ORTHOGONALE Vektoren bestimmen – Senkrechter Vektor im Raum, Skalarprodukt, Kreuzprodukt
MathemaTrick
https://www.youtube.com/watch?v=EOgFDl3QllA

Transkript (automatisch erstellt)

0:00 hallo zusammen sehr schön dass ihr wieder mit dabei sein heute geht es um originale vektoren und in der ersten aufgabe untersuchen wir ob diese beiden
0:09 gegebenen vektoren orthogonal zueinander stehen also senkrecht aufeinander dann gehen wir noch eine aufgabe durch bei der wir neue vektoren finden sollen
0:20 die zu genau diesen da senkrecht stehen und eine dritte aufgabenstellung da bekommen wir zwei vektoren und sollen einen neuen finden der auf den beiden
0:31 senkrecht steht also sehr ähnlich aufgabenstellungen die aber unterschiedlich zu lösen sind wir schauen uns das prinzip von der
0:38 originalität von vektoren erstmal hier vorne überhaupt an worum geht's wir wollen prüfen stehen die vektoren die hier gegeben sind a und
0:47 b orthogonal zueinander also wenn das man vector a ist steht der andere weg tor dann senkrecht also im 90 grad winkel auf dem anderen
0:58 und es ist eigentlich ganz einfach zum überprüfen denn man muss einfach diese beiden sektoren mit einer multiplizieren also dass kalla produkt von diesen
1:10 beiden vektoren bilden und wenn dann null raus kommt dann stehen sie senkrecht aufeinander wenn da nicht nur rauskommt dann halt
1:18 eben nicht das bedeutet wir bilden das galler produkt von diesen beiden sektoren schreiben die erstmal hin und multiplizieren sie miteinander und dann
1:27 schauen wir was da rauskommt das wären sie wie funktioniert es gar produkt immer schon aufpassen man multipliziert die einzelnen koordinaten
1:38 also zweimal 6 plus kommt dann hinten dran jetzt geht es um die zweite koordinate - 1 mal 4 + und jetzt noch die letzte viermal -2 und das rechnen
1:55 wir jetzt aus zweimal sechs und zwölf hier bekommen wir -4 und da hinten - 8 wenn wir das berechnen 12 - 480 wunder diese
2:09 sektoren stehen jetzt senkrecht auf einander also die frage war stehen sie mir sagen es kommt nun raus also ja diese beiden sektoren stehen senkrecht
2:19 sondern und das ist schon das ganze prinzip davon dass teste man jetzt aber noch hier beim zweiten ich war hart ich nicht denke ich da weiter stehen aber
2:29 das sehen wir jetzt wir haben also zu dessen x b und schauen ob da null raus kommt das bedeutet nun mal zwei sind 0 + einmal 0 sind 0 + 3 x - zwei sind - 6
2:46 und wenn wir das ausrechnen 0 bis 0 -6 sind - 6 und das ist nicht nur deswegen wissen wir diese beiden hier stehen nicht senkrecht aufeinander
2:58 die stehen zum beispiel so in einem mit einem anderen winkel zueinander diesen winkel kann man auch ausrechnen mit dieser formel mit diesem cosinus alpha
3:08 zeug aber das soll jetzt nicht ihr thema des videos seien genau also überprüfen ob vektoren orthogonal zueinander stehen
3:19 ist relativ einfach einfach dass kalla produkt bildung gucke ob null raus kommt anders sieht es aus wenn die aufgabenstellung eben anders heißt
3:26 nämlich wir sollen drei verschiedene vektoren finden die senkrecht auf dem da stehen also wir bekommen keine zwei und sollen einfach nur gucken ob die
3:34 senkrecht stehen sondern wir wollen selbst einen finden oder sogar drei verschiedene weg trauen finden die senkrecht auf dem dach stehen und da
3:43 gibt es einen einfachen trick und zwar wir ändern diesen vector hier ein bisschen ab also wir finden ja jetzt einen anderen weg tor der senkrecht auf
3:53 dem da stehen soll senkrecht haben wir gesagt da muss null rauskommen wenn wir die miteinander multiplizieren
3:58 ok wenn er nur rauskommen soll wäre es schon mal ganz gut wenn wir eine koordinate von unserem neuen hier null setzen dann ist die berechnung natürlich
4:06 leichter das ist also das was wir machen eine von diesen koordinaten von den dreien könnt ihr euch aussuchen die setzt dennoch und die anderen beiden
4:15 koordinaten also den da haben wir als null gesetzt sozusagen die anderen beiden werden vertauscht die - zwei von da unten schreibe ich mal
4:25 dahin und die - drei von da kommt dahin und von einem von diesen beiden müssen wir jetzt noch das vorzeichen umdrehen egal von welchem ihr könnt euch
4:37 aussuchen ich nehme jetzt einfach mal hier mache ich auch sein - zwei ebenen +2 und jetzt stehen die automatisch senkrecht auf und essen wir dass wir
4:46 multiplizieren die beiden und schauen ob dann herauskommt fünf mal 0 ist nun mal gut deswegen die 0 dann plus/minus 3 x 2 sind - 6 und noch die letzte - zweimal -
5:03 drei sind sechs unter hammers 0 -6 +6 ist neu das sollte jetzt aber nicht der einzige sein der wir finden sollen wir sollen ja drei weghorn finden die das
5:13 machen und die anderen sind ähnlich aufgebaut wir haben hier jetzt hier die erste koordinate null gesetzt bei dem zweiten dem erhalt zu suchen
5:22 haben schnappen wir uns halt eine andere koordinaten die wir nun setzen machen was einfach mal mit der mitte die mitte setzen wir also 0
5:29 und jetzt wieder dasselbe wie eben wir vertauschen die anderen beiden also die fünf von da oben kommt unten hin und die - zwei von der unten kommt oben hin
5:39 aber bei einem von diesen beiden müssen wir noch das vorzeichen wechseln mache ich jetzt am besten aus dem minus in plus dann sind die sachen ja leichter
5:47 zum berechnen ihr könnt aber genauso gut sagen ich mag - ja auch immer so was sagt ich war aus der 54 unten einfach eine -5 geht auch aber ich glaube die
5:59 meisten vermögen - jetzt nicht so besonders dann testen wir ob ammersee auch wirklich null ergibt indem wir die
6:08 miteinander multiplizieren 5 x 2 sind zehn plus minus 3 x 0 sind 0 und hier unten haben wir - zweimal fünf sind die minus zehn und dann kommt nun
6:21 raus also das prinzip funktioniert und deswegen schauen wir uns jetzt noch zusammen den letzten sektor an wir sollten ja drei stück finden
6:27 ich glaube ihr habt das prinzip verstanden wir setzen jetzt die letzte koordinaten die anderen beiden werden vertauscht also
6:35 - 3 kommt hoch die fünf kommt runter und ein vorzeichen wird abgeändert und der steht jetzt wirklich auch senkrecht auf den taten
6:45 und dann gibt es noch eine letzte aufgabenstellung die jetzt folgendermaßen heißt gibt einen vektor an der senkrecht auf a und b steht wir
6:55 bekommen also zwei vektoren ob die senkrecht aufeinander stehen darum geht es gar nicht also das ist ja das ist b aber wir
7:04 sollen jetzt einen finden der auf beiden senkrecht steht also so einen es wird unser rektor c der senkrecht auf dem dasteht und auch senkrecht auf dem dach
7:16 ist jetzt nicht ganz so einfach zu sehen aber auf beiden muss der senkrecht stehen wieso auf einem tisch sozusagen das hier ist eure ebene und ihr sucht
7:26 jetzt einen vektor der eben senkrecht auf dieser ebene steht da hilft uns das kreuz produkt oder vector produkt wenn ihr das noch nicht hatte
7:35 dann kommt vielleicht nach ob er dann könnte er trotzdem mal schauen wie das ganze funktioniert denn wenn wir jetzt das kreuz produkt zwischen diesen beiden
7:44 sektoren bilden also zwischen 214 kreuz 6 4 - 2 dann ist der vector demir da dann finden automatisch senkrecht auf den beiden mit
8:00 denen wir das kreuz produkt halt gebildet haben das wisst ihr vielleicht schon also automatisch sorgt das kreuz produkt
8:07 dafür dass der vector eben senkrecht auf beiden steht das ist natürlich super praktisch weil dann müssen wir ja gar nicht mal denken wir müssen einfach nur
8:13 das kreuz produkt von den beiden berechnen das funktioniert folgendermaßen dass wir diese vektoren zeigen untereinander
8:19 schreiben also wieder zwei - 14 unten drunter und auch hier 6 4 - 2 unten drunter einfach doppeln dann streichen wir oben und die letzte zeile und jetzt
8:31 wird berechnet in diagonalen und zwar folgendermaßen wir starten hier oben in der zweiten zeile noch nicht durchgestrichen ist halt
8:40 und multiplizieren -1 mit minus 2 also die werden immer multipliziert diese diagonalen dann kommt ein - immer und dann werden die anderen diagonalen
8:53 multipliziert 4 x 4 das wird unsere erste koordinate hier wenn wir das gleich ausrechnen dann gehen wir ein päckchen herunter und
9:01 gehen jetzt zu diesen diagonalen 4 x 6 auch wieder - die andere diagonale zwei mal - zeigen und ihr habts verstanden eine stufe runter zweimal vier rechnen -
9:17 und dann die andere diagonale - 16 klammer zu und jetzt wird nur noch ausgerechnet ich bleib einfach mal rot hier kommt 2 -16 raus also - 14
9:33 dann 24 - - haben wir hier also plus 424 +4 sind 28 und 8 - - also +68 plus 6 sind 14 und das wäre jetzt ein vector der
9:55 senkrecht auf dem und auch auf dem steht so einfach kann es sein man muss nur wissen was man wann zu tun hat das ist ja auch die schwierigkeit wurde das
10:03 eigentlich auszuführen ist ja gar nicht so schlimm aber man muss halt wissen wann man es zu tun hat genau so viel zur tonalität von vektoren
10:11 falls ihr fragen habt meldet euch ansonsten gerne bis zum nächsten video macht's gut