POLYNOMDIVISION Funktion 4. Grades – NULLSTELLEN erraten und berechnen, Beispiel
MathemaTrick
https://www.youtube.com/watch?v=CNiS387yEOc

Transkript (automatisch erstellt)

0:00 Hi, in dem Video möchte ich euch zeigen, wie man eine Polynomdivision durchführt und zwar, wenn die Funktion vierten Grades ist. Das ist jetzt nichts
0:08 anderes, als wenn ihr Grad 3 habt, nur ihr müsst die Polynomdivision einfach häufiger durchführen und wir gehen es einfach mal Schritt für Schritt durch.
0:16 Die Aufgabe könnte heißen, finde alle Nullstellen oder findet die Linearfaktorzerlegung von dieser Funktion und bei allen diesen
0:24 Aufgabenstellungen hilft einem die Polynomdivision. Was ist das erste, was wir tun müssen? Wir bräuchten eine Nullstelle von dieser
0:33 Funktion hier. Vielleicht ist sie bei euch in der Aufgabenstellung gegeben, meistens aber nicht und der allererste Schritt ist dann tatsächlich eine
0:41 Nullstelle zu raten. So blöd es sich auch anhört, es ist tatsächlich genauso. Wir testen einfach erstmal ein paar Zahlen
0:49 und gucken, wenn wir Wir starten mit der 1, gehen dann zu -1, 2, -2. Wenn all die Zahlen nicht funktionieren sollten, passt eine davon, dann nehmen wir die.
1:00 Wir setzen also die 1 hier für jedes x ein und rechnen das aus. Also 1^4 -1^3 -12*1^2 -4*1 +26. Wenn ihr das mit der 1 macht, findet ihr tatsächlich raus, dass
1:14 da gleich 0 rauskommt und das ist schon mal sehr praktisch, denn dann ist die 1 eine Nullstelle. Wenn die 1 jetzt nicht funktioniert hätte, wie gesagt, dann
1:24 wärt ihr zu -1 weitergegangen und so weiter und so fort. Aber eine von diesen Zahlen sollte es dann sein, spätestens bei 3 und -3.
1:33 Okay, dann haben wir eine Nullstelle gefunden und die werden wir jetzt von dieser Funktion hier abspalten, sozusagen. Also wir schreiben diese
1:43 Funktion hier hin und teilen die durch x - die Nullstelle, also x -1. Das ist das, was auf der nächsten Seite jetzt schon auf uns wartet. Das ist unsere
1:56 Funktion und die teilen wir durch X minus die Nullstelle, die ihr gefunden habt. Jetzt startet die eigentliche
2:04 Polynomdivision. Wie geht die? Ich hoffe, ihr wisst noch, wie man schriftlich dividiert. Da ging es ja so, dass man hier jetzt die X hoch
2:13 4, die teilt man zuerst durch dieses X hier. Also X hoch 4 durch X, das wären ja X hoch 3. Das Ergebnis schreibt ihr hier rechts hin.
2:24 Und jetzt wird zurück multipliziert. Jetzt wird dieses X hoch 3, was ihr hier hingeschrieben habt, mit dieser kompletten Klammer multipliziert. Also X
2:34 hoch 3 mal X, das sind X hoch 4 und X hoch 3 mal minus 1, das sind minus X hoch 3. Und das schreibt ihr eben hier hin und das wird jetzt von dem da oben
2:44 schön komplett einmal abgezogen. Das heißt, wir rechnen jetzt X hoch 4 minus X hoch 4, das fällt weg. Minus X hoch 3 minus minus X hoch 3, dieses minus minus
2:59 wird jetzt zu einem plus, das heißt, hier steht minus X hoch 3 plus X hoch 3, auch das fällt hier in dem Fall jetzt weg und dann geht es einfach weiter.
3:07 Also minus 12 X Quadrat minus nichts, also minus 12 X Quadrat minus 4 X, da wird auch nichts abgezogen und die plus 16, da wird auch nichts
3:17 abgezogen. Einfach die obere Zeile minus die untere. Und jetzt, das war schon der erste Durchlauf, jetzt startet alles noch mal von vorne, nur eben mit dem
3:27 Teil hier. Also von der minus 12 X Quadrat, das teilen wir durch das X. Minus 12 X Quadrat durch X, da bleibt dann nur minus 12 X übrig und diese
3:39 minus 12 X wird jetzt wieder zurück multipliziert mit dieser kompletten Klammer. Also minus 12 X mal X, das sind minus 12 X
3:50 Quadrat und minus 12 X mal minus das sind +12x. Schön ein Minus vorne dran, denn das
3:59 soll abgezogen werden von der oberen Zeile. -12x² - - 12x², das hebt sich ja gerade wieder
4:08 weg, weil hier wieder ein Plus rauskommt. Und hier hätten wir -4x -12x, das sind -16x. Und hinten die +16, die hat keinen
4:19 Gegenspieler, das bleibt dann einfach bei +16. Und jetzt das Ganze noch einmal. Ihr habt das Prinzip bestimmt verstanden.
4:26 Wir starten mit dem ersten Teil hier, die -16x werden geteilt durch x, das sind dann nur noch -16. Und dann wird zurück multipliziert. -16
4:37 mal die Klammer, also -16 mal x, das sind -16x. Und -16 mal -1 sind +16. Das wird abgezogen von dem oberen und da da
4:51 dasselbe steht, kommt da dann eine Null raus. Und das war jetzt die Polynomdivision. Wir haben sie einmal durchgeführt und
4:59 haben diesen Faktor, dieses x-1, von unserer großen Funktion abgespalten. Den Teil, da müssen wir uns merken, das ist ein Linearfaktor,
5:11 den brauchen wir dann ganz zum Schluss noch mal, aber wir haben jetzt was Neues erhalten, nämlich eine neue Funktion, die jetzt nicht mehr x⁴ in sich trägt,
5:20 sondern x³. Also wir haben jetzt einen Schritt kleiner und jetzt suchen wir nur noch hiervon weitere Nullstellen. Da wir noch keine pq-Formel anwenden
5:31 können, weil das erst bei x² geht, würden wir jetzt noch mal eine Polynomdivision machen. Also alles, was wir bisher gemacht haben, einfach noch
5:39 mal zur Wiederholung. Sehr gut. Das heißt, wir suchen schon wieder eine Nullstelle von dem Ding. Probiert also aus, mit Raten 1, -1, 2, -2. Falls die
5:51 nicht gehen, auch 3, -3. Ihr werdet feststellen, wenn ihr für das X eben die Zahlen einsetzt und ausrechnet, dass die -2
5:59 funktionieren wird. Wenn ihr -2 also einsetzt, -2 hoch 3, -12 * Das heißt, das ist eine weitere Nullstelle und die spalten wir jetzt genauso, wie wir es
6:14 hier gemacht haben, von dem Teil ab. Das steht jetzt auf der anderen Seite. Also, das ist unsere neue Funktion und die teilen wir jetzt durch
6:22 X - -2. Also, X - die Nullstelle haben wir ja gesagt. Und die Nullstelle heißt hier halt einfach -2. Also, steht da gleich ein X +2. Das seht ihr jetzt
6:36 hier. Da ist dieser X hoch 3 Teil und das teilen wir durch X +2. Mit Polynomdivision ging folgendermaßen. Das
6:45 erste Teil, X hoch 3 durch X, das sind ja X Quadrat. Dann wird zurück multipliziert. X Quadrat * X sind X hoch 3 und X Quadrat * 2, das sind 2 X
6:58 Quadrat. Ein Minus vorne dran, Klammer drum rum und jetzt müsst ihr richtig aufpassen, denn wir haben X hoch 3 - X hoch 3, okay, das ist noch nichts
7:08 Dramatisches, das fällt einfach weg. Aber hier ist kein X hoch 2 Teil, wie ihr seht. Hier ist X hoch 3 und hier kommt schon X. Die beiden dürft ihr
7:17 nicht zusammenrechnen. Der X Quadrat Teil, der heißt hier oben halt 0, da ist keiner. Deswegen 0 -2 X Quadrat, das sind -2 X Quadrat und erst
7:29 dann geht's mit dem X Teil weiter. -12 X hat da unten keinen Gegenpart und die -16 auch nicht, deswegen kommen die einfach da wieder hin.
7:40 Und jetzt wird wieder geteilt. -2x² durch x sind -2x. Zurück multiplizieren. -2x * x sind -2x² und -2x * 2 sind -4x.
7:55 Ein Minus vorne dran und abziehen. Der Teil hier fällt weg, weil -2x² +2x² fällt weg. -12x - - also +4x, das wären -8x
8:11 und die -16 einfach übernehmen. Ein letztes Mal teilen. -8x durch x sind -8. Zurück multiplizieren. Das wären -8x und -16.
8:26 Wird abgezogen, da die gleich heißen, kommt da 0 raus. Was haben wir jetzt geschafft? Wir haben einen weiteren Linearfaktor abgespalten, den merken wir
8:35 uns wieder und wir haben jetzt eine kleinere Funktion noch mal, von der wir jetzt schon wieder Nullstellen suchen, aber diesmal ist es gar nicht so
8:43 schlimm, denn diesmal ist es ja eine quadratische Funktion und da können wir die pq-Formel oder die abc-Formel verwenden. Also, wir können die jetzt
8:51 einfach gleich 0 setzen und die Nullstellen suchen. Wie geht das? Na ja, die pq-Formel würde ich jetzt hier mal
9:01 anwenden. Wenn ihr natürlich die abc-Formel nutzt, dann benutzt die. -p/2, also -2
9:08 -(-2/2). Das sieht immer so hässlich aus, deswegen würde ich es immer direkt
9:15 vereinfachen. Die Minusse heben sich weg und 2 durch 2 ist 1, also kann man direkt 1 hinschreiben, das ist um einiges angenehmer.
9:22 Und dann unter der Wurzel steht auch wieder dieses -2/2, also diese 1 zum Quadrat. Und dann wird -q, also -(-8).
9:36 Das sind dann +8. Wenn ihr das dann ausrechnet, habt ihr unter der Wurzel neun stehen, also 1 + - 3. Dann haben wir also zwei weitere
9:47 Nullstellen. 1 + 3, das ist 4 und eine weitere 1 - 3, das ist -2. So. Jetzt sammeln wir das Ganze mal auf, denn wir würden das gerne in die Linearfaktor,
9:59 also je nachdem was gesucht ist, wenn die Nullstellen gesucht sind, dann habt ihr jetzt alle, das war die 4, die -2. Dann hatten wir hier noch eine
10:06 Nullstelle gefunden. Jetzt müssen wir einfach alles aufsammeln. Hier die -2 noch mal und hier vorne die 1. Das sind alle Nullstellen. Falls aber die
10:16 Linearfaktorzerlegung gesucht sein sollte, dann müsst ihr alle Linearfaktoren aufsammeln, also x - 1, x + 2 und hier draus müssten wir noch
10:27 Linearfaktoren machen. Das haben wir gesagt, das ist x - die Nullstelle, also x - 4 und aus dem da wird ein x - -2, also x + 2. Und wenn ihr die ganzen
10:39 Linearfaktoren aufsammelt, dann könnt ihr eure ursprüngliche Funktion, die so hässlich aussah, in diese Linearfaktoren zerlegen, also x - 1 war einer, x + 2
10:51 war einer, x + 2 kommt noch mal und x - 4. Also die, die doppelt vorkommen, die könnt ihr auch zusammenfassen. x + 2 kommt ja zweimal vor, also einfach hoch
11:01 2 und dann den Rest noch hin. Und das wäre die Linearfaktorzerlegung. Je nachdem was gesucht ist, müsst ihr dann halt das Ergebnis noch
11:10 hinschreiben, aber das wäre die Art, wie man die Polynomdivision nutzt bei x hoch 4, um diese Aufgaben eben zu lösen. Ich hoffe, es ist klar geworden, wie man
11:20 vorgeht und ihr könnt die Polynomdivision jetzt auch bei Grad 4.