Das Potentialtopfmodell in der Schulphysik
Lehrer TK
https://www.youtube.com/watch?v=GNDw8yqpwAA

Transkript (automatisch erstellt)

0:00 in dieser Präsentation möchte ich auf Schulniveau das quantenmechanische potentialtopfmodell erklären mit dem man das Verhalten von Elektronen beschreibt
0:08 die ein Atome gebunden sind dazu möchte ich zunächst die Entwicklung dieses Modells zumindest grob in den historischen Kontext einsortieren
0:17 im Jahr 1888 hat Johann Jakob Weimer sich mit dem Linienspektrum von leuchtendem Wasserstoff beschäftigt es gelang ihm eine Formel zu entwickeln mit
0:26 der man die sichtbaren Linien berechnen konnte Johannes rückberg konnte die Formel noch erweitern und damit auch Wellenlängen im
0:33 nicht sichtbaren Bereich bestimmen ja so schön diese Formel nur noch ist sie ist eine rein mathematische Rechenformel das heißt ohne ein
0:43 physikalisches Modell dahinter zu jeder Zeit gelten Atome als elementarbausteine das heißt dass sie keine innere Struktur haben sondern
0:51 selbst die innere Stimme 197 gelang es aber Joseph John Thompson Elektronen nachweislich aus Atom herauslösen zu können und damit wurde der Vorstellung
0:59 dass Atome elementar sind widersprochen Atome haben eine innere Struktur und so begann die Suche danach wie diese aussieht
1:08 Thompson selbst stellte sich das Atom wie ein Rosinenbrötchen vor in dem die negativ geladenen Elektronen virusin in dem positiv geladenen Teig sitzen im
1:17 Englischen wird es übrigens auch plump bei dem Modell genannt dieses Modell hielt sich einige Jahre bis 1911 eine Strada fort sein
1:25 legendären streuversuch durchführte in diesem zeigt er das Atome größtenteils leer sind und sich fast ihre komplette Masse auf ein relativ winzigen Kern
1:33 konzentrierter daraus entstand das kernhüllemodell mit einem positiv geladenem Masse reichen Kern und fast masselosen Elektronen in der Hülle das
1:42 Modell ist nach heutigem Kenntnisstand auch richtig Rutherford stellte sich aber zudem auch vor dass die Elektronen den kernkreisen
1:50 würden wie Planeten um die Sonne die elektrische Anziehung zwischen den positiv geladenem Kern und den negativ geladenen Elektronen sorgt dabei für die
1:58 zugehörige Zentripetalkraft naja so reizvoll und plausibel diese Vorstellung ist richtig ist sie nicht in den Jahren 1911 bis 1914 führten
2:09 James Frank und Gustav Herz ihre ebenfalls berühmten versuche durch mit denen sie nachwiesen dass die Energien die Atome aufnehmen oder abgeben können
2:16 und damit auch besitzen nicht beliebig sind sondern gequantelt also in Stufe 1913 jetzt vor ein interessantes Atommodell entwickelt er hat die Radar
2:26 übernommen und dazu ein paar Postulate das heißt unbewesene Forderung besteht dass die Elektronen nur auf bestimmten Bahn um den kernkreisen dürfen dass sie
2:36 dort strahlungsfrei Kreisen würden dass sie nie zwischen den Bahn sein und dass der Bahn Impuls ein ganzzahliges Vielfaches einer bestimmten konstant ist
2:43 nämlich Haare geteilt durch Postulate sind eigentlich nie eine gute Idee und vor allem die Forderung dass die Elektronen nie zwischen den Bahn
2:52 sein können irritiert so müsste ein Elektron beim energieübergang auf einer Bahn verschwinden und auf eine anderen
2:59 erscheinen aber ohne dazwischen hinüber fliegen zu dürfen aber mit diesen Voraussetzungen gelang es Bohr mit den klassischen Formen für
3:08 Kreisbewegung und elektrischen Feldern die beim nach vorne zu bestätigen das heißt er hat eine atomvorstellung geschaffen die sowohl zu der Weimar
3:17 Formel als auch zu den Erkenntnissen von Frank und Herz und zu dem atomodell von fast spricht er hat alles in eine größere Theorie zusammenfassen können
3:26 toll begeistert von seinem Erfolg hat nichts Bruder dann versucht seine Überlegung auf größere Träume zu übertragen
3:33 zunächst auf das nächst größere das Helium Atom dann auf andere zu seiner Enttäuschung gelang ihm das aber nicht weder für Helium noch für andere Atome
3:43 ja und nun fallen auch die willkürlichen Postulate wieder mehr auf und die erkenntnisreift dass das Porsche Modell doch noch nicht so ganz richtig und ein
3:52 besseres Atommodell notwendig ist Zeit für den Auftritt der Quantenmechanik vorangetrieben durch Herren die Max Planck Albert Einstein
4:00 erwin Schrödinger Louis de bruy und vielen anderen ich gehe in folgenden davon aus dass sie wissen dass ein Elektronik Quantenobjekt
4:08 ist insbesondere dass es Welleneigenschaften zeigt und die Wellenlänge mit der Formel von de bruy bestimmt werden kann
4:15 was passiert also wenn wir ein solches Objekt auf ein bestimmten Raumbereich einsperren wie es bei Elektronen der Fall ist die anatoma gebunden sind die
4:24 Größe des Atoms bezeichnet nun mit L wir untersuchen in der Schule die Situation nur eindimensional das heißt statt der reellen Situation im Raum nur
4:33 entlang einer Raumachse einer Geraden dann können wir sagen für das Elektronen ist der Bereich innerhalb einer bestimmten Strecke auf der Geraden
4:41 erlaubt ansonsten verboten die Strecke habe dabei die Länge L wie können wir das formal festlegen Antwort über die notwendige potentielle
4:51 Energie die das Elektronen besitzen müsste um sich in den entsprechenden Bereichen aufzuhalten für den erlaubten Bereich ist einfacher Cyber gar keine
4:59 potentielle Energie notwendig für die Bereiche außerhalb hingegen unendlich viel was ein Elektronen offensichtlich nie hat das heißt wir legen entsprechend
5:08 den räumlichen Verlauf der potentiellen Energie fest bzw des Potenzials was ja Energie pro Ladung ist und damit für Elektronen eine zur potenzielle Energien
5:17 proportionale Größe man spricht hier von einem unendlich tiefen potenzialtopf oder anders ausgedrückt ein Potenzial Topf mit
5:25 unendlich hohen Wänden gleichzeitig legen ein Koordinatensystem fest mit der Hochachse auf der linken Seite des potentialtopfs welche Folgen
5:36 hat das für das Elektron das Elektronen das ein Quantenobjekt ist und zudem ist eine zustandsfunktion sie gibt die ein Zustand in Abhängigkeit von Ort und Zeit
5:45 beschreibt der Funktionswert sie selbst ist aussagelos aber es gibt Formen mit der man aus PI Quadrat die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des
5:53 Elektrons in einem bestimmten Raumbereich berechnen kann für den Fall der eindimensionalen Zeit unabhängigen Situation kann ich das
6:02 genauer beschreiben der blaue Graph sei der vom zieg Quadrat von X statt der Abhängigkeit von drei Raum Koordinaten XYZ und von der Zeit die habe ich nur
6:12 nur noch die Abhängigkeit von nix das ist eben genau das was mit eindimensional hat und Zeit unabhängig gemeint ist
6:19 das Integral über sie Quadrat beschreibt eben genau jene Aufenthaltswahrscheinlichkeit dass sich das Elektronen in dem Bereich der
6:26 Integralgrenzen auffällt sie Quadrat bezeichnet man daher auch gerne selbst als Wahrscheinlichkeitsdichte
6:35 Grund in der Physik ist die Gleichung von Erwin Schrödinger die im eindimensionalen Zeit unabhängigen Fall lautet zieht zwei Strich von X + 8P
6:45 Quadrat mal m geteilt durch h² * in Klammern wie gesamt - wie Pot von X gleich null das sieht kompliziert aus aber wir
6:56 werden uns die Untersuchung spürbar vereinfachen durch den potenzialverlauf ist die potentielle Energie wie Pott im gesamten relevanten Bereich 0 und der
7:05 Term wie Pott von X Feld weg und das ist toll denn wenn man nun unerschrocken genau auf den Vorfaktor schaut so erkennt man dass alle anderen Faktoren
7:14 Konstanten sind die Zahl 8 die Zahl Pi die Elektronenmasse m die Plank konstante Haar und die Energie wie gesamt also steht da im Prinzip sie zwei
7:24 Strich von X plus eine konstante mapsi von x = 0 oder noch einfacher Fall formuliert sie zwei Strich von nichts ist proportional
7:33 zu minuspie nichts das ist eine Differenzialgleichung Differentialgleichung sind im
7:41 Allgemeinen recht schwer zu lösen aber diese hier die ist so einfach dass man die Lösung erraten kann welche Funktion hat die Eigenschaft dass die zweite
7:49 Ableitung proportional zum Negativen ihre selbst ist Antwort die Sinusfunktion denn Sinus abgeleitet ist cosinus und noch mal
7:58 abgeleitet - Sinus das heißt aus der Schrödinger Gleichung ziehen wir hier nur den Fakt heraus dass wir diesen einfachen potenzialverlauf
8:07 die Zielfunktion eine simple Sinusfunktion ist als Gleichung sie vor nix gleich a mal Sinus von B mal X + C + D wobei A B C und die noch unbekannte
8:19 Parameter sind die wir nun bestimmen müssen damit sie sich nun vorstellen können was das bedeutet habe ich hier bei Dyna Geo 4 Schieberegler
8:28 eingerichtet die die Parameter ABCD repräsentieren und definiere nun entsprechend die Funktion a mal Sinus von B mal x Plus C plus D
8:40 und schaue mir den funktionskraft an nun kann ich erkennen wieder Einfluss der Parameter ist ich verändere zunächst den Parameter d
8:51 und man sieht was passiert der Graf schiebt sich nach oben beziehungsweise unten
8:58 nun verändere ich den Parameter C und man sieht welche Einfluss hier da ist der Graf verschiebt sich nach links bzw rechts
9:10 schauen wir uns den Einfluss des Parameter B an x-Richtung staucht bzw gestreckt
9:25 und schließlich noch der Parameter a der Grafe den y-Richtung gestreckt bzw gestaucht
9:41 am einfachsten ist das bestimmt des Parameters D dem muss nur sein sonst ist die zweite Ableitung nicht proportional zur Funktion selbst und die
9:49 Differenzialgleichung ist nicht erfüllt nun überlegen wir das Elektron darf nicht in der linken Wand sein denn es geht übrigens auch dass sie keine
9:58 sprunghaften Änderung haben können mit dem Koordinatensystem dass er so liegt dass der linke Rand auf der Hochachse ist folgt sie von Null gleich
10:07 null denn die Wahrscheinlichkeit und damit auch die Wahrscheinlichkeitsdichte zieht Quadrat muss ja dort Null sein das macht die Bestimmung von C einfach denn
10:17 nun steht ab sie von 0 durch a mal Sinus von 0 + C = 0 und das Sinus von Null gleich Null ist folgt sofort auch C ist Null so weit so leicht
10:28 das vereinfacht die Gleichung zu psiefer nichts gleich a mal Sinus von B mal x ja weil der Ansatz dass das elektronisch in der linken Wand sein darf so schön
10:37 geholfen hat schauen wir uns nun die rechte Wand an auch dort darf das elektronisch sein also ist sie von L = 0 das untersuchen ist etwas schwieriger
10:47 ich schaue mir dazu mal die Sinusfunktion noch etwas genauer an für welche Werte X ist Sinus von x = 0 hier man sieht schnell die erste Nullstelle
10:59 ist bei PI die zweite bei zwei PI die dritte bei 3 PI und so weiter allgemein gesagt für X = n * PI wobei n eine natürliche Zahl sein muss also positiv
11:11 und ohne Komma ist die Sinusfunktion null setz dich nun l im sie von x1,70 sie fahren gleich Sinus von B mal e = 0 und
11:22 da sehen es von in mal Pi gleich Null ist wie gerade überlegt folgt sofort wie Mall muss gleich n mal Pi sein und damit habe ich den Parameter
11:31 bestimmt B ist gleich n mal Pi geteilt durch l sprich ein ganzzahliges Vielfaches von PI geteilt durch die Topfgröße L
11:41 dann wird sie von X so von X gleich a mal Sinus von N mal P durch l mal x mit n aus dem Bereich der natürlichen Zahlen der Parameter a kann ebenfalls noch
11:54 bestimmt werden für unsere Betrachtung bezüglich der Energie spielt eigentlich keine Rolle weil könnten wir ihn auch allgemein lassen trotzdem sage ich jetzt
12:02 mal den Ansatz und das Ergebnis der Ansatz ist der dass das Integral von 0 bis L über PI Quadrat von xdx = 1 sein muss wenn die Wahrscheinlichkeit dass
12:12 das Elektron irgendwo in dem Topf ist liegt ja per Festlegung bei 100%. und daraus ergibt sich dann mit ein paar geschickten Umformung a = Wurzel aus 2
12:21 durch L und damit haben wir sie von xn gültig bestimmt sie von nix ist gleich Wurzel aus zwei durch l weiß
12:33 das wird jetzt wenig anschaulich da bin ich einfach mal hingegangen und habe eine willkürliche topfbreite gewählt E = 10 in welcher Länge hat auch immer wenn
12:43 wir von atomgrößen reden wäre vielleicht die eine 10 noch -10 Meter passend nun setze ich nacheinander für innen die ersten möglichen Zahlen eins zwei und
12:52 drei ein und schauen wir mal an wie die gehörigen zustandsfunktionen aussehen das kann übrigens jeder mit am einfachen grafikfähigen Taschenrechner
13:00 nachvollziehen einfach für L und N die oben genannten Zahlen einsetzen das Koordinatensystem geht auf der x-Achse natürlich passend zur gewählten
13:08 topfbreite von 0 bis 10 die Y-Achse kann man durch Ausprobieren finden oder sich überlegen dass der Sinus maximal 1 ist und damit der y-Wert insgesamt höchstens
13:18 Wurzel aus 2 durch l also hier Wurzel aus 2 durch 10 das ist ungefähr 0,45 für n = 1 ergibt sich folgender Graf
13:31 werden unsere Bedingungen eingehalten es ist eine Sinusfunktion klar also ist die Schrödinger Gleichung soweit berücksichtigt
13:38 es ist tiefer nur durch 0 um sie von LL ist ja hier zehn auch gleich null Gott okay na gut ist das Integral überhaupt von 0 bis 10 = 1 ist kann ich hier nicht
13:50 prüfen nehmen wir in gleich zwei
13:58 auch hier ist sie von 0 = 0 und sie von L ebenfalls neu Bremer und für endlich 3 was das Ganze ebenfalls und jetzt erkennen wir auch die Struktur
14:12 welche Sinusfunktionen möglich sind nämlich immer die bei den einen Nullstelle bei x = 10 liegt und das ist ganz prima denn damit erkennen wir auch
14:21 ein Zusammenhang den wir nutzen können die topfbreite L ist ein ganzzahliges Vielfaches der halben Wellenlänge für in gleich 1 ist L die halbe
14:31 Wellenlänge also l gleich Lambda halbe für e = für n = 2 ist gleich der Wellenlänge selbst also l = 2 mal Landal gleich Lambda für eng = 3 ist e gleich
14:45 der Anderthalbfache weniger also eh gleich dreimal an der halbe und dann passt das mit dem gleichen NN das ist schon vorher verwendet haben topfbreite
14:53 L ist gleich n mal Lambda durch eine kleine Umstellung kann ich damit die möglichen Wellenlänge der psyfunktion in Abhängigkeit der
15:03 willkürlich festgelegten topfbreite Elbe Stimmen Länder ist gleich zweimal el geteilt durch n das ist wichtig diese Gleichung merken
15:14 wir uns schauen wir uns aber zunächst noch mal die Wahrscheinlichkeitsdichten Funktion Quadrat von X an für n gleich 1 sieht das ganze so aus
15:25 die Wahrscheinlichkeit ist am größten dass sich das Elektron in der Mitte des Topfes aufhält aber endlich zwei hingegen wird es nicht
15:34 die Mitte sein sondern es wird zugleichen Wahrscheinlichkeiten links oder rechts davon sein um sie drei Quadrat von X sieht so aus
15:44 diese möglichen wahrscheinlichkeitsfunktionen sind in ihrer Bedeutung jedoch eher weniger anschaulich aber wir können damit ein
15:50 paar Folgen für die Energie des Elektrons im Topf machen und die sind wiederum auch makrophysisch messbar
15:57 beginnen wir mit der potentiellen Energie die ist im Topf inneren per Definition 0 außerhalb des Topfes ist das Elektronen nie das heißt das
16:05 Elektronen hat nie potentielle Energie und damit bleibt ihm nur noch Bewegungsenergie übrig die Formel dafür kennen wir wie ist
16:14 gleich einhalb mal mv² oben in der Formel können wir das noch nicht direkt einsetzen aber wenn wir den
16:40 Ausdruck einmal mit M erweitern das heißt an meinem Zähler oben und einmal Nenner unten ergänzen was ja nach der Bruchrechnung ohne Wertänderung möglich
16:47 ist dann steht oben im Quadrat mal V Quadrat und das ist dann eben genau P Quadrat nun passt die Formel so dass wir die
16:56 Gebräu Zusammenhang einsetzen können wenn wir das machen entsteht für die Energie W ist gleich P Quadrat geteilt durch 2 m und dann eingesetzt h Quadrat
17:07 durch 2 m * Quadrat das geht für alle Elektronen also auch für die freien bringen wir nun die
17:17 Wellenlängen die für eingesperrte Elektronen möglich sind ins Spiel wie vorhin festgestellt geht für diese Lam da gleich zweimal geteilt durch n auch
17:27 das setzen wir ein wobei wir noch das ganze quadrieren und in den Länder schreiben müssen dabei würde ein doppelbruch entstehen und bekanntlich
17:35 kann man alles was im Nenner vom Nenner steht wieder in den Zähler schreiben mache ich das alles so entsteht schließlich h Quadrat mal n Quadrat
17:43 geteilt durch 2 m * 2 ich schreibe das nur aus Gründen der besseren Interpretierbarkeit leicht um
17:52 und rechne dabei noch zwei mal zwei zum Quadrat rechts 2 mal 4 gleich 8 zusammen und es entsteht Gesamtenergie ist durch h² geteilt durch 8 mal im e² * n²
18:07 . jetzt habe ich eine gute Nachricht für alle die die Nase voll von den algebraischen Umformung haben wir sind damit fertig wir interpretieren nur noch
18:14 was wir gefunden haben das wichtigste die energiew ist proportional zu m² wobei n eine natürliche Zahl ist statt beliebige
18:24 Energie haben wir nur noch feste Energiestufen also eine energiequantelung das heißt das was boah noch postulieren musste entsteht bei der
18:32 quantenphysikalischen Betrachtung von alleine wie es eigentlich die Quantelung entstanden und folgender Stelle statt
18:40 beliebiger Wellenfunktion habe ich nur noch solche die an den Rändern des Topfes Nullstellen haben damit sind die Wellenfunktion gequandelt und so jeder
18:48 wehenfunktion gehört die gerade durch Umformung gesehen eine bestimmte Energiemenge und damit sind dann auch die Energie gequantelt
18:56 auch es interessant wie ist proportional zu 1 durch e². die topfbreite gebe ich hervor das heißt sperr richtig konnten Objekt hinein kleineren Topf so steigt
19:07 automatisch deren Energie oder anders ausgedrückt ich brauche mehr Energie um sie in ein kleineren damit ist ein Quantenteilchen auch nicht
19:16 an einem festen Ort lokalisierbar wenn ich es an einen festen Ort packen möchte müsste ich es in ein Potenzial Topf mit der Breite l gleich neu packen die
19:24 zugehörige Energie wäre unendlich groß das geht also nicht das ist übrigens ein Aspekt der zu heißen werkschen und schäferrelation gehört
19:32 auch ist übrigens klar die Energie ist nie Null die ist immer größer als nein das heißt das Elektron Routen in dem Topf es hat immer Bewegungsenergie
19:42 eine Sache stört allerdings auch wie ist nach dieser Formel proportional zu n². aber die weimar-formel zeigt ja das wie in Wirklichkeit Proportion 1 durch ein
19:52 Quadrat sein müsste das heißt hier entsteht ein Widerspruch zu den realen Messwerten ist also alles umsonst gewesen nein es war nur so einfach wir
20:03 haben nur ein eindimensionale Zeit unabhängigen Fall mit einem erheblich vereinfachten Potential betrachtet sieht man die echten atompotenziale an
20:10 und betrachtet die Situation räumlich so entstehen auch die richtigen Energiestufen dann können wir das in der Schule nicht mehr leisten das machen wir
20:17 dann in den Universitäten aber eine Sache können wir doch noch machen wir können unsere Resultat so unvollkommen ist auch sein mag einfach
20:25 von einer auf dreidimensionen erweitern statt nur eines erlaubten Bereiches sind x-Richtung haben wir nun auch einen y und ein Insekt Richtung das heißt wir
20:35 bauen einen Quader ein Kasten in denen wir das Elektronen einsperren dann entsteht im einfachsten Fall in x-Richtung gibt sie 1 Funktion mit der
20:44 hier eingezeichneten C1 zum Quadrat Wahrscheinlichkeitsdichte gleiche sind y und inc- dann haben wir jetzt eine
20:53 Wahrscheinlichkeitsdichte Funktion in Abhängigkeit der dreiraumkoordinaten das ist jetzt nur blöd darzustellen denn schon die input-werte nehmen ja alle
21:02 Raum Koordinaten ein ich habe jetzt hier mal versucht sie Quadrat durch eine entsprechend intensive Weißfärbung darzustellen
21:12 eine etwas kompliziertere Möglichkeit wäre das in x-Richtung liebt sie zwei Funktionen entsteht den Kasten und nun gibt sie zwei zum Quadrat
21:21 Wahrscheinlichkeit x-Richtung lassen wir die Funktionen y und den Z-Richtung so wie vorher dann entsteht diese wahrscheinlichkeitswolke
21:32 das heißt die quadratfunktion in Abhängigkeit von xyz bildet eine Wolke aus Wahrscheinlichkeitsdichten
21:42 diese Wolken bezeichnen wir als Orbitale zu den orbitalen lassen sich dann wiederum bestimmte Energiestufen zuordnen
21:51 und damit sind wir auch zum Schluss des Potenzial von der ist auf Schulniveau gelangt lesen Sie dazu auch ihre Physikbücher ins manchen finden Sie auch
21:59 ein paar Lösungen zu den echten atompotentialen von mir aus aber heißt es jetzt wenn ich Fehler gemacht habe bitte ich um Rückmeldung und um
22:07 Verzeihung ansonsten bye bye