Grenzwerte (Verhalten im Unendlichen)
Mathe - simpleclub
https://www.youtube.com/watch?v=FF16tWKWltE

Transkript (automatisch erstellt)

0:00 Wie wäre es mal mit Grenzwertbestimmung? Fande ich echt interessant. Ja, Jan bestimmt auch.
0:08 Weiter geht es mit unserem Video zur Kurvendiskussion. Diesmal betrachten wir das Verhalten im Unendlichen. Es geht diesmal um Grenzwerte. Zuerst einmal,
0:17 was sind Grenzwerte? In der Mathematik bezeichnet der Limes oder Grenzwert einer Funktion an einer bestimmten Stelle denigen Wert, dem sich die
0:24 Funktion in der Umgebung der betrachteten Stelle annährt. Ein solcher Grenzwert existiert jedoch nicht in allen Fällen. Existiert der Grenzwert so
0:30 konvergiert die Funktion andersfalls divergiert sie. What the [ __ ] Dachte wären hier bei simple math. Okay, dann noch mal anders. Wir haben hier eine
0:40 Funktion f von x. Wenn wir jetzt das Verhalten im Unendlichen betrachten, ja, es ist so einfach, betrachten wir das Verhalten im Unendlichen. Wir gehen also
0:48 immer weiter nach rechts bisschen die Unendlichkeit und noch viel weiter und schauen uns dort den Wert der Funktion an. Und dann ist es immer so,
0:56 dass die Funktion versucht, einen bestimmten Wert im Unendlichen zu erreichen. Und genau diesen Wert nennt man dann Grenzwert bzw. Limess. Da hier
1:05 die Funktion immer weiter ansteigt, je weiter wir nach rechts gehen, ist es sehr wahrscheinlich, dass hier der Limes unendlich ist.
1:11 Man sagt dann der Limis von x ging unendlich, von fon x ist unendlich. Der Limis wird durch das Lim gekennzeichnet und das X Pfeil unendlich
1:21 sagt aus, dass wir eben den Grenzwert im Unendlichen betrachten. Ihr werdet später noch sehen, es kann auch sein, dass sich eine Funktion einem bestimmten
1:28 Werts, z.B. 5 an. Also hauen wir gleich mal rein und machen eine erste Aufgabe. Ganz typisch für eine Kurvendiskussion sollen wir jetzt betrachten, wie sich
1:36 die Funktion im Unendlichen verhält. Dann muss man einfach nur den Grenzwert im Unendlichen, aber auch im minusunendlichen betrachten. Wir
1:43 schreiben also Leben von x gegen unendlich von fon x. Das fon x ersetzen wir dann noch durch die wirkliche Funktion. So und jetzt müssen wir den
1:52 Grenzwert bestimmen. Jan hat natürlich überhaupt keinen Dunst. Und jetzt kommt der Trick. Hier müssen wir nur das x mit dem größten Hochzahl betrachten, also
2:01 den Teil x hoch 3. Und jetzt erklären wir auch, warum. Nehmen wir an, wir haben diese Funktion x hoch 3 + x hoch 2. Da um das Verhalten im Unendlichen
2:11 geht, setzen wir einfach mal hohe Zahlen ein und schauen uns den Wert an. Z.B. 10. Ja, okay, ist nicht so eine hohe Zahl, aber es geht ja ums Prinzip.
2:21 Wenn wir 10 einsetzen, erhalten wir das Ergebnis 1100, weil 10 hoch 3000 und 10 hoch 2= 100. Setzen wir jedoch 1000 ein, erhalten wir
2:31 1 Milliarde + 1 Million, was 1 Milliarde 1 Million ist. Gerade eben haben wir gesagt, wenn wir das Verhalt im unendlichen betrachten,
2:40 reicht es, wenn wir dafür die höchste Potenz in diesem Fall also x hoch 3 betrachten. Die anderen Xen mit ihren Hochzahlen haben im Unendlichen nämlich
2:47 kaum einen Einfluss. Schon bei x = 1000 hat der Teil x² nicht mal 1% vom Ergebnis ausgemacht. Also könnt ihr euch schon denken, dass bei eine Milliarde
2:56 oder eine Billion des x² im Gegensatz zum XO3 kaum was ausmacht und schon gar nicht eine + 5 am Ende. Es reicht also, wenn wir nur den Teil mit der größten
3:06 Hochzahl betrachten. Wir können also schreiben, dass es ungefähr dem Limis von -2x hoch 3. Also ist es wichtig, dass wir die -2 von dem x hooch 3 auch
3:17 noch mitnehmen. Und um jetzt zu überlegen, was der Grenzwert ist, könnt ihr gedanklich einfach wieder riesige Werte für x einsetzen und dann solltet
3:24 ihr noch schnell merken, dass der Grenzwert minus unendlich ist. Ja, minus, denn vor der zwei steht ja noch das Minus, welches hier sehr wohl einen
3:32 fetten Einfluss auf das Ergebnis hat. Grob gilt also nur die höchste Potenz einer Auswirkung. Leider ist es nicht immer ganz so einfach, aber gleich mehr
3:40 dazu. Zuerst berechnen wir noch schnell das Verhalten im minusunendlichen. Das ist wichtig, Leute. Wenn ihr so eine Aufgabe bekommt, müsst ihr den Limis von
3:48 x gegen unendlich, aber auch den Limis von x gegen minus unendlich betrachten. Auf jeden Fall hier wieder dasselbe Spiel reicht, wenn wir den Teil mit x
3:56 hoch 3 betrachten. Jetzt müssen wir halt überlegen, was wäre, wenn jetzt minus unendlich da einsetzen würden? unendlich hoch 3 wäre ja immer noch
4:04 minus unendlich, aber es steht ja noch ein Minus vor der 2. mal minus gibt plus, deswegen ist der Limis hier plus unendlich. So, das war's auch schon. Na
4:15 ja, fast. Also jetzt betrachten wir die Funktion 3x + 2 dur x. Wir haben die hier schon mal grob skizziert. Eigentlich kann man schon fast erkennen,
4:25 wie sich die Funktion im Unendlichen verhält. Es sieht ganz so aus, als würde sie sich diesem roten Wert ernähren. Und das prüfen wir jetzt auch. Zuerst formen
4:33 die Funktion ein bisschen um. Wir ziehen den Bruch nämlich auseinander zu 3x dur x + 2 dur x. Und sofort sehen wir hier vorne kürzt sich das x raus. Wir
4:43 betrachten also den Grenzwert von x gegen unendlich von 3 + 2 dur x. Das X mit der größten Hochzahl haben wir direkt wieder rot markiert. So und hier
4:54 kann man jetzt leicht reinfallen. Es reicht nämlich jetzt nicht, wenn wir nur diesen Teil betrachten. Ihr seht jetzt auch warum. Nehmen wir als Beispiel die
5:01 Funktion 1 dur x. Wieder setzen wir immer größer werdende Werte ein und schauen, wie sich diese Teil im unendlichen verhalten würde. 1/ 0,1
5:12 dur 1000,1 und 1 durch 1 Milliarde ist schon 0,001 oder so. Als wenn wir unendlich einsetzen würden,
5:20 würde der Wert offensichtlich gegen null gehen. Sprich, dieser umrandet Teil geht gegen null. Aber die drei vorne steht ja immer noch und die hat, wenn der Rest
5:29 null ist, ja, einen ziemlich großen Einfluss. Deswegen müssen wir die auf jeden Fall weiter betrachten. Der Grenzwert ist also 3 und damit hat sich
5:38 unsere Vermutung bestätigt. Jetzt müsste man nur noch den Grenzwert für minus unendlich betrachten, aber da wäre es genau dasselbe, weil der Bruch wieder
5:45 gegen null gehen würde und dann die drei übrig bleibt. So, ey Leute, das wollte ich schon immer mal sagen. Hier gibt's noch eine kleine Hausaufgabe für euch.
5:53 Bestimmtes Verhalten im Unendlichen beiden Funktionen. Die Lösung der Aufgaben gibt's auf unserer Website zum Download. Und als Tipp: Betrachtet die
6:01 höchste Potenz zuerst und wenn diese nicht im Ner steht, ist es ja leicht. Zum noch ein letzter Tipp für Grenzwertaufgaben. Im Notfall setzt du
6:10 einfach hohe Zahlen ein und dann bekommst du schon ein Gefühl, wie sich das Ganze im Unendlichen Verhalten würde. In dem Sinne, zeigt uns, wenn
6:16 euch das Video gefallen hat und da ich schon viel zu lange laber, macht's gut, bis zum nächsten Mal und viel Spaß. [Musik]
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