45 also dieser matrix ist nicht im detail aber in unserer letzten beispiel eine kleine besondere aufgabe nicht schwerer aber besonders und zwar wie sollen
15:56 zeigen dass eine matrix die inverse von der anderen ist da ist nicht die beste taktik jetzt anzufangen die im werk selbst zu berechnen sondern wir erinnern
16:05 uns das haben wir eigentlich schon geklärt das war eine der eigenschaften die dem westen mal die matrix selbst oder
16:13 andersrum ergibt immer die einheits matrix das bedeutet in diesem fall müssen wir einfach nur die zwei monate zum miteinander multiplizieren
16:20 egal in welcher reihenfolge ohne es muss die einheits matrix auskommen jetzt schauen wir ob das gewährleistet ist also das sind über die multiplikation
16:30 besprochen beim thema von falk die hilfslinien dann nämlich zuerst hier die matrix b spielt auch keine rolle also 9,50 und nun - 2 1 1 und minus 2 0
16:47 1 1 und jungen die matrix a 2001 - 14 01 los gehts also 0 5 x 2 sind 1 + 0 und
17:07 plus 0 ist natürlich 105 x 0 0 bis 0 und plus 0 bis wieder 0 und wieder 0 0 und 0 die erste zeit es stimmt dann mit der zweiten zeile von b
17:20 wir haben dann hier - 40 und 4 gibt wieder nur dann 0 1 und 0 ist natürlich 1 und 0 - 1 1 1 gibt natürlich wieder nur und die letzte zeile - 40 und 4
17:41 nun 000 sind auch 0 und am ende noch 0 0 und 1 ergibt 1 also was wir hier stehen haben ist die sogenannte einheit matrix also stimmt ist die inverse von am
17:59 schluss noch ein paar hinweise hier habe ich euch nur ein einziger weg gezeigt zu berechnen was es gibt natürlich noch viel hat den aktiven lösungswege die ich
18:10 vielleicht in andere tories zusammenfassen werde dann nicht jede matrix war investierbar das haben wir auch anhand eines beispiels gesehen
18:19 vielleicht eine direktere entscheidungs regel wenn die anzahl der zeilen eine matrix geringer ist als die anzahl der spalten kann man das auch sofort sagen
18:27 dass die matrix nicht investierbar ist und noch ein kleiner hinweis in der gleichen play dies findet ihr bezogen auf matratzen noch weitere tutorials
18:36 unter anderem die multiplikation von matratzen im schema von falk oder das lösen von mattie 10 gleichungen