ROTATIONSKÖRPER um y Achse – Rotationsvolumen um y-Achse, Volumen Rotationskörper
MathemaTrick
https://www.youtube.com/watch?v=Jv1DrugW1nk

Transkript (automatisch erstellt)

0:00 hi in diesem video möchte ich euch zeigen wie man das volumen eines rotation körpers berechnen kann wenn eine funktion um die y achse rotiert es
0:10 ist nämlich ein riesenunterschied ob diese funktion um die x-achse dotiert oder eben um die y achse wir bekommen eine funktion die heißt ein
0:18 halbwegs quadrat das ist die rote hier und die soll um die y achse rotieren aber nicht in dem ganzen bereich von 0 bis unendlich sondern nur zwischen 0 und
0:30 8 deswegen habe ich hier diesen körper hin gezeichnet der da entsteht zwischen null und acht sieht man hier den jetzt gezeichnet auf der y-achse die funktion
0:41 an sich die läuft natürlich bis hoch hinaus irgendwohin aber uns interessiert wirklich nur das ganze in diesen grenzen
0:49 und dabei geht man mit folgenden plan vor rotation um die y-achse schritt eins wir brauchen die umkehr funktion von unserer gegebenen funktion ok suchen wir
1:01 die erstmal hier steht sie noch mal die haben wir bekommen und die umkehr funktion findet man jetzt folgendermaßen falls ihr euch vielleicht noch erinnert
1:09 statt dem f von iks schreibt man einfach y damit dass beim umstellen ein bisschen einfacher geht und recht schreibt man eben dass ein halbwegs quadrat hin und
1:18 jetzt lösen wir diese gleichung nach xy stets ja schon da aber wir brauchen die darstellung für xda können wir jetzt erstmal mal zwei rechnen damit sich
1:32 dieses einhalb hier auflöst dann steht auf der anderen seite eben 2 y und hier nur noch ex quadrat und dann sind wir fast schon fertig wir müssen jetzt nur
1:41 noch die wurzel ziehen damit das auch wirklich alleine steht und auf der anderen seite müssen wir dann halt eben auch die wurzel ziehen
1:48 von diesem 2 y und das ist es schon wir haben sie jetzt schon nachwuchs aufgelöst dass hier was jetzt auf der anderen seite steht das ist eure umkehr
1:58 funktion die bezeichnet man als f quer von y jetzt weil da ist ja jetzt ein y trendy heißt jetzt wurzel aus zwei oops i lon das ist unsere umkehrpunkt
2:11 und mit der arbeiten wir jetzt weiter also das war der erste schritt check das haben wir jetzt geht es zum zweiten schritt wir brauchen jetzt die formel
2:21 für das volumen von diesem rotation körper und sollen dann in diese formel eben die sachen einsetzen die formel sieht folgendermaßen aus marl
2:31 das integral in den grenzen von a bis b die grenzen müssen gegeben sein von unserer umkehr funktion die wird nochmal quartiert und dann schließen wir das
2:45 integral mit einem y ab weil wir werden je nach y integrieren weil wir hier auch mit unserer umkehr funktion arbeiten in der das y steckt also die sie ziemlich
2:55 gruselig aus wenn man die direkt mal so hingeknallt bekommt aber letztendlich setzen wir mal alles ein was wir bisher kennen wir haben grenzen unserer ypsilon
3:05 soll nämlich von null bis acht laufen die setzen wir ein also eben von null bis acht die untere kleinere zahl unten hin
3:12 die größere nach oben dann kommt hier unsere umkehr funktion rein die wir schon gefunden haben dieses wurzel aus zwei e y
3:21 und die wird einfach nochmal quartiert und hinten kommt dass der ypsilon und das ist es schon dieses integral müssen wir jetzt lösen das ist jetzt auch das
3:32 was im schritt 3 steht integral lösen ok dann machen wir das doch jetzt mal das steht schon auf der nächsten seite das waren so volumen diese formel wo wir
3:44 die sachen eingesetzt haben und da bevor wir die stamm funktionen bilden würden wir hier noch ein bisschen vereinfachen weil das ist relativ einfach zu machen
3:53 das quadrat und die wurzel die heben sich ja gerade einfach weg und dann steht nur noch zwei oops i lon ty integral und das zu lösen ist ja gar
4:02 nicht so schwierig wie mal wir brauchen eine stamm funktion von dem zwei oops i lon da ist es ja immer so hier steht die sonne hoch 1 das wird um 1 erhöht beim
4:15 integrieren da wird also y hoch 2 kraus und vorne dran stand die zahl oder steht die zahl die vorher stand das ist die 2 die wird aber geteilt durch die neue
4:27 hoch zahl die jetzt hier auch zwei heißt ziemlich viele zwei drin aber das wäre die stamm funktion von diesen dingen da die grenzen von null bis acht schreiben
4:37 natürlich auch noch dran jetzt vereinfachen wir das erste mal bevor wir die grenzen einsetzen 2 durch zwei ist er eins da steht eigentlich nur oops i
4:45 lon quadrat von 0 bis 8 und jetzt kommen noch die grenzen rein pi mal man setzt zuerst die obere grenze ein also acht zum quadrate sind 64 und dann
4:59 kommt - und dann die untere grenze 1 0 zum quadrat insgesamt haben wir also nur 64 pi als ergebnis und falls ihr das noch als
5:09 komma zahlen schreiben wollte wären das ungefähr 200 1,06 und das ist unser volumens von unserem produktions kam also geht die schritte einfach durch
5:19 falls ihr fragen habt manager in den kommentaren macht's gut