Gini-Koeffizient, Lorenzkurve und Konzentrationsfläche
Kurzes Tutorium Statistik
https://www.youtube.com/watch?v=CqxtVby0ljs

Transkript (automatisch erstellt)

0:01 der gini koeffizient ist ein maß mit dem man ausdrückt wie gleichmäßig oder ungleichmäßig irgend eine menge auf mehrere merkmals träger aufgeteilt ist
0:13 weil ungleichmäßig in diesem zusammenhang bedeutet dass es eine konzentration der menge auf einzelne merkmals träger gibt nennt man den gini
0:21 koeffizienten auch konzentrations maß meistens hört man vom gini koeffizienten im zusammenhang mit der wohlstands oder einkommensverteilung in einem land wenn
0:32 es um die frage geht ob von allen mitteln viele menschen nur wenig und dafür wenige sehr viel abbekommen oder ob die mittel gleichmäßig
0:41 aufgeteilt sind deswegen braucht man da einen konzentrations maß ganz einfach wenn man als wohlstandsindikator zum beispiel für
0:51 ländervergleiche nur das pro kopf einkommen betrachtet also das gesamteinkommen einfach durch die zahl aller menschen teilt erfährt man über
0:59 verteilungs ungleichheiten nichts allerdings sind die oft gerade wichtig und beurteilen möchte auf alle oder nur wenige am wohlstand teilhaben
1:08 es gibt aber viele weitere fälle in denen eventuelle konzentrationen interessant sind zum beispiel bei der frage wie viel aufmerksamkeit einen
1:18 video game spieler einzelnen spielsequenzen widmet oder ob sich der gesamte frucht ertrag auf einzelne anbauflächen oder pflanzen konzentriert
1:30 oder ob das gesamte verkehrsaufkommen einzelne straßen stärker beansprucht als andere und auch in bereichen in denen man absolut nicht damit rechnet können
1:41 konzentrationsphase schnell wichtig werden zum beispiel bei pinguinen das sind nämlich sehr elegante tiere aber selbstverständlich sind sie das
1:49 nicht von alleine sondern nur wenn man sie richtig lackiert buck das ist der typ hier im bild betreibt deswegen ein lackieren lager die pinguine seine
1:59 neueste investition funktioniert fast vollautomatisch man muss sich nur für eine minute in die kabine stellen und wird dann schön gleichmäßig mit pinguin
2:08 farbe eingesprüht die ganze sache scheint noch nicht hundertprozentig ausgereift zu sein denn
2:19 manche der pinguine sind mit ihrer lackierung nicht vollständig zufrieden offensichtlich passieren fehler wenn die farbe ungleichmäßig an den sprühdüsen
2:28 ankommt buck braucht also ein kontrollsystem was ihm sagt ob es an einzelnen düsen zufahrt konzentrationen kommt aber wie könnte man solche
2:38 konzentrationen messen back überlegt sich hierzu folgendes mal angenommen an jeder lyse käme gleich viel farbe an zum beispiel jeweils 20 milliliter dann wäre
2:50 an der ersten diese eine von fünf düsen sind 20 prozent auf 20 prozent der gesamten farbe in der ersten und zweiten zusammengenommen also an 40 prozent
3:02 lösen wären auch 40 prozent der gesamten farbe an 60 prozent der düsen wären 60 prozent an 80 80 und an 100 prozent aller düsen werden 100 prozent der
3:15 gesamten farbe die punkte in diesem diagramm welches uns sagt an wie viel prozent der düsen wie viel prozent der farbe wäre legen also alle auf einer
3:28 linie mit 45 grad steigung und die kurve die entsteht wenn wir solche punkte verbinden heißt lorenz kurve nehmen wir nun an dass die fade ungleichmäßig
3:43 verteilt ist zum beispiel 10 550 20 und 15 milliliter insgesamt wieder 100 milliliter genau wie vorher um verschiedene situationen vergleichbar zu
3:57 machen müssen wir jetzt als erstes die einzelnen düsen ordnen nämlich von der mit der wenigsten farbe bis zu der mit der meisten farbe als zweites überlegen
4:08 wir jetzt noch einmal wie viel prozent der düsen wie viel prozent der farbe haben an der ersten diese das sind wieder 20
4:17 prozent der düsen mit der wenigsten farbe sind nun der gesamten farbe an den ersten 40 prozent der lösen sind 15 prozent der
4:28 farbe die ersten 60 prozent der düsen haben 30 prozent der farbe die ersten 80 prozent lösen haben 50 prozent der farbe und 100% der düsen habe natürlich wieder
4:41 100 prozent der farbe wenn wir jetzt alle punkte verbinden erhalten wir eine lorenz kurve die deutlich unterhalb der 45 grad linie verläuft
4:50 es gilt je stärker die konzentration unsere stärke hängt die lorenz kurve nach unten durch wäre zum beispiel die gesamte farbe an nur einer düse dann
5:03 würde die kurve entlang der waagerechten achse verlaufen bis wir zur letzten düse kommen und von dort dann zu 100 prozent aufsteigen
5:13 wir haben jetzt also schon eine grafik mit der wir konzentration veranschaulichen können nämlich die lorenz kurve und die wollen wir jetzt
5:21 noch umrechnen in eine einzelne zahl die uns etwas über die konzentration sagt das ist für alle leute die keine lust haben bilder anzugucken
5:29 eigentlich ist diese berechnung ganz leicht und führt uns in wenigen schritten zum gini koeffizienten wir wissen ja bereits dass die lorenz kurve
5:37 umso stärker durch hängt je höher die konzentration ist das heißt also dass die fläche zwischen lorenz kurve und 45 grad linie bei stärkerer konzentration
5:47 auch größer wird diese fläche nennt sich deswegen konzentrationsfläche rechnen wir jedoch also einfach aus wie viel prozent der gesamten fläche unter der 45
6:00 grad linie durch die konzentrationsfläche eingenommen wird da gibt es verschiedene möglichkeiten zum beispiel kann ich mir als erstes
6:08 überlegen das gesamte diagramm eine fläche von 1 hat weswegen ich automatisch weiß dass grund der 45 grad linie die vielleicht ein halb also 0,5
6:19 ist unter der lorenz kurve selber liegen trapez und ein dreieck davon kann man die fläche auch ohne weiteres bestimmen die flächen formel für trapeze lautet
6:30 kurze plus lange seite durch zweimal grundfläche und in unserem beispiel ist die summe daraus 0,3 wenn wir 0 3 ins verhältnis
6:42 zu 0 5 sätzen bekommen wir den anteil unter 45 grad linie die er nicht durch die konzentrationsfläche bedeckt ist da sind hier 0,6 die irs zu eins also 04
6:55 wird durch die konzentrationsfläche eingenommen und genau diese zahl der durch die konzentrationsfläche bedeckte teil des
7:03 rechtwinkligen dreiecks unter der 45 grad linie ist der gini koeffizient der hat meistens das symbol groß geht das ist eigentlich alles sehr leicht
7:15 nachvollziehbar rein rechnerisch jedoch nicht ganz so schön allerdings gibt es eine rechnung die exakt dasselbe macht auch wenn sie
7:22 überhaupt nicht so aussieht wie total einfach funktioniert und für die man auch nichts zeichnen muss die formel macht mal wieder den eindruck höchster
7:31 komplexität ist aber wie gesagt sehr simpel man braucht nämlich nur die einzelnen werte des merkmals dessen konzentration man berechnen möchte
7:41 das wären wir uns die fahrt mengen in milliliter je merkmals träger also ihr düse dafür steht diese six von e die eckigen klammern im index bedeuten
7:51 dass die messwerte vom kleinsten zum größten sortiert sein sollen der kleinste wert bekommt die zahl eins der zweitkleinste die zahl zwei der
8:00 drittkleinste die drei und so weiter dafür steht dieses die in der formel das ganze nennt sich rang des messwertes der komplette vordere teil heißt
8:11 eigentlich nur dass man jeden messwert mit seinem rang multiplizieren und alle produkte addieren muss das alles mal zwei die hinten steht das noch die
8:24 einzelnen messwerte addiert werden sollen machen wir und kommen auf 100 das ganze muss mit enplus 1 multipliziert werden
8:33 ist die zahl aller messwerte bei uns sind es fünf männer steht fast dasselbe nochmal aber hier wird die summe der messwerte nur mit n also bei uns fünf
8:45 multipliziert das ergebnis ist wie versprochen das was wir schon kennen nämlich 0,4 der gini koeffizient jetzt wären wir
8:56 fast fertig wenn es nicht noch einen kleinen schönheitsfehler gäbe wenn alles ganz gleichmäßig verteilt ist ist also keinerlei konzentration gibt verläuft
9:05 die lorenz kurve entlang der 45 grad linie bedeckt damit 0 prozent der fläche ohne 45 grad linie deswegen der gini koeffizient dann auch gleich null ist
9:14 das in ordnung wenn aber einer alles hat ist also eine maximale konzentration gibt bedeckt die konzentrationsflächen nicht das gesamte dreieck und der 45
9:25 grad linie ganz rechts immer ein rest übrig bleibt deswegen nimmt die effizient dann einen wert unter 1 an
9:34 in unserem fall 08 im prinzip ist es kein großes problem aber eigentlich wünscht man sich schon ein maß welches bei maximaler konzentration den wert 1
9:44 bekommt um das erreichen müsste man also die konzentrationsflächen nicht ins verhältnis zur gesamten fläche ohne 45 grad linie setzen sondern ins verhältnis
9:55 zu jeweils größtmöglichen konzentrationsfläche die lässt sich auch einfach ausrechnen im endeffekt gibt es da einen korrekturfaktor für den gini
10:03 koeffizienten nämlich n durch ein - 1 das ergebnis nennt sich normierter gini koeffizient der kriegt das symbol ge sternen im beispiel hätten wir einen
10:14 wert von 0,5 und das war's schon mit dem gini koeffizienten hat buck einen indikator der ihm sagt wie gleichmäßig die ganze farbe auf alle dosen verteilt
10:26 ist und dabei ist es egal wie viel farbe es insgesamt gibt ist an allen bösen ungefähr dieselbe menge farbe hat der
10:35 gini koeffizient einen wert in der nähe von null wenn sich aber farbe auf einzelnen düsen konzentriert dann steigt der koeffizient
10:44 gegen 1 falls das video geholfen hat bitte ich um einen daumen nach oben und je mehr leute abonnieren um so mehr zeit habe ich auch neue videos machen also
10:55 bitte nicht vergessen den abo button zu klicken danke fürs zuschauen und bis zum nächsten mal