ABLEITUNG mit h-METHODE berechnen – Differenzenquotient, Differentialquotient, Beispiel x^3
MathemaTrick
https://www.youtube.com/watch?v=FO3MZrCR97g

Transkript (automatisch erstellt)

0:00 hallo ihr lieben in dem heutigen video möchte ich zusammen mit euch die ableitung der funktion iks hoch drei an einer beliebigen stelle x0 berechnen und
0:10 zwar das ganze mit hilfe des differenzials patienten bzw differenzen quotienten die wörter haben sich unglaublich ähnlich an sind aber
0:18 unterschiedliche sachen der differenzen quotient das ist wirklich nur dieser bruch hier diese differenz sozusagen und der
0:27 differential kurzerhand ist das ganze mit diesem limes noch vorne dran das ist die formel mit der haar methode und wenn wir die formel anwenden sagt die formel
0:41 zumindest finden wir dann die ableitung an der stelle x0 und das ganze testen wir jetzt einfach an dem beispiel dass ich eben schon gezeigt habe wenn ihr für
0:51 x0 jetzt eine spezielle zahl bekommen habt zum beispiel die zahl zwei dann könnt ihr genauso vorgehen wie ich euch das jetzt zeige also das sind keine
1:00 unterschiedlichen sachen nur der fall mit der zwei ist an einen ticken leichter aber wir machen das ganze jetzt an einer beliebigen stelle die wir nicht
1:08 gegeben bekommen sondern bis 60 bleibt da einfach immer mit in der formel 3 ok dann lasst uns starten ich schreibe die formel mal hin also diese differenzial
1:20 quotienten mit dem limes das war es von x0 + h - f von x0 durch h das ist die formel die muss man einfach auswendig lernen
1:35 was haben wir jetzt hier zu tun dieses limes h gegen null das ziehen wir bis zum schluss durch also das müsst ihr einfach immer nur vorne dran schreiben
1:44 und auch das haar da unten da passiert normalerweise nicht so viel mit ist im gehalt wurzeln drin oder so dann macht man auch mal was an nenner
1:52 aber ansonsten bleibt das haar normaler ist einfach da unten zu stehen jetzt würden wir immer ein zähler die sachen einsetzen denn wir haben ja eine
2:01 funktion f die heißt bei uns hoch drei und gut wir haben jetzt keine zahl für das x0 bekommen aber falls sie eine zahl habt dann würdet ihr für das 60
2:10 diese zahl einsetzen aber wir machen das jetzt ganz allgemein und zwar machen wir jetzt f von x0 + h also das ding was hier in der klammer steht das setzen wir
2:24 für das ixs in unserer gleichung 1 das kennt ihr ja wenn er es von zwei jetzt berechnen würde dann würdet ihr für das ixs in eurer funktion einfach
2:34 die zwei einsätzen und dann wäre es zwei hoch drei das kann natürlich beliebig kompliziert aussehen so wie hier jetzt das ist erstmal ein bisschen eigenartig
2:43 aber wir machen genau das was er sonst auch so tut das was hier in klammern steht wird für das ixs eingesetzt was steht dann da 60 plus haar setzen wir
2:55 also für das x1 das schreiben wir da hin und macht schön eine klammer drumrum denn das ganze soll er jetzt hoch drei genommen werden
3:05 falls dann noch andere sachen sind so ein - oder so lasst es einfach genauso dastehen nur für das ixs setzt ihr die sachen ein die hier in der klammer
3:13 stehen und dann haben wir ein minus von x0 auch hier das was hier in klammern steht setzen wir für die six in unserer funktion ein
3:23 da ändert sich jetzt nicht viel aber es ist ein unterschied und zwar setzen wir das 60 für das 6 1 dann steht er also x0 hoch
3:31 drei und wie gesagt falls ihr für das 6 0 eine zahl bekommen habt dann setzt in die 2 da halt eben ein also 2 plus haar sitzt er dann in die funktion 1 und f
3:43 von zwei hier an der stelle so wir würden gerne diesen grenze berechnen das ist das ziel können wir aber noch nicht deswegen vereinfachen
3:54 wir jetzt erstmal diese sachen die wir hier bekommen haben hoffen dass ich da was weg kürzt oder weg hebt wie auch immer 60 + h hoch drei das rechnen wir
4:04 jetzt aus und zwar erstmal auf der anderen seite damit wir nicht so viel chaos jetzt in unserem bruch haben das ist schon schlimm genug
4:11 wie können wir das ausrechnen es ist nicht so einfach denn das ist ja ein hoch drei das ist im grunde drei mal diese klammer mit sich selbst
4:20 multipliziert also x0 plus x iks 0 x iks 0 + h das können wir aber wir können jetzt zwei klammern zusammenfassen zu einem x0 + h zum quadrat und danach das
4:36 ganze dann noch mal mit 60 plus haar multiplizieren wir können wir die genomische formel anwenden wie war die noch das erste zum quadrat also x0 zum
4:47 quadrat plus zweimal das erste mal das zweite also zweimal x0 x h + das zweite zum quadrat das sind h quadrat schön eine klammer drum herum denn das
5:03 ergebnis soll jetzt komplett mit x0 + h nochmal multipliziert werden ist nicht so schön aber das trifft sehr häufig vor dass das so passiert deswegen könnt ihr
5:14 euch das ok dann x0 zum quadrat mal x0 also wir müssen jetzt jedes mit jedem multiplizieren x0 quadrat 1060 hoch 360 quadratmeter sind h x iks 0 quadrat also
5:31 wir um ihr das schreibt ist natürlich egal ich schreibe die hase zuerst und dann die xe dann 2x 0 h x iks 0 das wären also zwei hx 0 quadrat wie gesagt
5:48 lasst euch da nicht verwirren schreibt das in der reihenfolge die ihr vorzug dann dass da mal das haar also 2x 0 x h quadrat und dann noch das letzte haar
6:03 quadrat mal dass da ein quadrat x iks 0 h quadrat x h sind hoch drei ok dann fassen wir jetzt noch das zusammen was geht
6:14 10 hoch 3 kommt sonst nirgends mehr vor das muss alleine stehen bleiben aber hier haben wir hart quadrat +2 hx 0 quadrates sind also 360 quadrat und auch
6:29 hier die heißen gleich und da habe ich es natürlich wiederum gedreht also gut weiß nicht ganz konsequent 60 ha quadrat ist ja dasselbe wie h quadrat x0 also
6:38 haben wir hier auch drei von diesen teilen der dresdner wiederum und hinten noch das haar hoch drei okay das ist jetzt also unser ergebnis ihr seht es
6:50 war gut dass wir das in einer neben rechnung gemacht haben das ganze auf den brüchen mitzuziehen macht keinen spaß aber das tragen wir jetzt statt diese
6:59 mix 03 hier in unsere formel 1 wir haben das ja berechnet dass man das anders schreiben kann und das tragen wir jetzt hier ein
7:09 das habe ich mir notiert was da rauskamen als ergebnis nicht dass sie denken ich könnte das jetzt auswendig hierhin schreiben was wir gerade
7:16 berechnet so sah das aus und dann darf man nicht vergessen dass das er nur das ergebnis von dem da war dieses minus 10 hoch 3 muss natürlich nach hinten tragen
7:31 und unten das haar jetzt hofft man dass ich dinge weg heben und das tun sie auch wenn wir hier nämlich mal schauen haben wir von 10
7:40 hoch 3 und hier hinten - x3 und die hauen einfach ab was hat das jetzt gebracht na ja schon sehr viel denn oben bleiben nur sachen übrig also wenn ich
7:53 dir jetzt mal dahin schreibe die alle ein haar in sich tragen also 360 quadrat +3 quadrat x0 + h hoch drei und es ist
8:10 super gut denn wir wollen möglichst kürzen damit dieser bruch da wegfliegt damit wir den grenzwert ordentlich anwenden können und das können wir auch
8:18 machen aber noch nicht so direkt also aus einer summe darf man ja nicht einfach was raus kürzen aber da in jedem teil hier ein h drin
8:26 steckt können wir ein haar einfach oben ausklammern was bleibt dann übrig hier vorne bei dem teil nur das 3x 0 quadrat hier bei dem
8:37 teil 3 hx 0 und in dem dritten bleibt h quadrat also überall sehen wir ein haare aus und jetzt sind die mit einem mal verbunden
8:49 und jetzt dürfen wir oben und unten kürzen und das ganze ding sieht schon viel leichter aus da steht nämlich jetzt keinen bruch mehr sondern nur noch das
8:59 was da oben übrig geblieben ist 3x 0 quadrat +3 hx 0 + h quadrat und jetzt können wir den grenzwert anwenden da läuft gegen null also jedes teil das
9:13 ein haar in sich trägt wird zu null das heißt dass wir zu null das wird zu null nur dieses dreiecks 0 quadrat hier vorne das hat kein haar
9:24 dabei und deswegen wird es auch vom grenzwert nicht beeinflusst und deswegen ist das hier unser ergebnis das ist jetzt die ableitung von unserer funktion
9:35 an irgend einer beliebigen stelle x0 wenn ihr jetzt also für x0 gleich zwei die ableitung brechen sollte dann müsst ihr nur noch hier am schluss jetzt
9:47 führte 60 eben die zwei einsätzen wenn ihr das macht 2 zum quadrat und 4 x 3 während 12 kommt es hin ja das kommt genauso kann man da
9:59 vorgehen ich hoffe ihr wisst jetzt wie man mit der methode arbeitet es kann immer mal wieder knifflig sein hier zwischendrin
10:07 irgendwelche umformen zu machen vor allem wenn es um wurzeln geht aber das ist mal so der einstieg in die haare oder