Grundlagen Informatik - 09: Gleitkomma-Darstellung Beispiel (mit Hidden Bit)
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https://www.youtube.com/watch?v=F8NgkA28ZJE

Transkript (automatisch erstellt)

0:00 diese Beispielaufgabe zeigt eine gleitkommerzahlendarstellung mit insgesamt 24 Bit dabei zeigt das erste
0:09 Bit bildet unser Vorzeichen ab die nächsten a bit stehen für den Exponenten bereit und die restlichen Bits sind dann die
0:21 Mantisse der Exponent 11 ist für die Darstellung der Null und weitere Sonderfälle reserviert was hier gemeint ist darauf werden wir gleich eingehen
0:32 jede Zahl wird normalisiert so dass sie kleiner als ein und größer gleich ein/b ist das heißt wenn wir sie binär betrachten schieben wir das Komma so
0:41 dass wir links eine Null haben und keine 1 und rechts vom Komma direkt die nächste Stelle da muss eine ein stehen und diese Darstellung verwendet ein
0:52 hiitden Bit und wird wie folgt interpretiert diese Formel hier da kann man hier das Vorzeichen 0 oder 1 einsetzen dann hat man das entsprechend
1:02 richtige Vorzeichen die Mantisse hier der grüne Bereich sind die Bits die wir hier abbilden und davor ist noch eine Eins das ist dieses hidden Bit und ganz
1:14 hinten multiplizieren wir das dann mit unserer exponentenbasis 2 hoch dem Exponenten dieses hidden bit entsteht dadurch dass ja jedes Mal
1:25 wenn wir normalisieren normalisieren wir in diesem Fall die Zahl so dass das Komma links der ein steht und rechts davon wird immer immer immer eine ein
1:36 stehen außer wir bilden die Null ab und dann können wir diese 1 auch wegfallen lassen blo dann haben wir eben das Problem dass wenn wir die ull das also
1:46 wir lassen diese ein Weg und wenn wir die Zahl wieder zusammensetzen und interpretieren möchten denken wir uns diese ein wieder
1:53 hin da haben wir nur das Problem dann wenn wir die Null darstellen wollen wir denken uns jedes Mal wenn die Zahl zusammengesetzt wird na ein sind dann
2:02 können wir die Null nicht darstellen und dafür reservieren wir dann einen Exponenten den Exponenten 1 1 111 für sondereigenschaften und mit der
2:11 jeweiligen Mantisse haben wir dann einen Code also ein binäre codeangabe mit der wir eine Eigenschaft auswählen können oder bestimmen können dann können wir
2:20 z.B sagen wenn der Exponent aus 1 1 1 besteht und die Mantis aus 00 dann bildet das die Null ab und weitere Sonderfälle
2:30 in der Praxis sind dann die Zahl ist nicht darstellbar oder diese Zahl ist nicht normalisiert oder es handelt sich um eine unendliche
2:40 Zahl aber das kann man notfalls immer in Tabellen dann noch mal nachlesen gerade im iple i754 Format sind eben diese Sonderfälle schon vorgegeben und jetzt
2:53 haben wir geklärt was das Hidden Bit ist und welche Eigenschaften hier dieser sonderexponent bedeutet in unserem Fall spielt das jetzt keine weitere Rolle
3:03 mehr wenn der Exponent jedoch in excess Darstellung abgebildet wä bei uns ist der ein b-kplement Darstellung wä den excess Darstellung wäre durch diesen
3:13 Exponenten 1 1 1 die größte mögliche Zahl im Exponenten nicht verfügbar da müssten wir schon beachten dass der Exponent der größtmögliche den wir
3:23 darstellen können ein bisschen kleiner ist also da genau aufpassen und jetzt sollen wir den Wert der größten und
3:33 kleinsten positiven darstellbaren Zahl bestimmen in der gleitkommazahlendarstellung ist das meistens kein großer Unterschied ob wir
3:45 eine den größten und kleinsten positiven oder negativen Wert bestimmen wollen wie man hier in der Tabelle sieht denn für den größten positiven und größten
3:54 negativen Wert würden wir jeweils die maximale Mantisse hier wir würden nicht probieren das hier der größtmögliche Wert steht wir würden dafür sorgen dass
4:04 im Exponenten auch der größtmögliche Wert steht den wir da angeben können und das Vorzeichen ist dann nur ull oder 1 je nachdem ob es sich eben um die größte
4:13 oder klein größte positive oder größte negative Zahl handelt und auf der anderen Seite die genauste oder kleinste Zahl genau dasselbe wir probieren zu
4:24 ermitteln was ist denn die kleinste Mantisse ungleich n0 die wir hier verwenden können und was ist der kleinste Exponent den wir verwenden
4:32 können und damit ermitteln wir dann die kleinste positive oder negative Zahl je nachdem welches Vorzeichen wir verwenden gut das Vorzeichen das können wir uns
4:44 dann auch gleich notieren das Vorzeichen wäre positiv also 0 die Mantisse haben wir gesagt soll so groß wie möglich sein das heißt wir füllen
4:58 die mit einzen auf und unser Exponent den wollen wir auch so groß wie möglich und das ist jetzt halt B Komplement Darstellung negativer
5:08 Zahlen paar Videos zuvor das ist dann einfach B hoch n ge 2 - 1 ist= + 127 jetzt müssen wir nur das ganze auch noch zusammensetzen bzw in unsere Formel
5:23 einsetzen also unsere größt größte positive Zahl Z wäre in dem Fall -1 hoch 0 mal unserer Mantisse jetzt kommt eben
5:35 dieses hden Bit dazu also 0.1 111 im Binärsystem mal
5:48 2 hoch unserem Exponenten 127 das ist jetzt noch nicht ganz so gut zu interpretieren dasw können wir das
6:00 noch ein bisschen zusammenfassen indem wir halt davon das einfach wegfallen lassen das wird jetzt zu eins diese Mantisse hier wir haben ja
6:08 hier Punkt unser hitten bit das ist die Stelle -1 dann kommt unsere Mantisse mit minus mit 15 Bits das heißt -2-3-4 Punkt Punkt Punkt bis -1 geht das
6:21 Ganze und diese Zahl können wir auch anders schreiben wir können dann auch schreiben das ist gleich - 2 hoch
6:37 -1 jetzt im Dezimalsystem mal 2 hoch 127 das hier ist ja sozusagen
6:51 0.111 das Gegenstück im Dezimalsystem wäre dazu 00.99 also würden das fast auf eins aufrunden damit könnten wir auch sagen
7:04 das entspricht ungefähr 2 hoch 127 und damit wärden wir an der Stelle schon fertig das hier ist jetzt aber nur
7:15 ein Zufall dass hier der Exponent so stehen bleibt oft wird die Normalisierung eben nicht rechts nicht links sondern rechts gemacht also so
7:24 dass wir eine Stelle weiter nach rechts wandern und dann ist der Wert hier nicht immer identisch unserem Exponenten und dezimal würde das ganze
7:35 ungefähr 10 hoch 38 entsprechend dann gut jetzt zu unserer Kleinsten darstellbaren
7:46 Zahl die kleinste darstellbare Zahl bestimmen wir ähnlich wir können wieder sagen unser Vorzeichen ist GLE 0 unsere Mantisse würden wir dem Fall auch
7:59 so klein wie möglich wählen und wir wollen ja nicht zwar nicht dass da Null steht aber durch unser hdden bit steht da dann auch letztendlich nicht null
8:07 deswegen können wir unsere Mantisse mit Nullen auffüllen und unser Exponent würde auch so klein wie möglich gewählt werden daher ist das im B Komplement
8:18 Darstellung dann die B hoch n geil 2
8:27 = -128 und dann können wir das wieder einsetzen in unsere Formel wir haben eine negative
8:36 Zahl unsere Mantisse besteht in dem Fall aus 0.1 00 im Binärsystem und das ist dann nichts anderes als 2 hoch
8:47 -1 mal 2 unsere exponentenbasis hoch unserem Exponenten -128 und das entspricht natürlich dann
9:00 -2 hoch-129 entschuldigung aber wir wollten die kleinste positive Zahl bestimmen und
9:12 unser Vorzeichen ist hier nicht minus sondern plus fällt einfach weg richtig eingetragen falsch interpretiert gut dann zur nächsten
9:23 Aufgabe zur Darstellung der 85 734375 dabei gehen wir wieder in mehreren Schritten vor als erstes werden wir den
9:34 die vorkommer und die nachkommerzahl darstellen das können wir mit dem Taschenrechner teilweise erledigen oder mit dem
9:41 Hornerschema dabei wird die 85 durch die 1010101 dargestellt und die pun 734375 multiplizieren wir jedes Mal mit Z notieren uns was rauskommt allerdings
9:56 abzüglich ein falls das Ergebnis größer als als eins ist und das machen wir so lange bis wir bei der Null ankommen und anschließend notieren wir uns die Zahlen
10:04 von oben nach unten weil wir jetzt multipliziert haben das ist dann also die 10 Punkt
10:13 10 1 1001 und damit können wir jetzt unseren Exponenten bestimmen das heißt wir setzen die vor und die Nachkommastelle
10:25 zusammen wir schauen das Komma müsste jetzt um 1 2 3 4 5 6 7 Stellen nach links wandern das heißt wir multiplizieren das mit der Basis 2 hoch
10:39 7 anschließend können wir diese 7 dann als Exponent darstellen das ist recht fix passiert in B Komplement Darstellung dann bestimmen wir noch unser Vorzeichen
10:49 das ist recht trivial aber kann einem falls man irgendwo doch einen Folgefehler oder irgendwas hat vielleicht mal ein Punkt retten und
10:58 anschließend kommt dann der beste Teil wir fassen das Ganze zusammen und dies ist nun die binäre Darstellung in der
11:06 gleitkomzahlendarstellung fast denn hier ist ein Fehler und drückt kurz auf Pause und schaut ob wir den Fehler findet der ist nämlich sage ich mal jetzt schon ein
11:18 bisschen versteckt wenn ihr ihn gefunden habt gratuliere ich euch ansonsten auch nicht so tragisch denn die Aufgabenstellung ist hier nicht mehr zu
11:24 sehen was haben wir denn in der Aufgabenstellung womit wir auch schon gerade herumgekämpft haben unser hidden Bit und dieses hidden Bit ist hier nicht
11:35 rausgewandert das heißt in dem Fall beim Zusammenfassen es ist zwar genau bis dahin unterstrichen aber sage ich mal ein roterunterstrich hier
11:57 hilft und nachdem wir jetzt unsere richtige Mantisse eingetragen haben die
12:07 restlichen Bits füllen wir dann wieder mit null auf und jetzt haben wir die 85.734375 als 24 Bit gleitkommerazahl
12:27 dargestellt