Kegel - Volumen und Oberflächeninhalt berechnen | How to Mathe
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Transkript (automatisch erstellt)

0:00 Bogen zusammen wir schauen uns heute an wie man für einen Kegel Volumen und Oberflächeninhalt berechnet ein Kegel hat als Grundfläche einen Kreis er hat
0:10 keine Deckfläche sondern läuft auf einen Punkt zu die Spitze und er wird drumherum von der Mantelfläche begrenzt die entsteht indem man von jedem Punkt
0:21 des kreisrandes geradlinig zur Spitze geht und all diese Strecken vereinigt bei einem geraden Kegel liegt die Spitze genau über dem Mittelpunkt anders
0:34 ausgedrückt wenn man die Achse durch spitze und Mittelpunkt der Grundfläche betrachtet dann steht die senkrecht auf der Grundfläche
0:45 und der senkrecht gemessene Abstand von Grundfläche zu Spitze ist die Höhe des Kegels und wenn wir den Radius mit R und die
0:56 Höhe mit H bezeichnen dann lässt sich das Volumen der Rauminhalt berechnen mit 1/3 mal Pi mal R hoch 2 mal h mit Pi mal R hoch 2 wird der Flächeninhalt der
1:09 Grundfläche berechnet weil das ja ein Kreis ist allgemein ausgedrückt erhalten wir also das Volumen als ein Drittel von Grundfläche mal Höhe und das gilt auch
1:20 wenn es kein geraderkegel ist sondern ein schieferkegel bei dem die Spitze nicht genau über dem Mittelpunkt liegt dann schauen wir uns einen
1:29 Rechenbeispiel an wir sollen das Volumen für einen Kegel berechnen bei dem die Grundfläche den Radius 4 cm hat und die Höhe 7 cm beträgt das heißt für das R
1:42 müssen wir die 4 Einsetzen des ein drittel pi bleibt R hoch 2 wird dann 4 hoch 2 sobald wir Zahlen einsetzen müssen wir das gleichen hinschreiben und
1:55 für H setzen wir die 7 ein das Ganze im Taschenrechner durch Tippen und da kommen dann näherungsweise 117,29
2:05 Kubikzentimeter heraus dann kommen wir zum Oberflächeninhalt die Oberfläche besteht aus der Grundfläche also einem Kreis und der
2:16 Mantelfläche wenn man die abrollt und eben ausbreitet dann hat die die Form eines kreisausschnitts und für dessen Flächeninhalt brauchen wir die
2:27 Mantellinie s entweder ist die direkt gegeben oder man kann sie aus Höhe und Radius der Grundfläche berechnen weil sich denn hier ein rechtwinkliges
2:38 hilfsdreieck ergibt das heißt die Oberfläche hat zwei Bausteine wir schauen uns zur Herleitung der Formeln das Gitternetz an wir haben
2:48 zum einen die Grundfläche also einen Kreis mit Radius r dessen Flächeninhalt wird mit Pima R hoch 2 berechnet und wir haben die Mantelfläche die eben
3:00 ausgebreitet die Form eines kreisausschnitts hat und dessen Flächeninhalt wird mit Pi mal R mal s berechnet wie kommt man auf die Formel
3:10 für den Flächeninhalt eines kreisausschnitts braucht man zwei Sachen zum einen die Bogenlänge und den Radius des vollen Kreises den habe ich mit RA
3:21 bezeichnet damit wir ihn nicht mit dem Radius der Grundfläche verwechseln und wenn wir die zwei Größen haben dann erhalten wir den Flächeninhalt in dem
3:31 wir Bogenlänge mal Radius geteilt durch zwei rechnen und für die Mantelfläche wäre das hier die Bogenlänge und dabei wenn man die Mantelfläche hoch klappt
3:43 die einmal um die Grundfläche läuft entspricht diese Länge also dem Umfang der Grundfläche und der Umfang für einen Kreis ist 2 mal Pi mal R und der Radius
3:57 für die Mantelfläche das entspricht der Mantellinie s weil das ist ja der Abstand von der Spitze geradlinig bis zu einem Punkt auf dem Kreisrand und das
4:12 können wir jetzt in die Formel einsetzen für B haben wir also 2 mal Pi mal R für den Radius unseres kreisausschnitts haben wir es das ganze wird durch zwei
4:23 geteilt und jetzt können wir oben und unten zwei gegen zwei kürzen und damit ergibt sich eben pi mal R mal S und für den gesamten Oberflächeninhalt
4:34 müssen wir dann also einmal den grundflächeninhalt plus einmal den mantelflächeninhalt rechnen weil wir hier konkrete Formeln für G&M haben
4:46 können wir einsetzen das heißt für G können wir Pima R hoch 2 schreiben für NP mal R mals in beiden Summen Teilen steckt pi mal R drin das kann man also
4:58 auch ausklammern wenn wir vorne pi mal R ausklammern R hoch 2 ist ja R mal R dann bleibt ein eher übrig wenn wir hinten pi mal R ausklammern dann bleibt das S
5:12 übrig die beiden Darstellungen findet man auch in Formelsammlungen wir werden aber mit der allgemeinen Formel Arbeiten einfach um zu Übungszwecken auch die
5:22 teilflächeninhalte zu berechnen dann schauen wir uns noch ein Beispiel dazu an wir sollen den Inhalt von Grundfläche Mantelfläche und Oberfläche
5:33 für einen Kegel berechnen bei dem die Grundfläche den Radius 4 cm hat und die Mantellinie 5 cm lang ist wenn du statt der Mantellinie s die Höhe h gegeben
5:46 hast dann musst du über den Satz des Pythagoras die Mantellinie s berechnen wir haben hier ja ein rechtwinkliges hilfsdreieck das machen wir mal als
5:57 Beispiel also angenommen der Radius beträgt 4 cm die Höhe des Kegels 13 cm dann sagt der Satz des Pythagoras ja einfach ausgedrückt kurze Seite im
6:09 Quadrat plus kurze Seite im Quadrat ist gleich die lange Seite im Quadrat das heißt R hoch 2 + h² = S hoch 2 weil das ist die längste
6:22 Seite und die liegt auch immer gegenüber des rechten Winkels dann können wir für R die 4 und für H die 3 einsetzen 4 hoch 2 4 x 4,16 3 hoch
6:34 2 3 x 3 ist 9 16 + 9 sind 25 dann müssen wir noch Gegenteil von hoch 2 die Wurzel ziehen und erhalten eben für die Mantellinie S5 cm
6:47 dann starten wir mit der Grundfläche das heißt wir müssen bei PI mal R hoch 2 für das r die 4 einsetzen also pi mal 4 hoch 2 berechnen das im Taschenrechner durch
7:00 Tippen da kommen näherungsweise 50,27 Quadrat cm heraus für die Mantelfläche müssen wir für R wieder die 4 und für s die 5 einsetzen also pi mal
7:15 4 mal 5 rechnen da kommen näherungsweise 62,83 Quadratzentimeter heraus und für den Oberflächeninhalt müssen wir dann einmal g also
7:27 50,27 + einmal die Mantelfläche also 62,83 rechnen und da kommt insgesamt 113,10 Quadratzentimeter heraus das was dazu wie du für einen Kegel
7:44 Volumen und Oberflächeninhalt berechnet