Orientieren im 3D-Raum (Grundlagen zur Vektorrechnung). Punkte eintragen & ablesen. Lineare Algebra
Mathematik-Guru
https://www.youtube.com/watch?v=C-KyjeH3jDA

Transkript (automatisch erstellt)

0:00 hallo und herzlich Willkommen zu meinem nächsten Video ab heute möchte ich mit Vektorrechnung anfangen damit wir auch dazu was lernen und vorher brauchen wir
0:13 Grundwissen über die Orientierung im Raum also in diesem Video werden wir lernen wie wir uns im Raum orientieren was das dreidimensionale
0:20 Koordinatensystem ist was die Achsen Aussagen wie man Punkte eintrräg und auch von Körpern abliest und spezielle Punkte und einfache Spiegelungen das
0:28 alles werden wir uns heute anschauen und im nächsten Video fangen wir dann mit Vektorrechnung an das ist quasi die Vorstufe zur Vektorrechnung damit wir
0:37 quasi von Grund auf Anfang so das dreidimensionale Koordinatensystem ist jetzt unser erstes Thema da seht ihr gleich drei Achsen die x-Achse Y-Achse
0:47 und die Z-Achse die X-Achse ist zuständig für Bewegungen vor und zurück also man kommt nach vorne dann nach hinten die x-Achse müsst ihr euch
0:59 so vorstellen als ob diese Achse aus diesem Blatt rausgehen würde in eure Richtung das geht quasi aus der Ebene raus und damit wir sie zeichnen können
1:07 schrägt man zeichnet man sie schräg diagonal in die Richtung und wie ihr seht habe ich hier eine diagonale hier als eins gewählt und das macht man
1:19 deshalb damit die Abstände sicher gleich groß sind zwischen den einzelnen Zahlen man natürlich in Kauf dass eine 1 auf der x-Achse bisschen kleiner aussieht
1:29 als eine ein beispielsweise auf der Y-Achse oder Z-Achse das ist aber nicht schlimm so können wir gemütlich unsere Werte eintragen und eine leichte
1:37 Verzerrung nehmen wir halt eben in Kauf so die Y-Achse ist zuständig für Bewegungen nach rechts und
1:47 links also für diese Bewegung und die Z-Achse ist zuständig für Bewegungen nach oben und nach
1:58 unten so also schauen wir uns mal an wenn beispielsweise der x-Wert 3 ist dann
2:06 geht man 3 nach vorne wenn der x-Wert aber -2 ist dann geht man 2 nach hinten wenn der ywert 4 ist geht man 4 nach rechts wenn er beispielsweise -3 ist
2:16 geht man 3 nach links wenn der zwert 2 ist geht man 2 nach oben wenn er -2 ist geht man 2 nach unten das sind erstmal die Grundlagen jetzt wollen wir mal
2:27 lernen wie man Punkte einträgt fangen wir mal mit dem ersten Punkt an nämlich Punkt 1 5 2 wichtig ist dass wir die Reihenfolge
2:37 nicht verändern wir fangen immer mit der X Koordinate an dann y dann z vor allem beim Punkt aesen ist es wichtig dass man die Reihenfolge wirklich gut behält und
2:46 schauen wir uns mal jetzt diesen Punkt an erst kommen wir ein Schritt nach vorne das heißt vom Ursprung aus starten wir mal wir gehen eins nach vorne jetzt
2:54 gehen wir fünf Schritte nach rechts 1 2 3 4 5 und von hier aus gehen wir zwei Schritte hoch 1 2 dieser Punkt ist mein gesuchter Punkt
3:08 P jetzt wollen wir einen weiteren Punkt eintragen ich nehme mal für Q einfach -2 -3 -4 und schauen wir mal dass wir Q einzeichnen diesmal ist die x-Koordinate
3:22 -2 das heißt ich gehe 2 nach hinten und von hier aus man darf nicht vergessen immer von dort aus wo man gerade ist muss man weiterlaufen also wir gehen
3:30 zwei nach hinten und jetzt drei nach links 1 2 3 und wieder von hier aus vier nach unten 1 2 3 4 hier ist also mein Punkt Q den markiere ich
3:45 auch ja also so trägt man Punkt ein schauen wir uns noch mal den Ursprung an der ist sehr wichtig der ist bei 00 also der Ursprung befindet sich hier und so
3:55 kann man Punkte eintragen Punkte ablesen ist etwa schwieriger weil man ohne weiteres die Koordinaten von einem Punkt nicht ermitteln kann in
4:05 zweidimensionalen Raum geht es relativ einfach ich mache mal hier einen kurzen Exkurs wenn wir in der zweidimensionalen Ebene sind also hier x-Achse und Y-Achse
4:16 und hier hatten wir einen Punkt dann konnten wir die Koordinaten davon sehr sehr leicht ermitteln wenn wir beispielsweise Z nach rechts gehen und 1
4:23 2 3 nach oben gehen dann können wir direkt sagen die Koordinaten sind 2 3 im dre Signal ist es tatsächlich nicht möglich einfach mal so die Koordinaten
4:33 von einem Punkt zu ermitteln weil schauen wir uns mal den Punkt P an ich habe gesagt dass die Koordinaten 152 sind aber wenn wir das nicht wüssten
4:41 dann könnten die Koordinaten auch beispielsweise wie folgt sein ich gehe ull nach vorne 4,5 nach rechts und 1,5 nach oben das heißt wenn ich nicht
4:50 wüsste dass die Koordinaten 152 sind könnte ich auch denken die Koordinaten wären 0 4,5 1,5 man könnte auch weitergehen und sagen ich gehe dre nach
5:00 hinten und 1 2 3 Schritte nach rechts und gar nicht nach oben dann würde ich denken die Koordinaten von P sind - 3 30 also es gibt unendlich viele
5:10 Möglichkeiten für ein Punktkoordinaten zu haben und ohne Hilfslinien oder irgendwelche Ebenen können wir nicht die genauen Koordinaten ermitteln Punkte
5:18 eintragen können wir sehr gut und eindeutig aber Punkte ablesen da brauchen wir noch bisschen Stützlinie das machen wir jetzt im nächsten Kapitel
5:27 und zwar Punkte eines Körpers ab lesen hier haben wir erstmal basic ich habe hier ein Prisma für euch gegeben ein fünfseitiges Prisma und ja
5:36 das könnt ihr euch vorstellen beispielsweise als ein Haus so hier können wir tatsächlich alle Koordinaten ablesen weil sie durch Linien
5:44 miteinander verbunden sind und ich dadurch weiß wie weit ich nach vorne oder nach hinten gehen muss und meistens ist immer nur eine oder sind zwei
5:52 Koordinaten angeben und aus den heraus muss man die restlichen Koordinaten ermitteln also in dieser Aufgabe kenne ich die Koordinaten von G das ist 3 6 4
6:03 und die Koordinaten von T das ist 0 3 5 und jetzt schauen wir uns mal an wie wir die restlichen Koordinaten ermitteln gucken wir uns a erstmal an wir sehen
6:13 eindeutig a ist am Ursprung das heißt die Koordinaten von A können wir schon mal sehen das ist 00 und um zu B zu gelangen sehen wir dass wir von A aus
6:24 einfach nur 3 nach vorne gehen das heißt A und B haben dieselbe ykoordinate nämlich nur und sind auch gleich hoch also haben
6:32 auch die z-Koordinate 0 es ist nur die xkoordinate die um 3 erhöht wurde und wenn ihr das seht könnt ihr feststellen dass alle Punkte auf dieser
6:44 Ebene also B C G s F all diese fünf Punkte kommen gleichermaßen um drei Einheiten nach vorne das heißt ihr könnt bei all diesen fünf Punkten schon mal
6:57 als x-Koordinate eine dre eintragen also ich mache bei C auch schon mal 3 bei G steht schon eine dre bei S mache ich auch eine 3 bei F auch die sind alle
7:08 drei Einheiten vorne und wir sehen auch dass a d h t und e all diese fünf Punkte auch gleich weit nach vorne kommen nämlich gar nicht die x-Koordinate ist
7:21 bei allen fünf 0 das heißt ich kann bei den für X immer null einsetzen h hat auch den xwert 0 t ist schon eingetragen und e auch so kann man schon mal von
7:33 jedem Punkt die x-Koordinate ermittel für die ykoordinate können wir uns anschauen dass A E F und B haben sie gehen alle gleich weit nach rechts die
7:45 gehen nämlich alle Null nach rechts also die vier Punkte müssen dieselben ykoordinaten haben das heißt bei A E F und B kann ich für die ykoordinate 0
7:55 eintragen bei A und B ist schon eingetragen bei E ma ich eine Null und bei F mache ich auch eine Null dann sehe ich auch dass die Punkte c d g
8:07 h auch alle gleich weit nach rechts gehen nämlich alle gehen se nach rechts das können wir an d erkennen oder ein G erkennt die gehen alle sechs Stück sechs
8:18 Einheiten nach rechts das heißt bei diesen vier Punkten kann ich für die ykoordinate eine se
8:27 eininttrag so dann hätte ich alle y Koordinaten auch schauen wir uns mal den Punkt s noch mal an es geht gleich weit nach rechts wie t nämlich 3 das heißt
8:39 bei S setze sich eine 3 ein jetzt gucken wir uns mal die Höhen an welche Punkte haben denn dieselbe Höhe also dieselbe zkoordinate wir sehen dass A B C D diese
8:50 vier Punkte alle dieselbe Höhe haben nämlich 0 also all diese vier Punkte haben den zwert 0 und wir sehen dass D auch g h e f alle
9:02 gleich weit nach oben gehen weil wir bei G erkennen dass er 4 nach oben geht müssen alle anderen auch vier nach oben
9:10 gehen und wir wissen auch dass S und T auch die gleiche Höhe haben und T hat schon die Höhe 5 die z-Koordinate 5 also muss s dieselbe z-Koordinate haben weil
9:21 die ja gleich hoch sind so können wir alle Punkte Ermitteln von einem dreidimensionalen Körper ich mache mal noch ein Beispiel
9:30 und zwar haben wir hier eine Doppelpyramide das Viereck ABCD soll einfach ein Quadrat sein und der Mittelpunkt von dem Quadrat soll der
9:38 Ursprung sein und die Spitze soll einfach über dem Ursprung einfach drei Einheiten nach oben gehen
9:46 und diese untere Spitze einfach drei Einheiten nach unten gehen so wie können wir jetzt die Koordinaten ermitteln ihr könnt wie folgt vorgehen fangen wir mal
9:54 mit A an um zu a zu gelangen gehen wir ein zwei Schritte nach hinten also die x-Koordinate von A ist -2 dann gehe ich wenn ich z nach hinten
10:04 gegangen bin zwei Einheiten nach links 1 2 also auch die ykoordinate ist -2 und die zkoordinate ist 0 weil A B C D alle gleiche Höhe haben sollen und wenn C die
10:18 Höhe 0 hat müssen ab CD auch die Höhe ull haben das kann man direkt bei allen schon eintragen so dann gucken wir uns mal B
10:27 an ich komme wieder erstmal nach vorne das ist immer das erste was man macht also wir gehen nicht nach links oder nach oben sondern das erste ist immer
10:34 nach vorne zu kommen wir gehen zwei Schritte nach vorne das heißt der x-Wert muss 2 sein und dann wenn wir zwei Schritte nach vorne gekommen sind müssen
10:44 wir zwei Schritte nach links gehen das heißt der y Wert muss -2 sein und damit hätten wir die Koordinaten von B von C die Koordinaten waren schon gegeben dann
10:52 gehen wir mal zu d über wieder ich gehe nicht nach rechts oder nach oben sondern der erste Schritt ist immer nach vorne oder nach hinten diesmal muss ich nach
11:00 hinten gehen ich gehe zwei Schritte nach hinten das heißt die x-Koordinate von D muss -2 sein und dann wenn ich zwei Schritte nach hinten gegangen bin muss
11:08 ich zwei Schritte nach rechts gehen das heißt die ykoordinate muss + 2 sein und damit hätte ich die Koordinaten von D ihr könnt es auch wieder so machen dass
11:17 ihr sagt B und C müssen die gleiche x-Koordinate haben weil sie gleich weit nach vorne kommen und A und D müssen auch die gleiche x-Koordinate haben ich
11:26 habe jetzt bewusst für beide Aufgaben unterschiedlich Ansätze gewählt wie man sie lösen kann damit ihr beides gesehen habt so dann kommen wir mal zu der
11:34 Spitze die Spitze liegt auf der Z-Achse und deswegen die X und Y Koordinate davon ist 0 und wir gehen einfach 3 nach oben also
11:44 003 und analog dazu hat t die Koordinaten 0 -3 also um zu T zu gelangen vom Ursprung aus geht man 0 nach vorne 0 nach re und einfach 1 2 3
11:56 nach unten ich hoffe dass ihr verstanden hab wie man die Punkte eines Körpers ablesen kann und jetzt kommen wir mal zu den
12:04 besonderen Punkten und zwar haben wir drei Achsen und drei Ebenen und die wollen wir uns anschauen also drei standardachsen und drei standardebenen
12:14 die für uns relevant sind fangen wir an mit der x-Achse die X-Achse ist ja diese Achse und alle Punkte auf dieser Achse haben die Eigenschaft dass der x-Wert
12:28 irgendeine Zahl a ist ich schreibbe jetzt einfach a da könnte 7 stehen oder -2 stehen und die ykoordinate ist immer 0 und die z-Koordinate ist auch null
12:37 also alle Punkte auf der x-Achse sehen so aus vorne steht irgendeine Zahl ich habe jetzt einfach a geschrieben aber Y und Z sind garantiert 0 die
12:47 Y Achse ist diese Achse und alle Punkte auf dieser Achse haben die Eigenschaft dass der x-Wert 0 ist und auch der zwert 0 ist und der y
12:59 Wert könnte irgendeine Zahl a sein und dann kommen wir auch zu der letzten Achse nämlich zu der Z-Achse die Z-Achse hat die Eigenschaft
13:10 dass alle Punkte auf dieser Achse folgende äh Werte haben der x-Wert ist 0 der ywert ist 0 und der Z-Wert ist
13:18 irgendeine Zahl a und ja das sind die drei Achsen jeder Punkt auf der x-Achse sieht so aus jeder Punkt auf der Y-Achse sieht so aus und jeder Punkt auf der
13:28 Z-Achse so dann kommen wir zu der XY Ebene das ist die bodenebene hier das ist die Ebene die durch die x und y- aachse aufgespannt wird ich habe jetzt
13:37 hier so markiert aber das geht auch in die Richtung und auch in die Richtung und überall hin damit wir einfach uns das besser vorstellen können habe ich
13:44 nur diesen Abschnitt markiert und alle Punkte auf der XY Ebene haben folgende Werte und zwar der x-Wert ist irgendeine Zahl a und der ywert könnte eine andere
13:58 Zahl B sein wichtig ist der Z-Wert ist immer 0 also jeder Punkt hier auf dieser Ebene hat irgendeinen x-Wert z.B 4 und ywert 2 aber der Z-Wert den kennen wir
14:09 und das ist 0 die Punkte auf der xzebene xzebene ist diese Ebene hier auch die geht natürlich hier und hier weiter aber ich habe wie
14:20 gesagt nur ein Ausschnitt gezeichnet und die Punkte auf der xzebene haben die Eigenschaft dass der x-Wert irgendeine beliebige Zahl ist der
14:29 zwert auch irgendeine beliebige Zahl B ist der ywerert aber exakt null ist und die yzebene das ist die Ebene die durch die Y-Achse und Z-Achse
14:39 aufgespannt wird das ist die hier auch die geht natürlich hier in alle Richtungen weiter und die Punkte auf dieser Ebene
14:48 haben immer den x-Wert 0 der ywert ist irgendeine beliebige Zahl und der Z-Wert ist auch eine Zahl also falls ihr gemerkt habt ist es immer so dass die
14:58 nicht erwähnte Koordinate Koordinate immer g=ich 0
15:10 ist also wenn ich y zebene sage erwähne ich ja nicht das X und deswegen ist x = 0 so könnt ihr euch das auch merken und jetzt kommen wir zu einfachen
15:21 Spiegelungen ich mache das erstmal nur an den standardebenen und zwar mache ich das mal anhand eines Spiels ich nehme einen Punkt einfach mal 1 2 3 1 2 3
15:35 sieht so aus also ich komme eins nach vorne und dann zwei nach rechts und 1 2 3 nach oben diesen Punkt markieren wir mal als Punkt 1 2
15:51 3 das ist der Punkt 1 2 3 so wenn ich diesen Punkt an der XY Ebene Spiegel ich Zoom das mal hier so bisschen heran an der XY Ebene
16:05 spiegeln möchte dann gehe ich wieder eins nach vorne und ich gehe wieder zwei nach rechts aber anstatt drei nach oben zu gehen gehe ich drei nach unten also 1
16:15 2 3 hier liegt mein gesuchter Punkt den ich auch jetzt markieren
16:24 werde ich nenne den mal P äh Sternchen hat dieselbe x-Koordinate hat dieselbe ykoordinate aber die z-Koordinate wird mit -1
16:36 multipliziert machen wir mal das auch mit der XZ Ebene wir können ruhig denelben Punkt P1 2 3 nehmen wir gehen eins nach vorne und zi nach rechts und
16:49 ein ein nach vorne zi nach rechts und 1 2 3 nach oben hier liegt mein Punkt P 1 2 3 wenn ich an der xzebene spiegeln möchte gehe ich wieder ein nach vorne
17:05 und statt zwei nach rechts zu gehen gehe ich diesmal zwei nach links und ich gehe nach wie vor drei nach oben also 1 2 3 diesem Punkt markiere ich das ist mein
17:16 gesuchter Punkt P Sternchen ich mach mal so so so spiegeln wir an der
17:34 xzebene und wie spiegeln wir an der XY an der YZ Ebene wieder nehmen wir unseren Punkt 1 2 3 ich gehe eins nach vorne zi nach rechts und D nach
17:50 oben so diesmal gehe ich eins nach hinten statt eins nach vorne gehe dann zi nach rechts und D nach
18:01 oben das heißt gespiegelt würde dann mein Punkt hier landen und hätte die Koordinaten -1 2 3 so ich hoffe ihr habt verstanden wie man
18:13 das macht immer die Koordinate die quasi nicht erwähnt wird mal -1 nehmen also hier habe ich z.B die
18:27 z-Koordinate mal -1 genommen hier habe ich die ykoordinate
18:35 mal -1 genommen und hier die
18:48 x-koordinat also hier können wir uns das zerken die nicht erwähnte Koordinate
19:00 mal -1 so ja auf die Art können wir auch beispielsweise an Achsen spiegeln ich könnte den Punkt auch an der X-Achse
19:11 spiegeln dann hätte ich die nicht erwähnten Koordinaten also Y und Z mal -1 genommen das heißt wenn ich an der X-Achse spiegeln wollte hätte ich den
19:18 Punkt 1 - 2 -3 ich könnte auch sogar am ursprungpiegel hier erwähne ich alle drei Koordinaten nicht das heißt ich müsste alle drei Koordinaten mal -1
19:28 nehmen ich hätte die Koordinaten -1 -2 -3 auf die Art kann man einfache Spiegelungen durchführen so im nächsten Video werden wir Vektoren behandeln ich
19:38 hoffe dass ihr das gut verstanden habt wir sehen uns dann im nächsten Video