Abstand Punkt Gerade berechnen, Lotfußpunkt, Orthogonalität, Hilfsebene
MathemaTrick
https://www.youtube.com/watch?v=J0OI6gxaqSE

Transkript (automatisch erstellt)

0:00 in diesem video soll es darum gehen wie man den abstand von einer geraden zu einem punkt p bestimmt nämlich genau dieser abstand hier der senkrecht dass
0:12 wenn ich die kleinste abstand von der geraden zu den punkt ich zeige jetzt hier wie man im allgemeinen vorgeht und zwar bildet man eine hilfs ebene die
0:24 durch den punkt geht also der punkt p liegt in dieser ebene drin ist meine ebene e und die soll senkrecht auf der geraden stehen also meinen normalen
0:35 vector ist dann gerade der richtungswechsel einer geraden geht machen wir das doch mal ich bilde die ebene die als normalen vector den
0:47 richtungswechsel der gerade hat enorm an form brauche ich ja erst mal einen auf punkt dafür da der punkt p in der ebene liegen soll nämlich den punkt als auch
0:59 punkt 3 58 und als normalen weg tor wie schon gesagt der richtungswechsel der geraden weil die eben nur senkrecht auf der geraden stehen soll
1:11 214 gleich null jetzt ist die weitere vorgehensweise so dass ich den schnittpunkt von der geraden mit meiner neu erstellten ebene
1:24 haben möchte weil dann bekomme ich genau diesen punkt hier wenn man sich das ein bisschen vorstellen kann meine zeichnung ist ein
1:33 bisschen wild aber das ist der schnittpunkt von dieser ebenen mit dieser geraden und wir haben wir eben ja grad so gewählt dass sie senkrecht zu
1:42 der geraden steht deswegen erhalte ich dann diesen punkt den ich brauche um dann die verbindung die direkte verbindung zu dem punkt p zu finden und
1:53 die strecke zu messen also um den schnittpunkt von meiner ebene und der gerade g zu berechnen muss ich diese ebene erst mal in koordinaten
2:06 form bringen kurden an form ist eher so dass die zahlen vor meinem koordinaten genau der normalen vector sind also ich hab 2x 1 - x2 +4 x3 bis dann eine
2:25 konstante die konstante de kann ich ja berechnen indem ich einfach einen punkt hier einsätze und schaue was rauskommt zusätzlich doch einfach diesen auf punkt
2:34 hier ein also für das x1 60 3 1 und 2 x 3 - x2 sind fünf plus vier mal acht das ist die dritte koordinate und es was rauskommt ist dann mein de also 65 91
2:51 +32 sind 33 damit komme ich dann darauf dass meine kunden form genau so aussieht und damit kann ich jetzt mit der geraden den schnittpunkt berechnen
3:04 in dem ich diese gerade hier koordinaten weise in die koordinaten vom einsätze also für x1 setze ich die komplette erste zeile ein
3:15 dann komme ich auf 2 x 1 + 2 s - 62 also 2 - es +4 x3 also die extreme sind
3:37 drei +4 es gleich 33 rechnen wir das doch aus ausklammern zwei mal einzeln 2 2 x 2 es sind 4 - 2 + s plus 12 + 16 es gleich 33 4 s plus es sind 1521 es und
4:12 die zahlen 22 + 12 bringe ich das auf die andere seite kommt da 21 raus insgesamt erhalte ich es gleich 1 das heißt ich kann man es gleich eins da
4:24 oben in meine gerade einsetzenden erhalte den schnittpunkt bin ich erst mal essen das ist der punkt hier unten den wir
4:29 brauchen es ist dann also jetzt heißt das ding auch erst mal ganz groß ist als vektor ich setze für es 1 1 was ich hier raus gekriegt habe dann habe ich eins
4:42 plus 2003 zweite koordinate ist zwei - 111 und dritte koordinaten 3 + 4 also 7 das ist also mein schnittpunkt von der ebene und der gerade und um
5:00 diese strecke geht es mir dann im endeffekt von s p die länge dieser strecke also die länge der strecke sp bildet dann den abstand von meinem punkt
5:12 zu der geraden bilden wir erst mal den richtungswechsel so verbindungs vector von s&p in dem ich rechne also 33 sind 05 - 1 sind vier und acht - 7 sind 10 41
5:32 und davon brauche ich jetzt nur noch den betrag zu berechnen also fritzl aus erste koordinaten grad plus zweite koordinate
5:41 zum quadrat plus drehte quadrat und kommt insgesamt auf wurzel aus 17 das ist mein abstand von dem p zudem geraten also noch einmal
5:56 zusammengefasst wenn ihr den abstand von einem punkt zu einer geraden berechnen volt legt ihr eine hilfs ebene durch den punkt p
6:06 die als normalen vector den richtungswechsel geraden hat dann formt ihr diese normalen form hat der ebene in einer koordinaten form und berechnet den
6:18 schnittpunkt von dieser ebene zu der geraden das ist dann dieser punkt es der verbindungsweg zwischen s&p können wir
6:30 dann aufstellen und davon den betrag nehmen das ist dann der abstand von dem punkt zu der gerade damit ihr noch ein bisschen üben kommt habe ich hier meine
6:41 aufgabe hingeschrieben eine gerade und einen punkt und da könnt ihr jetzt genau das verfahren durchgehen und gerne in die kommentare schreiben was ihr raus
6:51 bekommen habt wo er noch probleme habt wo ich euch helfen kann wie auch immer schreibt mir das video falls es euch geholfen hat und dann
7:00 hoffen wir dass wir das gemeinsam hinkriegen viel spaß