Berechne Volumen und Oberflächeninhalt – Prisma
MathemaTrick
https://www.youtube.com/watch?v=IWUsZpvereI

Transkript (automatisch erstellt)

0:00 Hallo ihr Lieben, heute habe ich euch diese Aufgabe mitgebracht, bei der wir das Volumen und den Oberflächeninhalt dieses Körpers hier bestimmen sollen.
0:09 Lasst uns mal mit dem Volumen starten. Wie kann ich das Volumen dieses Körpers berechnen? Wir könnten diesen Körper mal in zwei
0:18 Teile unterteilen. Einmal diesem großen Teil hier auf der linken Seite und dann noch diesen kleinen Teil hier, das hier so dran geklebt ist und dann einfach das
0:30 Volumen von dem großen erstmal berechnen. Das nenne ich mal V1 und dann danach noch das Volumen von dem kleinen Körper berechnen. Das nenne ich mal V2
0:39 und die am Schluss zusammenrechnen. Also um das Gesamtvolumen zu erhalten, brauchen wir V1 und rechnen dann V2 dazu. Das ist der Plan. Dann lass uns
0:49 mal herausfinden, wie groß V1 ist. Das heißt, dieses Stück, was hier so dran klebt, das ignorieren wir jetzt erstmal komplett und schauen uns nur die linke
1:02 Seite hier an und versuchen hiervon das Volumen zu bestimmen. Was ist das denn für ein Körper? Wie können wir davon das Volumen berechnen?
1:12 Wir haben hier vorne so ein Dreieck. Könnt ihr das sehen? Und das wiederholt sich genauso hier hinten an der Wand. Hier liegt noch
1:25 mal genau das gleiche Dreieck, nur verschoben. Also, sie liegen durch diesen Abstand hier voneinander entfernt, aber parallel zueinander.
1:38 Das ist ein Prisma. Und um das Volumen eines Prismas zu bestimmen, brauchen wir die Grundfläche und die Höhe und müssen die beiden
1:49 einfach nur miteinander multiplizieren. Was ist jetzt hier meine Grundfläche? Das ist eine von den beiden Dreiecken, also eine von den beiden Flächen, die
1:58 parallel zueinander liegen. Ich kann hier vorne das Dreieck als meine Grundfläche nehmen. Das heißt, ich muss jetzt gleich den Flächeninhalt davon
2:07 berechnen. Und was ist dann meine Höhe? Das ist der Abstand von diesen beiden Dreiecken, also der Abstand von den beiden Flächen, die parallel zueinander
2:18 liegen. Und der Abstand ist genau das Grüne, was wir hier markiert haben. Den haben wir hier mit vier gegeben. Das können wir hier dann eintragen. Damit
2:26 haben wir die Höhe auf jeden Fall schon mal gefunden. Okay, um die Grundfläche dann jetzt also zu bestimmen, brauchen wir den
2:33 Flächeninhalt von diesem Dreieck. Es handelt sich um ein rechtwinkliges Dreieck, was sehr praktisch ist, denn dann bräuchten wir, um den Flächeninhalt
2:43 davon zu berechnen, einfach nur die beiden Seiten, die senkrecht aufeinander stehen. Also die Länge von dieser Seite brauchen wir, okay, die ist schon
2:51 gegeben mit acht und die Länge von dieser Seite, die hier so senkrecht aufeinander steht. Wie lang ist die? Na ja, wir kennen dieses kurze Stückchen
3:03 hier. Das ist nämlich hier mit Zeh gegeben. Also wissen wir schon mal, dass das die Länge 10 hat. Aber dann haben wir ja hier unten noch dieses kleine
3:11 Stückchen dran. Von dem wissen wir noch nicht, wie lange es ist. Das nenne ich einfach mal X. Aber das X befindet sich ja hier auch in diesem kleinen
3:21 rechtwinklig Dreieck. Von dem wissen wir, wie lang diese Seite ist. Die ist nämlich hier hinten mit 4 gegeben und wir wissen auch, wie lang diese Seite
3:29 ist, denn die ist hier mit 3 gegeben. Und dann können wir hier den Satz des Pythagoras drauf hauen, um unser X zu bestimmen. Für Pythagoras brauchen wir
3:39 erstmal die Hypotenuse. Die liegt immer gegenüber vom rechten Winkel, also ist X unsere Hypotenuse. Und dann sagt Pythagoras: "Nimm die eine Seite und
3:49 quadriere sie." Also nimm die vier und quadriere das Ding plus. Nimm die andere Seite und quadriere sie, also die 3 und quadriere. Und dann kommt da die
3:59 Hypotenuse zum Quadrat raus, also x zum Quadrat. Diese Gleichung müssen wir jetzt nur nach x umstellen. Lass uns mal auf der linken Seite ein bisschen was
4:09 zusammenrechnen. 4 zum Quadrat sind 16. 3² sind 9. 16 + 9 sind 25. Also haben wir hier 25 = x². Um noch x umzustellen, muss das Quadrat noch
4:25 verschwinden. Also ziehen wir auf beiden Seiten einfach die Wurzel. Beim Wurzelziehen in einer Gleichung entstehen zwei Lösungen. Eine positive
4:34 und eine negative Lösung. Die Wurzel von 25 ist 5 und dann kriegen wir noch -5 als Ergebnis raus. Aber eine negative äh negativer Wert für unsere Seitenlänge
4:49 interessiert uns jetzt nicht. Deswegen rechnen wir nur mit der fünf weiter. Statt dem X kann ich jetzt also hier eine fünf schön eintragen. Dann wissen
4:57 wir nämlich, dass diese orangene Seite insgesamt 15 lang ist. Und dann können wir uns jetzt um unser Volumen kümmern. Wir brauchen die Grundfläche, also haben
5:08 wir schon gesagt, den Flächeninhalt von unserem Dreieck hier vorne. Die Formel dafür ist ja dann ein/B mal die zwei Seiten, die sich senkrecht zueinander
5:19 stehen. Also ein/ 8 mal diese orangene Seite ist 15. Und das Ganze wird dann noch mit der Höhe multipliziert. Also haben wir auch schon gesagt, das ist der
5:31 Abstand hier von diesen beiden Dreiecken, also 4. Und das müssen wir jetzt nur noch ausrechnen. Entweder ihr tippt alles in Taschenrechner ein oder
5:39 vielleicht kriegen wir es auch so im Kopf hin. Ähm 8 dur können wir erstmal rechnen, das sind 4. [Musik]
5:49 Und dann müssen wir das noch mit 4 multiplizieren. 60 x 4 sind dann 240 für unser erstes Volumen. Das haben wir jetzt schon mal gefunden. Und dann
5:58 machen wir das genau dasselbe jetzt noch mit V2. Wir haben ja schon ein paar mehr Angaben gefunden. Wie können wir V2 berechnen?
6:08 Wenn wir uns das kleine Ding hier angucken, dann ist das schon wieder ein Prisma, weil wir haben hier vorne das Dreieck.
6:15 Das wiederholt sich hier hinten, also die liegen hier so parallel zueinander und zwar in diesem Abstand. Das heißt, Volumen ist wieder genau
6:28 dasselbe, die Grundfläche mal die Höhe. Die Grundfläche ist diesmal halt unser kleines Dreieck hier, aber es handelt sich hier, das habe ich jetzt radiere
6:38 ich mal noch mal ein bisschen aus, damit man den rechten Winkel hier noch mal sieht. Es handelt sich schon wieder um ein rechtwinkliges Dreieck. Das heißt,
6:45 die Formel ist schon wieder ein/b mal die eine Seite mal die andere Seite, die senkrecht dazu steht, also ein/b* 4* 3. Und dann wird das Ganze jetzt mit der
6:56 Höhe hier von unserem Prisma multipliziert, immer noch mit der 4. Diesmal sind die Zahlen kleiner, das kriegen wir auf jeden Fall im Kopf hin.
7:03 4 2 sind 2. 2* 3 sind 6* 4 sind 24 für unser V2. Also gehen wir zurück an den Anfang, wo wir unser Gesamtvolumen hier aufschreiben wollten. V1 haben wir mit
7:18 240 gefunden, V2 haben wir mit 24 gefunden. Also haben wir ein Gesamtvolumen von 264.
7:29 Okay, das war das Volumen. Dann fehlt jetzt nur noch der Oberflächeninhalt. Gehen wir mal auf eine neue Seite. Wie können wir jetzt den Oberflächeninhalt
7:38 bestimmen? Dazu müssen wir alle Flächen berechnen, die wir anfassen können. Also, wir haben hier Dreiecke,
7:47 Rechtecke, hier unten auch ein Rechteck. Also, wir müssen jetzt so ein paar Flächen berechnen, einige ehrlich gesagt, aber wir starten einfach mal
7:55 irgendwo, z.B. hier mit diesem kleinen Dreieck. Flächeninhalt davon hatten wir eben schon. Haben wir ja gesagt, ist ein halb mal die 4 mal die 3. Bevor ich das
8:09 jetzt ausrechne, ich weiß ja, dass dieses Dreieck hier hinten noch mal vorkommt und diese Fläche kann ich ja auch anfassen. Von daher verdopple ich
8:20 diesen Flächeninhalt einfach, weil der ja zweimal vorkommt. Und jetzt rechne ich das Ding aus. Jetzt kann ich nämlich schön die zwei mit der zwei hier kürzen
8:28 und 4 x 3 sind einfach nur 12 für den Flächeninhalb von diesen beiden Dreiecken zusammen. Okay, hinzu kommen weitere Flächen. Z.B.
8:39 können wir uns hier vorne dieses Rechteck mal rausnehmen. Das hat die Seitenlingen 3 und 4. Also 3 x 4 sind auch 12. Als nächstes können wir das
8:49 hier anfassen. Das ist auch ein Rechteck mit den Seitenlängen 4 x 4. Also hier unten die Seite ist 4. 4 x 4 sind dann 16.
9:00 Hinzukommt. Vielleicht gehen wir jetzt zu diesem Rechteck hier. Das sind 4 x 10, also 40. Wir dürfen nichts vergessen, deswegen alles schön
9:11 ordentlich markieren. Dann können wir mal hier hinten dieses Rechteck nehmen mit den Seitenlängen 4 und 8. 4 x 18 sind 32.
9:21 Dann vielleicht da unten den Boden, der hat die ist auch ein Rechteck mit den Längen 17* 4. x 4 können wir vielleicht erstmal
9:31 aufteilen in 10* 4 sind 40 und hinzuommen 7* 4 sind 28, also insgesamt 68. Und dann haben wir es fast geschafft.
9:44 Jetzt haben wir nur noch hier vorne das große Dreieck und nicht vergessen hinten das große Dreieck. Aber dann haben wir alles. Wie rechnet man noch mal das
9:54 große Dreieck hier vorne aus? Haben wir auch schon. Vielleicht habt es euch irgendwo gemerkt, aber der die Formel dafür war ja ein/b.
10:04 Also 8 x 15. Und das ganze verdoppel ich auch noch mal, weil dieses Dreieck da hinten ja an der Wand noch mal vorkommt. Dann kann ich hier wieder die zwei
10:13 wegstreichen. 8 x 10 vielleicht zuerst sind 80 und 8 x 5 dann kommen noch 40 hinzu, also insgesamt 120.
10:25 Und wenn man das jetzt alles zusammenrechnet, müsste man auf einen Wert von glatt 300 kommen, was sehr schön ist. Probiert's aus, ob es passt.
10:36 Ansonsten hoffe ich, dass es klar geworden ist, wie man vorgehen kann. Habt noch einen wunderschönen Tag und wir sehen uns beim nächsten Video.
10:41 Macht's gut.