Ein schönes Geometrie Rätsel – Wie lang ist der Radius?
MathemaTrick
https://www.youtube.com/watch?v=BjojR9Zw6c8

Transkript (automatisch erstellt)

0:00 Hallo ihr Lieben, heute habe ich euch dieses Geometrierätsel mitgebracht, das folgendermaßen lautet: Gegeben ist ein Kreis, in den rote Sehnen eingezeichnet
0:09 sind. Den Kreis können wir hier schön sehen. Der Mittelpunkt ist auch eingezeichnet. Und dann haben wir hier diese roten Sehnen. Das Stück hier ist
0:19 mit einer Länge von 4 gegeben. Das Stück hier mit einer Länge von 2 und das da mit einer Länge von 8. Wie groß ist der Radius des Kreises?
0:30 Okay, der Radius ist also gesucht von unserem Kreis. Also vom Mittelpunkt zum Kreisrand könnten wir hier den Radius einzeichnen. Das ist aber irgendwo
0:41 spannend ist es immer, die solche Punkte hier dann zu verbinden. Also ich würde mal vom Mittelpunkt zum Kreisrand hier an diese Stelle meinen Radius
0:51 einzeichnen, weil da können wir auch schon sehen, dass hier so ein Dreieck entstanden ist. Wenn ich hier mal so einen rechten Winkel runterzieh vom
1:00 Mittelpunkt, dann haben wir hier tatsächlich ein rechtwinkliges Dreieck, indem unser Radius vorkommt. Also, wenn wir die anderen beiden Seiten Längen
1:10 kennen, dann können wir mit Pythagoras den Radius ausrechnen. Das wäre mal so der Plan. Die Frage ist nur, können wir die Seitenlängen herausfinden?
1:20 Wie sieht's denn mit dieser Seite hier aus? Denn von der ganzen Sehne wissen wir ja, dass sie 4 + 8 lang ist. Also insgesamt ist diese Sehne 12 lang.
1:35 Wir befinden uns ja hier im Mittelpunkt dieses Kreises und sind hier so runtergegangen. Das heißt, hier befinden wir uns von rechts nach links gesehen
1:47 immer noch auf dieser Mittelachse vom Kreis. Das heißt, das Stückchen hier muss genauso lang sein wie das Stückchen hier. Wenn das komplette Ding 12 lang
1:59 ist, dann müssen beide Seiten eben sechs lang sein. Und damit haben wir schon mal einen Seitenlänge von diesem Dreieck gefunden.
2:09 Wie sieht's mit der anderen Seitenlänge aus? Das ist ja im Grunde, wenn wir uns den Mittelpunkt, die Koordinaten vielleicht mal anschauen, wenn ich die
2:19 mal A und B nenne, dann ist A ja die X Koordinate von meinem Mittelpunkt. Okay, ich sage hier X-Koordinate oder sonst irgendwas, wir haben noch gar kein
2:30 Koordinatensystem. Äh, vielleicht legen wir mal eins fest. Das Praktische ist, dass diese sehen ja schon aussehen wie so ein
2:38 Koordinatensystem. Deswegen würde ich das einfach mal benutzen, dass wir hier unser Koordinatensystem reinlegen mit einer x-Achse und eine
2:48 Y-Achse. Und dann können wir nämlich mit Koordinaten arbeiten. Z.B. wissen wir, wie die X Koordinate hier von meinem Mittelpunkt ist, denn wir haben ja
3:00 gesagt, wir wissen, dass dieses Stück hier eine Länge von 6 hat. Das da hat eine Länge von, also muss dieses Stückchen hier dann von Ursprung
3:13 bis zu meinem Mittelpunkt eben die restlichen zwei sein. Also meine X-Koordinate von meinem Mittelpunkt hat dann eben die Koordinate 2. In diesem
3:25 Koordinatensystem, was wir hier halt so reingelegt haben, müssen wir zwei Schritte zur Seite gehen, um hier bei der x-Koordinate von meinem Mittelpunkt
3:33 anzukommen. Wie sieht es denn mit der Y Koordinate von meinem Mittelpunkt aus? Also, was können wir hier drüber sagen? So, auf
3:43 Anhieb tatsächlich noch nicht so viel, muss ich sagen. Aber wir arbeiten hier ja mit einem Kreis und es gibt ja eine Kreisgleichung.
3:55 Also, wenn man von einem Kreis eine Gleichung aufstellen möchte, sieht die ganz allgemeine Form von dieser Kreisgleichung folgendermaßen aus. Man
4:03 hat x- die x-koordinate vom Mittelpunkt. Die haben wir ja tatsächlich auch schon gefunden. Die können wir gleich hier
4:10 einsetzen. Das ganze zum Quadrat, dann plus und jetzt dasselbe noch mal mit y. Also wir haben dann y - die y Koordinate vom Mittelpunkt. Okay, die haben wir
4:23 noch nicht. Okay, das ganze zum Quadrat auch. Und auf der anderen Seite haben wir den Radius des Kreises zum Quadrat stehen. Und den Radius des Kreises
4:32 wollen wir tatsächlich auch herausfinden. Also hätten wir eine Gleichung, in der die Sachen drin sind, die wir finden wollen. Lass uns mal das
4:41 ersetzen, was wir kennen. Also, wir haben gesagt, die x-Koordinate von meinem Mittelpunkt ist mit 2 gegeben. Also hier die x-Koordinate vom
4:49 Mittelpunkt kann ich mit 2 einsetzen. Das Minus ist immer vorne dran. Also, dann haben wir hier minus und dann unsere Koordinate,
4:58 die y Koordinate vom Mittelpunkt, die kennen wir noch nicht, aber die haben wir hier mit Bezeichnet. Also würde ich auch gerne dieses B hier verwenden,
5:07 damit wir wissen, worum es hier geht. Und X und Y, was sind das jetzt für Dinger hier in der Gleichung? Das sind tatsächlich die Koordinaten
5:21 von einem Punkt auf meinem Kreis. Also, wenn ich jetzt hier z.B. mir ein Kreis ein Punkt P rauspicke, dann wäre X die X Koordinate von diesem Punkt und Y die y
5:36 Koordinate von diesem Punkt, die auf dem oder der auf dem Kreisrand liegt. Aber wir kennen doch ein paar Punkte, die auf dem Kreisrand liegen, nämlich
5:47 diesen Punkt hier, diesen Punkt hier und diesen Punkt hier. Und diese Punkte können wir verwenden und hier in der Gleichung einsetzen,
5:59 um verschiedene Gleichungen zu erhalten, in der dann nur noch B, also Unbekannte vorkommt und unser Radius. Also lass uns das mal machen. Ähm brauchen wir jetzt
6:10 aber erstmal die Koordinaten von den Punkten. Den Punkt hier nenne ich mal P. Welche Koordinaten hat er denn? Wenn ich vom Ursprung 4 nach links laufe, lande
6:20 ich hier. Also -4 auf der X-Achse und 0 auf der Y-Achse, weil ich gehe ja weder nach oben noch nach unten. Hier unten den Punkt nenne ich dann mal Q. Welche
6:32 Koordinaten hat der? Ä vom Ursprung laufe ich zwei nach unten. Also ich gehe weder nach rechts noch nach links. Das heißt, meine
6:39 x-Koordinate ist 0, aber die y Koordinate gehe ich 2 nach unten, sind also -2. Und den Punkt hier PQR nenne ich den dann mal. der hat die
6:50 Koordinaten. Vom Ursprung aus laufe ich 8 nach rechts, also 8 ist die X-Koordinate und weder nach oben noch nach unten. Also 0 ist die y-koordinate.
7:01 Und diese Koordinaten setze ich jetzt hier für x ein und hier für y ein, um diese Gleichungen aufzustellen. Das heißt, nehmen wir erstmal P. Ich setze
7:13 die X-Koordinate für X ein, dann habe ich -4. Alles andere schreibe ich einfach so ab. Erstmal wir kümmern uns gleich darum, was wir da rauskriegen.
7:24 Für das Y setze ich die Y Koordinate ein, die ist hier 0. Also haben wir 0 - b, das ganze zum Quadrat und dann kriegen wir r² raus. Eine erste
7:37 Gleichung. Wir haben ja aber noch ein paar Punkte, also setzen wir weiter ein. Zuerst die X-Koordinate. Das ist diesmal eine 0. Das heißt, für x kommt 0 rein.
7:48 -2 das ganze zum Quadrat. Und für y auch hier packen wir diese Koordinate rein, die lautet -2 diesmal. Und den Rest schreiben wir einfach so ab. Und da wir
8:02 noch einen dritten Punkt haben, nehmen wir auch den mit. Schön die x-Koordinate zuerst. Dann haben wir hier 8 - 2, das ganze zum Quadrat. Und für y packen wir
8:15 auch da die Y-koordinate rein, die ist 0. Das ist ganz schön für unsere Berechnung. Und dann erhalten wir auch hier r².
8:23 Das hier ist jetzt ein Gleichungssystem. Wir haben drei Gleichungen, aber nur zwei unbekannte. Okay, schauen wir mal, was passiert. Wir schnappen es uns mal
8:33 her. Es sieht momentan noch furchtbar aus, aber lass es uns mal ein bisschen schöner machen. -4 -2 will ich mal zusammenrechnen. Das sind -6. Also statt
8:43 diesen beiden Dingen packe ich meine -6 hier rein. 0 - b kann ich einfach nur als - b schreiben. 0 - 2 ist einfach nur -2. -2 - b. Okay, das muss ich gleich
8:56 anders auflösen, aber hier 8 - 2 kann ich noch zu 6 verrechnen und 0 - b kann ich wieder - b draus machen. Dann lasst uns die ganzen Klammern mal auflösen. -6
9:09 zum Quadrat -6* -6 sind 36 + - b zum Quadrat, wenn ich es minus quadriere, wird's positiv und b zum Quadrat erhalte ich dann. Rechts haben
9:22 wir unser r². Nächste Gleichung. -2 zum Quadrat sind 4 plus hier. Diese Klammer muss ich mit der zweiten binomischen Formel auflösen. Lasst uns mal ganz kurz
9:37 noch mal aufschreiben, wie die lautet. Wenn wir a - b in Klammern zum Quadrat haben, dann kommt da a² - 2* a* b + b² raus. Lasst uns das mal anwenden. Also,
9:53 der erste Teil vor dem Minus wird quadriert. Das ist eine -2, die wird quadriert. -2* -2= 4. Dann kommt ein Minus von der Formel. Wir machen das
10:05 Minus hin. 2* A* B. Also jetzt kommt 2 mal das vordere Ding, das ist eine -2. schön mit Vorzeichen mal dem Teil hinter dem Minus, also mal dem b. Das war der
10:23 Zwischenteil und dann kommt noch + b², also hier tatsächlich b² und dann kommt da r² auch auf der rechten Seite raus. Lass uns das hier
10:35 vielleicht gerade mal noch ein bisschen schöner machen. -2* -2b sind dann + 4b. Dann können wir den Teil ein bisschen schöner zusammenfassen.
10:46 Hier 4 + 4, okay, können wir auch schon mal zu einer 8 schreiben, dann sieht es schon mal deutlich sympathischer aus in der zweiten
10:55 Gleichung. Und die letzte 6² sind 36 - bz qu sind wieder b² und das r² auf der rechten Seite.
11:07 Okay, wenn wir uns die Gleichung anschauen, stellen wir fest, dass die erste und die dritte identisch sind. Also die hier liefert uns gar keine neue
11:15 Information. Ähm, das heißt, wir haben nur diese beiden Gleichungen. Wir haben ja auch nur zwei unbekonnte hier drin. Ist ja okay. Ähm, wenn wir dann auch nur
11:24 zwei Gleichungen haben. Jetzt gibt's verschiedene Möglichkeiten, wie man die miteinander verrechnen kann. Dadurch, dass wir hier B² drin haben und auch
11:32 hier B², würde ich die beiden Gleichungen einfach mal voneinander abziehen, damit sich das B² hier raushebt.
11:41 Dann haben wir 36 - 8 sind 28. Als nächstes, okay, haben wir jetzt die 4b, da haben wir hier gar keine B, also wir haben 0 von den BS. -4b
11:57 sind -4b. b² - b² hebt sich raus und auf der anderen Seite haben wir r² - r², das fliegt auch raus. Okay, haben wir jetzt
12:08 nicht so wirklich gewollt, aber okay, kommt null raus, kein r² mehr in unserer Gleichung. Äh, macht aber auch nichts, weil wenn wir was über B herausfinden,
12:15 ist ja auch gut. Das heißt, wir stellen die Gleichung hier mal nach B um. Lasst uns die mal rüberbringen mit + 4b, dann stehen die 28 alleine auf der linken
12:26 Seite und 0 + 4b sind 4b. Um noch B umzustellen, teilen wir jetzt noch einmal durch 4. 28 dur 4 sind 7 und das ist unser B. Was war B noch mal? Lass
12:39 uns mal noch mal zurückgehen. Hier war B die Yordinate vom Mittelpunkt. Die haben wir jetzt mit sieben herausgefunden. Also können wir hier sieben eintragen
12:51 und wissen damit auch, dass dieses Stück, das ist ja genau von hier hoch zum Mittelpunkt sieben lang ist. Na, dann haben wir es doch fast geschafft
13:01 für unseren Radius hier. Lasst uns den Satz des Pythagoras anwenden und dann haben wir es. Für Pythagoras müssen wir wissen, wo sich die Hypotenuse befindet.
13:10 Die ist immer gegenüber vom rechten Winkel. Also das da ist die Hypotenuse und dann sagt Pythagoras: "Nimm die eine Seite und quadriere sie, also 7 zum
13:20 Quadrat plus nimm die andere Seite und quadriere sie, also 6 zum Quadrat und dann kriegst du die Hypotenuse zum Quadrat raus, also r zum Quadrat. Und
13:31 diese Gleichung müssen wir jetzt nur noch nach R umstellen. 7² sind 49 + 6² sind 36, das ist unser r². Die beiden zusammen ergeben 85.
13:45 Also radiere ich das hier mal aus. Und um nach R umzustellen, muss das Quadrat noch weg. Also ziehen wir die Wurzel auf beiden Seiten und kriegen für unser R
13:54 zwei Lösungen. Eine positive und eine negative Lösung. Einmal haben wir die Wurzel von 85 als positive Lösung und minus die Wurzel von 85. Für meinen
14:08 Radius will ich hier nichts Negatives rauskriegen. Also ignorieren mal die negative Lösung. Aber hier haben wir das exakte Ergebnis für unseren Radius. Wenn
14:16 wir das jetzt noch runden, ähm kriegen wir ein Ergebnis von 9,22. Und damit haben wir die Aufgabe gelöst. Ich bin gespannt, wie ihr vorgegangen
14:26 seid. Schreibt eure Lösungswegel gerne in die Kommentare. Ansonsten habt noch einen wunderschönen Tag und wir sehen uns beim nächsten Video. Macht's gut. M.