Differenzenquotient einfach erklärt
Mathe - simpleclub
https://www.youtube.com/watch?v=IuaWZ6CLniM

Transkript (automatisch erstellt)

0:00 Kennt ihr den Hügel hier? Brutal hoch das blöde Ding. Mal so locker flockig 8848 m der Mount Everest. Aber warum ist
0:09 heute ein Berg im Video? Geht heute wieder mal ein bisschen um Steigung, nämlich um den Differenzenqutient.
0:17 [Musik] Was ist das denn überhaupt? Ist ja schon verdammt schweres Wort. Das ist mal der Dudenartikel. Braucht man praktisch nie
0:27 das Wort. Warum auch? hat wieder mal irgendein Mathematiker eingewürt, weil sich so schön kompliziert anhört. Ist aber gar nicht so schwer. Seht ihr
0:34 gleich mal eine kleine Wiederholung. Wie kriegt man die Steigungen von Geraden raus? Genau, mit einem Steigungsdreieck. Zur Erinnerung, ihr schnappt euch da
0:44 zwei Punkte auf der Geraden, die sind mal rot. Der links hat die Koordinaten x1 y1 und der rechts dann x2 y2. Jetzt wollt ihr ja die Steigung zwischen den
0:55 zwei Punkten. Dazu guckt ihr zuerst, wie viel ihr von dem ersten Punkt zum zweiten Punkt noch hochgehen müsst oder runter. Dazu rechnet ihr y2 - y1. Jetzt
1:05 braucht ihr noch die Entfernung, die ihr nach rechts gegangen seid. Das ist einfach x2 - x1. Wenn ihr jetzt den Höhenunterschied durch die Entfernung
1:14 nach rechts teilt, habt ihr die Steigung in dem Bereich. Und weil eine Gerade überall gleich steigt, habt ihr da auch gleich die Steigung von der Gerade
1:22 ausgerechnet. Soweit kennt ihr das ja noch. Jetzt kommt was Neues. Man kann das bei allen Grafen machen, auch Parabel und so. Z.B. bei x hoch 2. Da
1:32 kann man ja auch so ein Steigungsdreieck hinmalen. Mit diesem Steigungsdreieck rechnet man ja jetzt wieder die Steigung von der orangenen Gerade aus, weil die
1:40 können wir ja einfach an das Steigungsdreieck anlegen. Yeah. Was bringt uns die Steigung von der Geraden? Das ist die durchschnittliche Steigung
1:48 zwischen den zwei Punkten. Das heißt, ob ihr auf der Geraden vom linken zum rechten Punkt geht oder doch auf der Parabel, ist Wursst. Im Schnitt seid ihr
1:56 gleich steil hochgelaufen. Die Gerade geht die ganze Zeit gleich steil. Die Parabel am Anfang bisschen flacher, danach aber steiler als die gerade. Aber
2:06 wisst ihr was? Mathematiker waren sich sicher, dass durchschnittliche Steigung zu einfach klingt. Da könnte man sich ja direkt fast noch was drunter vorstellen.
2:13 Träglich. Deshalb hat man das anders genannt, nämlich genau Differenzenquotient. Man hat sich ja jetzt zwei Punkte auf
2:21 der Parabel geschnappt, die dann mit einer Geraden verbunden und die ist im Durchschnitt dann genauso steil wie das Teilstück auf der Parabel. Ah, eins
2:28 noch. Anstatt y können wir ja auch f von x schreiben, weil die ys sind ja gerade die zugehörigen Funktionswerte von den x-Koordinaten. Also ist unser
2:37 Differenzenquotient jetzt f von x2 - f von x1 dur x2 - x1. Und das ist die Form, die ihr euch merken müsst. Und als was? Alsnittliche Steigung zwischen zwei
2:49 Punkten. Das geht doch, oder? Dann zeigt mal, was ihr drauf habt. Aufgabe: Zwei Eisenbachen werden heiß gemacht. Für die Temperatur des ersten gilt f(x) = x² +
3:00 25 x inuten. Die Temperatur des zweiten ist g von x = 250 - 226 dur x² + 1 x in Minuten. Wessenatur steigt in der ersten Viertelstunde im Mittel schneller. Hier
3:14 rechts gibt's wie immer die Lösung.