INTEGRAL einfach erklärt – unbestimmte Integrale lösen, Stammfunktion
MathemaTrick
https://www.youtube.com/watch?v=IeSdRNb8Gx0

Transkript (automatisch erstellt)

0:00 hallo ihr Lieben heute möchte ich euch an diesen drei Beispielen zeigen wie man unbestimmte integrale berechnen kann falls ihr das Thema schon habt und schon
0:09 mal was von unbestimmten gehört habt dann habt ihr bestimmt auch was von bestimmten integralen gehört und da ist man ab und zu so ein bisschen irritiert
0:17 was da jetzt der Unterschied sein soll der ist gar nicht so schlimm bestimmte integrale sind einfach nur integrale die Grenzen haben also wenn jetzt hier z.B
0:25 das Integral von 1 bis 5 berechnet werden soll dann spricht man hier von einem bestimmten Integral weil man eben bestimmte Grenzen hier hat oder das in
0:35 einem bestimmten Bereich ausrechnen soll wenn diese Grenzen nicht zu sehen sind so wie hier dann sind es automatisch einfach unbestimmte integrale das ist
0:43 schon alles dann sten wir uns mal unser erstes integral und schauen wie wir das lösen können bei den integralen die sind so aufgebaut dass man hier vorne dieses
0:52 langgezogene S hat und hier zum Abschluss steht noch dieses DX das DX steht einfach immer am Ende das sagt euch einfach nur dass X eure Variable
1:03 ist also das X was hier steht das ist so wie wenn ihr eine Funktion habt da steht ja dann auch f von X drin und dann wisst ihr auch aha X ist meine variable um die
1:13 geht's hier also das ist dann n schlimm ist das muss einfach immer nur am Ende stehen wenn vorne euer integral aufgeht geht hinten das ganze mit demem DX dann
1:21 eben zu so und jetzt geht's an die Regeln dieses Integral zu lösen geht folgendermaßen wir haben hier ja x hoch eine Zahl und wir haben vor unserer
1:34 Potenz hier noch diese vier stehen also vier Mal und x hoch 6 die Hochzahl ist wichtig beim Ableiten wenn ihr mal noch mal dahin zurückdenkt ist es ja immer so
1:45 dass die Hochzahl eins kleiner wird und das Integrieren ist ja das Gegenteil vom ableiten deswegen kann man sich gut vorstellen dass die Hochzahl beim
1:55 Integrieren jetzt nicht kleiner wird sondern tatsächlich eins größer also schreiben das X mal hin und aus der 6 machen wir dann eine 7 also die Hochzahl
2:04 ein größer machen damit würde ich immer starten ich habe hier ein bisschen Platz gelassen da kommt nämlich jetzt ein Bruch hin der folgendermaßen aufgebaut
2:12 ist in den Nenner also hier unten von dem Bruch kommt diese neue Hochzahl rein also die sieben die wir hier hin geschrieben haben die kommt dann auch
2:20 hierhin und in den Zähler da kommt jetzt die Zahl hierhin die hier vorne dran stand bei uns die vi also wenn wir das mal markieren was wo hinkommt die
2:30 orangene vier kommt hier in den Zähler von diesem Bruch und unsere Hochzahl die wir eins größer gemacht haben die landet hier und auch hier das wäre eine
2:42 mögliche Stammfunktion aber vielleicht habt ihr es auch schon mitbekommen dass das nicht alles ist weil es gibt ganz viele Stammfunktionen z.B wenn ich jetzt
2:51 hier hinten noch eine + 5 hinschreiben würde nur mal so als Beispiel dann wäre das auch eine Stammfunktion denn wenn wenn wir mal das ganze rückgängig machen
3:02 und das hier noch mal ableiten dann müssen wir hier landen und das passiert auch weil wenn wir diese fünf ableiten was passiert mit solchen Konstanten in
3:12 denen gar kein X drin ist da ist es ja so dass die wegfallen also hier kann eine 5 stehen hier kann 7 stehen hier kann keine Ahnung 108 stehen die würde
3:25 immer wieder wegfallen wenn wir sie ableiten das heißt von den Stamm Funktion kann hier jede beliebige Zahl noch dazu gerechnet werden und deswegen
3:36 schreibt man einfach hier hinten immer so ein + C dazu das C soll dann für jede beliebige Zahl stehen die hier hinten dran noch dazuug gerechnet werden könnte
3:47 dann hat man alle Stammfunktionen dieses + C vergisst man super gerne es gibt aber Punktabzug normalerweise wenn man es vergisst also versucht dran zu denken
3:58 wenn ihr bestimmte integrale löst dass dieses + C noch dazu soll oder wenn ihr alle Stammfunktionen angeben sollt dass ihr dieses + C einfach nicht vergesst
4:08 aber das ist dann schon alles dann guckt man natürlich noch ob man den Bruch hier irgendwie kürzen kann irgendwas zusammenfassen kann das ist jetzt hier
4:14 nicht der Fall und dann lässt man das so stehen dann gehen wir mal zum zweiten Beispiel wo es ein bisschen ausführlicher wird aber auch da geht man
4:22 genauso vor wir haben jetzt hier eine Summe hier vorne hier eine Differenz also Plus und Minus ist drin das ähm ist aber nichts schlimmes wir werden den
4:33 Teil zuerst integrieren danach den Teil einzeln und danach kümmern wir uns um den letzten Teil also eins nach dem anderen ähm hier vorne geht unser
4:41 integral auf hier hinten geht's mit dem DX zu also ein ganz normales unbestimmtes Integral weil wir keine Grenzen haben wie ist die Regel schauen
4:50 wir mal hier vorne bei dem ersten Teil markieren wir uns unsere Hochzahl und die Zahl die vorne dran steht wenn da nichts zu sehen ist können wir uns schon
4:58 mal notieren dass hier so ein einmal x hoch 2 steht wie war die Regel die Hochzahl wird eins größer gemacht also aus x hoch 2 wird ein x hoch 3 dann
5:08 machen wir ein Bruch hier vorne hin die 3 die wir hier hineschrieben haben die landet auch hier unten im Nenner und in den Zähler kommt die Zahl die vorne dran
5:16 stand das war hier die eins die nicht sichtbar war aber wir haben sie ja schon mal da hingeschrieben die kommt dann hierhin und das wäre die Stammfunktion
5:25 von dem ersten Teil hier vorne oder eine Stammfunktion dann kommt das Plus und hier machen wir genau dasselbe welche Hochzahl haben wir hier wenn wir so uns
5:34 markieren wollen da steht eine ein wenn nichts zu sehen ist also das ist unsere Hochzahl die 2 steht hier mit einem Mal vorne dran dann geht's los aus dem x
5:45 hoch 1 wird ein x hoch 2 ein Bruch vorne dran diese neue Hochzahl landet auch hier unten und was kommt hier oben hin diese orangene der Faktor der vorher
5:55 vorne dran stand diese zwei sind dann jetzt hier halt gleich aber das macht ja nichts können wir gleich noch vereinfachen dann kommt das Minus und
6:04 jetzt ist hier gar kein X drin H geht trotzdem tatsächlich genauso aber lass uns erstmal die schnelle Variante machen und dann kann ich euch noch zeigen wie
6:15 sich diese schnelle Variante diese Abkürzung erklärt also die Abkürzung ist wenn da eine sieben ist jetzt müsst ihr richtig nachdenken das dürft ihr nicht
6:23 mitm ableiten verwechseln beim Ableiten ist es ja so wenn da gar kein X ist dann fällt das beim Ableiten weg aber wir sind ja hier nicht beim Ableiten sondern
6:33 eben beim integrieren und da ist es dann so dass es das Gegenteil passiert das fällt nicht weg sondern wir hängen noch ein X hinten dran also an die 7 muss ein
6:45 X dran kommmen denn wenn ihr jetzt noch mal rückgängig geht also von hier noch mal dahin wandert wie ist da die Regel wenn man das ableitet dann fällt das X
6:58 beim Ableiten ja weg und nur die -7 bleibt übrig also überlegt euch immer mal wieder wenn ihr ein Ergebnis hier habt ob das mit der Ableitung dann auch
7:08 passt weil beim Ableiten ist man sich normalerweise ein bisschen sicherer dann kann man einfach noch mal gegenprüfen ich habe euch ja versprochen
7:15 das hier war die schnelle Variante wie man das hier integrieren kann die Erklärung dafür ist folgende falls ihr sie hören möchtet ähm hier wenn da kein
7:26 X zu sehen ist ist das schon ein X aber ein x hoch 0 und x hoch 0 da haben wir dann die Hochzahl die ist halt 0 die Zahl hier vorne dran ist die 7 wenn wir
7:39 das Minus mal da stehen lassen also die Zahl einfach nur uns betrachten wie ist die Regel die Hochzahl wird eins größer gemacht also x hoch 1 und vorne dran
7:50 kommt ein Bruch indem diese 1 im Nenner steht und im Zähler steht diese Zahl vorne dran also 7 dur 1 sind und x hoch 1 ist einfach nur x also
8:02 genau das was wir eben in der schnellen Variante haben gilt hier dann natürlich auch wenn wir das mit der langen Variante erklären was
8:11 dürfen wir nicht vergessen na wenn wir alles integriert haben hinten noch dieses Plus+ C das muss immer noch mit dran wenn es um alle Stammfunktionen
8:21 gibt geht die ihr eben angeben sollt und dann geht man einmal durch guckt ob man was vereinfachen kann hier dieses 2 durch 2 kann man auch einfach weglassen
8:30 also 1 kommt da ja raus 1 x hoch 2 und dann wäre das das Ergebnis von diesem unbestimmten integral und eine Stufe komplizierter geht es natürlich immer
8:43 wenn euer integral so aussieht was ist jetzt anders erstens mal haben wir hier Brüche drin wo man auch schon direkt immer mal wieder so ein bisschen
8:53 Schnappatmung bekommt aber es funktioniert trotzdem genauso also noch nicht verzweifeln wir gehen es gemeinsam durch aber zusätzlich zu unserem x also
9:01 unserer Variablen x die hier überall steht hat sich hier tatsächlich noch ein a versteckt das a soll einfach irgendeine Zahl sein also eine
9:12 sogenannter Parameter kommt jetzt hier vor Parameter behandelt ihr so wie zahlen also X ist eure Variable mit der ihr alles macht wie eben auch und sobald
9:23 noch ein anderer Buchstabe vorkommt den behandelt ihr von den Regeln her als wäre es einfach eine also als würde da kein a stehen sondern z.B eine 5 oder so
9:34 also müssen wir gleich mal schauen was da passiert aber ihr müsst natürlich a nennen dann gehen wir ran von den Regeln x hoch 4 also wir haben hier vor unserem
9:43 x hoch 4 ist einfach so ein Faktor das heißt wir wissen genau aus unserem x hoch 4 machen wir ein x hoch 5 schreiben einen Bruch vorne dran die neue Hochzahl
9:54 kommt dann auch in den Nenner hier rein die F und in den kommt ja unser Faktor der vorne dran stand da ist jetzt dieses a mit drin
10:04 aber das macht gar nichts wir haben ja gesagt wir benutzen das oder wir sehen das A wie eine Zahl wenn es mit einem Mal vor meiner Potenz hier steht dann
10:14 kommen diese kompletten 8a einfach hier in den Zähler rein dann geht's weiter mit dem Plus und die Regeln wenden wir hinten genauso an wir haben eine
10:23 Hochzahl die wir eines größer machen x hoch 4 die kommt hier in den Nenner rein und und die Zahl die vorne dran Stand ist diesmal halt ein Bruch aber das
10:33 macht ja nichts der kommt in den Zähler rein sieht dann halt erstmal ein bisschen hässlich aus aber wir werden das schon noch schöner machen dann haben
10:41 wir alles integriert was fehlt noch das + C hier hinten also unsere Zahl die immer wieder wegfallen wird wenn wir das rückgängig machen also wenn wir das
10:52 Ableiten dann fällt so eine konstante einfach immer wieder weg deswegen kann sie da stehen fällt nicht auf bzw wir wissen nicht welche Zahl hier steht aber
11:01 das macht nichts irgendeine kann da eben stehen jetzt vereinfachen wir mal noch ein bisschen eigentlich kann man das soweit lassen also
11:09 8a5 könnt ihr so schreiben oder dieses a packt ihr hinten dran wenn ihr wollt also das ist Geschmackssache x hoch 5 hinten dran aber das müssen wir noch ein
11:19 bisschen schöner machen 1/7 durch 4 könnt ihr in der Nebenrechnung mal so aufschreiben oder ihr habt halt einen Taschenrechner mit dem ihr es berechnen
11:28 könnt durch 4 erstmal machen wir ein Bruch draus wenn wir es berechnen wollen werden durch 4 einel aber wir rechnen ja nicht durch ein Bruch sondern wir
11:37 multiplizieren mit dem kehwert also drehen die 4 und die 1 rum und dann hätten wir einmal 1 1 und 7 x 4 sind 28 also
11:48 128 kommt hier raus das x hoch 4 noch hinten dran und das + C und dann wäre das wären das alle unsere Stammfunktionen dann hoffe ich dass euch
11:59 geholfen hat in das Thema ein bisschen besser einzusteigen falls ihr Fragen habt schreibt sie sehr gerne in die Kommentare ansonsten euch einen
12:04 wunderschönen Tag und bis zum nächsten Video macht's gut