ABLEITUNG bilden e-Funktion – Exponentialfunktion ableiten
MathemaTrick
https://www.youtube.com/watch?v=IU7s7GoujS4

Transkript (automatisch erstellt)

0:00 hallo ihr Lieben heute habe ich euch diese vier Aufgaben mitgebracht die alle in einem Test vorkamen zum Thema Exponentialfunktionen ableiten es werden
0:09 alle möglichen Regeln vorkommen die man zum Ableiten braucht deswegen lass uns mal mit der ersten Aufgabe starten und schauen welche Regeln wir hier anwenden
0:18 müssen um die erste Ableitung richtig bilden zu können wir haben hier 2 plus diesen Teil hier hinten das bedeutet wir leiten zuerst den Teil hier vorne ab und
0:31 unabhängig davon werden wir dann den hinteren Teil ableiten also so ein Plus trennt das Ganze immer in verschiedene Bereiche wenn wir die zwei ableiten
0:40 wollen dann sehen wir dass da gar kein X vorkommt also das ist einfach nur eine konstante die fällt beim Ableiten weg also hier vorne der Teil abgeleitet ist
0:49 null müssen wir nichts hinschreiben dann kümmern wir uns um den hinteren Teil da haben wir jetzt ein Produkt aber hier die vier ist ja nur eine Zahl da ist
1:00 kein X drin in dem Faktor hier das heißt wir können es einfach so ableiten dass die vi beim Ableiten bleibt also weil das ja mit einem Mal verbunden ist dann
1:11 bleibt so ein Faktor erhalten beim Ableiten und dann müssen wir jetzt nur diese e-Funktion hier einzeln ableiten und bei so einer e-Funktion die ist
1:20 eigentlich ganz nett man muss die Kettenregel benutzen aber die ist relativ einfach zu machen bei der Kettenregel ist es ja so dass man eine
1:28 innere Funktion hat und eine äußere die e-Funktion ist hier die äußere die ist sehr nett zu uns weil die e-Funktion einfach beim Ableiten erhalten bleibt
1:39 aber um die innere Funktion müssen wir uns auch kümmern deswegen würde ich sagen starten wir mal damit nur das grüne hier einmal abzuleiten da ist ist
1:48 ja so hier vorne dass wenn dann x drin ist dann fällt das X beim Ableiten weg und nur die Zahl vorne dran bleibt stehen also diese fün die kommt hier hin
1:56 und die +1 fällt beim Ableiten komplett weg weil da gar kein NS drin ist selbe Begründung wie hier vorne deswegen die innere Ableitung ist nur die fünf hier
2:04 wenn wir das grüne einmal ableiten und dann sagt die Kettenregel ja das wird jetzt multipliziert mit der äußeren Ableitung und bei der e-Funktion ist die
2:13 äußere Ableitung halt sehr nett wir müssen einfach nur das Ding einmal so dahinschreiben wie es hier steht weil die e-Funktion einfach erhalten bleibt
2:20 also einmal genauso diese e-Funktion ohne drüber nachzudenken einmal hinschreiben die innere Ableitung haben wir schon beachtet und hier vorne die
2:29 vier war ja dieser Faktor hier und damit haben wir hier unsere Ableitung kann man 4 x 5 noch zusammenrechnen zu 20 und mehr kann man da nicht machen erste
2:38 Aufgabe erledigt zweite Aufgabe so wir wollen g STR von X bilden und wir schauen uns das ganze mal noch mal an da ist schon wieder ein Plus
2:49 dazwischen das heißt wir werden den Teil einzeln bearbeiten und den Teil hier hinten dann auch einzeln getrennt davon und hier haben wir schon wieder einfach
2:56 eine e-Funktion mit der inneren Funktion hier drin wo wir die Ableitung von beachten müssen wenn wir die Kettenregel anwenden so wie eben auch wir leiten nur
3:06 das grüne erstmal ab also die innere Funktion wie eben auch das X fällt beim Ableiten weg und die Zahl vorne dran bleibt stehen das ist eine -4 diesmal
3:17 die + 1 fällt beim Ableiten komplett weg also sehr ähnlich zu eben das hier ist die innere Ableitung die wird jetzt multipliziert mit der äußeren Ableitung
3:25 und da wir hier eine e-Funktion haben schreiben wir die einfach so H da ändert sich gar nichts die bleibt beim Ableiten erhalten dann kommt das Plus hier okay
3:35 schreiben wir hin und wir kümmern uns um diese Ableitung 2E x was ist das für eine Schreibweise es ist nicht 2E hoch x sondern 2 x E mal x und da darf man sich
3:49 jetzt nicht irgendwie irritieren lassen das E ist ja einfach nur eine Zahl und wie leit leitet man sowas ab wenn dann x drin vorkommt das X fällt beim Ableiten
4:02 weg und die Zahl die vorne dran steht auch wenn die jetzt mit so einem Buchstaben abgekürzt wird die bleibt erhalten also das 2 x E bleibt einfach
4:12 beim Ableiten da weil das X fällt weg beim Ableiten und die Zahl die vorne dran stand die halt jetzt hier 2E heißt die wird übernommen in die Ableitung
4:21 rein und damit ist das unsere Ableitung also lasst euch nicht irritieren falls da kein X also kein e hoch x steht sondern einfach nur der Buchstabe e als
4:30 Abkürzung ist einfach behandelt ihr genauso wie eine Zahl mehr kann man nicht machen das war die zweite Aufgabe was erwartet uns hier bei der dritten
4:40 Aufgabe wir wollen wieder h STR von X bilden diesmal haben wir hier ein Produkt und dieses Mal steht hier vorne nicht nur die 2 sondern da steht 2 x
4:54 also in diesem Produkt ist im ersten Teil ein X und im zweiten Teil kommt auch ein X vor dann müssen wir die Produktregel anwenden um das hier
5:03 ableiten zu können die Produktregel sagt teile dein Produkt in einen ersten Faktor nenn einfach u und einen zweiten Faktor nennen den V und die Ableitung
5:13 ist dann u mal V + U mal V das ist die Produktregel und die wenden wir hier jetzt an ustich heißt wir müssen den ersten Teil einmal
5:26 ableiten 2x abgeleitet das X fällt beim Ableiten Weg nur die Zahl vorne dran bleibt stehen also die 2 das ist unser Urich wird multipliziert mit V also wir
5:37 verändern V gar nicht sondern schreiben das einfach einmal hier so ab dann kommt ein Plus und jetzt schreiben wir u einfach so ab wie es da stand das sind
5:48 die 2x nichts verändern aber das wird jetzt multipliziert mit der Ableitung von V also jetzt müssen wir den hinteren Teil hier einmal ableiten diese
5:57 e-Funktion abgeleitet wir denken an das Innere was wir ableiten müssen die 2 fällt weg beim Ableiten weil da gar kein X vorkommt und - x abgeleitet da ist es
6:09 ja so dass das X beim Ableiten wegfällt und die Zahl die vorne dran Stand bleibt erhalten das ist eine -1x steht hier ja also die
6:19 -1 landet hier in der Ableitung drin das war jetzt die innere Ableitung und es muss jetzt noch multipliziert werden mit der äußeren Ableitung aber es ist ja die
6:28 e-Funktion deswegen schreiben wir die einfach so ab und müssen nichts verändern das ist unsere Ableitung die können wir jetzt noch ein bisschen
6:37 schöner machen hier vorne das kann man eigentlich so stehen lassen aber hier der Teil hier haben wir + 2x mal -1 also 2 x -1 sind ja -2 dann ist x hinten dran
6:51 und dann noch diesen e-funktionsausdruck hier hinten und eine Sache die man da dann gerne macht ist wir haben ja hier ein Minus also diesen
6:59 Teil minus diesen Teil und in beiden Teilen kommt dieser e-funktionsausdruck vor und damit es einfacher ist damit weiter zu rechnen
7:08 klammert man den normalerweise aus also dieses grüne e hoch 2 - X kommt beiden Teilen vor das heißt wenn wir den hier vorne rausziehen bleibt da nur die zwei
7:19 übrig dann kommt das Minus und wenn wir das grüne hier hinten rausziehen dann bleiben die 2x übrig und das ist so die gängigste Art wie man diese Ableitung
7:29 dann aufschreibt und bei der letzten Aufgabe da sieht's noch mal ein bisschen wild aus was haben wir hier X - E und das ganze in Klammern hoch 7 da ist
7:41 schon wieder kein X bei dem E also das E wird einfach wie eine Zahl behandelt schauen wir uns mal an wir haben hier eine ineinander verschachtelte Funktion
7:51 also innen haben wir in dieser Klammer dieses x- e stehen und außen haben wir dieses Hoch 7 stehen wie leitet man sowas ab mit der Kettenregel so wie die
8:03 ganze Zeit auch nur wir müssen gucken dass wir es richtig anwenden die Kettenregel sagt nimm das Innere das was wir hier grün markiert haben und bilde
8:12 die Ableitung davon okay machen wir mal wenn man x ableitet fällt das X weg und die Zahl vorne dran bleibt stehen da ist einmal x also eine 1 bleibt stehen
8:26 e bei dem E ist jetzt gar kein x da das ist einfach eine konstante so wie wenn hier eine -2 gestanden hätte e steht ja für irgendeine Zahl deswegen das fällt
8:37 beim Ableiten einfach komplett weg also die innere Ableitung ist einfach nur 1 mal sagt die Kettenregel dann und jetzt leite das Äußere ab das was wir
8:47 orange markiert haben also dieses irgendwas hoch 7 wie leitet man das ab wenn ihr irgendwas hoch 7 wenn ihr x hooch 7 irgendwo stehen habt dann wisst
8:57 ihr die Hochzahl kommt nach vorne also die sieben ziehen wir nach vorne und dann wird die Hochzahl eins kleiner gemacht aus der sieben wird eine sech
9:08 und wenn man das orangene hier ableitet das Äußere dann fasst man das grüne nicht an das was innen Stand wird auch wieder so hingeschrieben also dieses x-
9:19 e fassen wir nicht an das kommt einfach noch mal hier in die Klammer rein und damit haben wir die Ableitung gebildet ein x 7 kann man auch einfach nur sieben
9:28 vorne dran schreiben und damit haben wir es haben wir uns hoffentlich alle Punkte geschnappt ich hoffe ihr auch falls ihr aber Fragen habt schreibt sie gerne in
9:35 die Kommentare ansonsten habt noch einen wunderschönen Tag und wir sehen uns beim nächsten Video macht's gut