Abstand Punkt - Ebene mit Lotfußpunktverfahren, Lotfußpunkt
Kochrezepte für Mathematik
https://www.youtube.com/watch?v=Erf4DrbjGhU

Transkript (automatisch erstellt)

0:00 in diesem tutorial werden wir uns anschauen wie man den abstand eines punktes von einer ebene mit hilfe des so genannten lotus punkt verfahrens
0:08 bestimmen kann bevor wir gleich eine beispiel aufgabe lösen möchte ich zuerst kurz anhand einer planskizze unser lösungsweg
0:17 andeuten wir haben also ein punkt und eine ebene die gegeben sind und unser ziel ist der abstand diesen punkt zu dieser ebene zu
0:26 bestimmen wenn man diesen zusammenhang von abstand redet dann hätte man natürlich von den geringsten abstand und dieser geringste
0:33 abstand trifft immer orthogonal auf die ebene dieser punkt wurde abstand auf die ebene landet heißt lotus punkt hier
0:42 gekennzeichnet mit l damit man den abstand bestimmen kann braucht man diesen lotus punkt ich hoffe dass ja klar p ist ja gegeben wenn wir
0:52 hätten dann können wir einfach die länge dieses sektors pl bestimmen um das ziel stellen wir eine so genannte lord oder hilfs gerade auf und anhand der
1:03 planskizze kann man ganz gut erkennen der lotus punkt ist nichts anderes als der schnittpunkt zwischen dieser gerade und der ebene damit kriegen wir heraus
1:13 und damit können wir den abstand bestimmen für den fall dass die lösungs beschreibung vor er ist so schnell ging werden wir jetzt das ganze schritt für
1:20 schritt anhand eines beispiels anschauen rechts habe ich die ganze situation noch mal abgebildet damit wir die schritte die wir jetzt machen werden besser
1:31 nachvollziehen können als erstes haben wir gesagt wir stellen die gleichung einer geraden auf die zur tonal steht eine sogenannte lot oder
1:43 hilfs gerade wir erinnern uns für eine gerade in gleichung benötigt man eigentlich immer ein stütz und eine lichtung sektor also die kürzlich mit
1:52 kinect ausgleich astiz vector können wir natürlich diesen punkt pm der auf dieser geraden weg tun wir auch gut kennen 2 0 2 und dann brauchen wir noch ein
2:06 richtungswechsel für unser geraten und das sagen sie was wir wissen ist dass diese gerade orthogonal zu die ebene steht das ist eine not gerade aus
2:15 diesem grund können wir von unserer ebenen den sogenannten normalen weg doch klar das sind genau die koeffizienten hier volks 16 13 weil wir in uns den
2:25 normalweg tor steht immer orthogonal zu geben und damit haben wir auch einen richtungswechsel und das könnt ihr natürlich immer so machen also kurz
2:35 gesagt oder hier angedeutet dass stütz weg durchs all sorts vector dargestellt und der richtung spector ist immer mal vector dieser ebene
2:46 als nächstes wollen wir diesen lotus punkt als schnittpunkt zwischen der geraten gegen die ebene ebe rechnen dafür zu legen wir jetzt hier an dieser
2:59 stelle die gerade in einzelnen koordinaten also zeilenweise kann man sie zerlegen und schreiben x1 ist entsprechend 2+2 tx2 werde dann 01 also
3:13 - tee und x3 sind dann zwei plus zwei dieser werte für x1 x5 x3 setzen wir natürlich hier in unserer ebenen gleichung 1
3:25 also wir haben dann zwei mal zwei plus zwei de und plus 2 mal 2 plus 2 t und das ganze ergibt - 1 was sie entstanden ist ist
3:45 natürlich eine gleichung mit einer unbekannten a sowie lösen die klammer fasst zusammen formen nach der eu entsprechen habe ich dann 4 + 4 tsd
3:57 +4 +4 sind - 1 dann als erstes fassung militärs zusammen sind 9 und 4 + 4 sind natürlich 8 und dieser art können wir überbringen mit minus 8 und somit
4:14 harmonie auf der rechten seite 1 - 9 stehen dann teilen wir noch durch 9 damit ist die - 1 um diesen lotus punkt zu bestimmen setzen wir natürlich jetzt
4:27 diesen wert in unserer geraden gleichung deshalb deutlich dass noch mal kurz hier an also die ge einsetzen und wenn wir das ganze zusammen fassen
4:38 haben wir dann zwei - zwei sind entsprechend 0 dann minus -1 sind 1 und die letzte koordinate 2 - 2 ist auch nur damit haben wir und unser letzter
4:55 schritt da wir jetzt l haben können wir einfach als abstand die länge des rektors pl bestimmten das bedeutet wir bilden erstmal diesen verbindungs fekter
5:06 pl das bedeutet für uns nichts anderes als lpg haben wir da oben stehen und ist dann 02 sind - 210 bis 1 und nun -2 sind
5:23 wieder -2 und betrag oder länge von pl bis dann wurde sogar aus jeder einzelnen koordinaten des quadrat und dann ist schön zusammen gezählt also 25 21 -
5:37 vorzeichen können wir weglassen +1 auch zwei plus zwei hoch zwei sind natürlich wurzeln ein was wiederum drei einheiten gibt
5:48 das ist das von uns gesuchte abstand beim bedarf noch ein paar kurze hinweise für anwendungsfälle wo man ab standpunkt ebene benutzen könnte als erstes wenn
6:02 zwei ebenen parallel sind und wir den abstand suchen können wir natürlich aus der einen ebene einen punkt aussuchen und einfach zum beispiel über den lotus
6:12 punkt den abstand zu der zweiten bestimmen genau so ähnlich verläuft es auch wenn eine gerade und eine ebene zueinander parallel sind dann können wir
6:20 zum beispiel den stütz sektor der geraden nehmen und einfach den abstand zu der ebene bestimmen und ein etwa komplexeren fall entsteht dann wenn wir
6:29 die höhe eine pyramide suchen wir versuchen uns als erstes eine pyramide vorzustellen und die grünfläche dieser pyramide ist natürlich eine ebene oder
6:39 man kann es als eine ebene sehen und die höhe ist nichts anderes als der abstand zwischen der spezies und dieser grünfläche zum schluss wie gewohnt noch
6:51 ein paar hinweise im abspann findet ihr noch ein paar nützliche tutorials zum beispiel zum abt standpunkt der hessische normalform geht natürlich viel
7:01 schneller als mit dem lotus punkt allerdings ist der lotus punkt auch ein notwendiger übel dann um ein möglichst einfach ein lösungsweg hier zu haben
7:10 braucht man natürlich ebenen in koordinaten formen und wenn ihr bedarf habt findet ihr auch im abspann die umformung in die koordinaten form und
7:20 natürlich macht es auch sehen dass man sich den abstand zwischen 1 punkt und einen geraden anschaut