Binomischer Lehrsatz (Beweis mit Vollständiger Induktion) | Einfach Schritt-für-Schritt Erklärt
MathePeter
https://www.youtube.com/watch?v=BfcWCayt-JA

Transkript (automatisch erstellt)

0:00 der bionische lehrsatz ist ein mächtiges werkzeug mit dem du nicht nur solche potenzen a + b hoch n spielend leicht aus multiplizieren kannst sondern der
0:08 hat noch eine ganze reihe von anwendungsmöglichkeiten zum beispiel in der statistik und wahrscheinlichkeitsrechnung wenn ihr
0:13 damit der bi nominal verteilung einer wahrscheinlichkeit berechnen möchte ist da kommt er ebenfalls vor wie man diesen genomischen ersatz mit der vollständigen
0:20 induktion beweisen kann das zeige ich dir jetzt los geht's da das hier mit sicherheit nicht ein erster induktions beweis ist kürze mir mal die
0:26 langweiligen schritte ein bisschen ab schritt nummer eins induktions anfangen wir setzen die kleinste natürliche zahl 1 für die unsere annahme erfüllt sein
0:34 soll bei uns ist es die null auf der linken seite haben wir irgendwas doch 0 gleich eins und auf der rechten seite haben wir
0:40 die summe von k gleich null bis k gleich null das heißt dass die einzige zahl die wir hier für unser k einsetzen die null ist
0:47 1 0 1 0 1 gleich eins und damit check ist diese aussage erfüllt im zweiten schritt setzen wir voraus dass es überhaupt irgendeine natürliche zahl
0:56 gibt für die unsere annahme erfüllt ist okay und das ist so eine natürliche zahl gibt das haben wir doch gerade im induktions anfang zeigt also diese
1:04 voraussetzung die ist nicht gerade unbegründet jetzt müssen wir nur noch zeigen dass diese behauptung unter zuhilfenahme der voraussetzungen eine
1:11 wahre aussage liefert also zu jeder natürlichen zahlen die die annahme erfüllt und geht zeigen dass auch der zugehörige nachfolger diese annahme
1:19 erfüllt das würde bedeuten nach dem fünften piano axiom dass wenn die null die annahme erfüllt auch der nachfolger also die zahl eins die annahme erfüllt
1:27 und damit auch die zeit 2 und damit die 3d 4 und die fünf und damit am ende jede natürliche zahl im hauptteil dem induktions schritt beginnst du immer mit
1:36 dem ersten seiner induktions behauptung in unserem fall a + b hoch n +1 und jetzt versuchst du diesen term soweit aufzuspalten das irgendwie die
1:47 induktions voraussetzung zum vorschein kommt damit wir gleich im folgenden diese gleichung hier benutzen können denn ohne die induktions voraussetzung
1:53 funktioniert der beweis nicht zum glück gibt es ja ein ziemlich einfaches potenz gesetz und zwar können wir schreiben a + b hoch einmal + b hoch 1 gegenprobe wenn
2:05 die basen gleich sind dürfen wir die exponenten addieren passt also und jetzt haben es geschafft jetzt haben wir den term aus unserer induktions voraus
2:13 das bedeutet dass wir den jetzt ersetzen im folgenden durch unsere summe bargeld 0 sn von den bienen koeffizienten x h x b
2:25 hoch n - k und diese summe soll noch multipliziert werden mit a + b ok jetzt an dieser stelle haben wir gar nicht mehr so viele möglichkeiten das
2:36 einzige was ich jetzt noch sehr wäre diese klammer hier aufzulösen also aus zu multiplizieren das bedeutet wir multiplizieren an diese
2:44 summe sowohl das a- als auch das b dran zum ersten mal haben wir dann hier so minimal koeffizienten jetzt aufgepasst wir multiplizieren eine nah dran am
2:55 hochkar hoch 1 genau wie eben dasselbe potenz gesetzt da können die exponenten addiert werden k + 1 a und b hoch - da bleibt wie es ist plus und jetzt machen
3:07 wir das ganze noch mit dem zweiten auch hier haben wir wieder die summe trage ich nur bis ende jahr koeffizient hoch k und jetzt das ganze mit b also
3:17 die basen sind gleich das heißt die exponenten können addiert werden - k + 1 und jetzt an dieser stelle hören die meisten leute auf und wissen
3:29 nicht genau wie es weitergeht und deswegen merkt ihr bitte drei schritte schritt nummer eins wir werden eine index verschiebung benutzen um diese
3:36 therme hier gleich zu machen schritt nummer zwei wir werden die summen aufspalten damit nach der index verschiebung wenn die summen grenzen
3:44 unterschiedlich sind dass wir sie wieder gleich machen können und schritt nummer drei ist dass wir die bienenjahr koeffizienten zusammenfassen
3:51 nachdem wir auch die summen zusammen gefasst haben also merkt hier ganz grundlegend index verschiebung summen aufspalten wie nominal koeffizient das
3:59 schöne ist dass wir bereits an der induktions behauptung ablesen können wie unser endergebnis aussehen soll und zwar brauchen wir die faktoren hoch k und b
4:07 hoch - k + 1 genauso wie es auch hier bei der zweiten summe der fall ist diese summe die super die erste summe die macht uns noch ein
4:15 bisschen bauchschmerzen da steht zum beispiel am hochkar +1 okay diese +1 könnten wir weg bekommen indem wir eine index verschiebung durch
4:24 in dem wir jedes vorkommende k hier um 1 verringern aber moment wenn wir hier jedes km 1 verringern steht dann bei dem bm
4:34 exponenten am ende auch wirklich eine plus eins und die antwort ist ja schau dir das mal an wenn wir hier kam einst verringern
4:41 cham - 1 aufgepasst mit klammern dann wird nämlich wenn wir die klammer auflösen eine +1 daraus das ist doch eine schöne falle auf die solltest du
4:51 achten also wirklich wenn wir hier jedes k um 1 verringern dann haben wir genau so wie auch in der zweiten summe und auch schon im
4:57 endergebnis die richtigen faktoren für a und b so machen wir das wir werden hier eine index verschiebung durchführen und jedes
5:04 k um 1 verringern das heißt wir haben ihn überkam - 1 x h x b hoch - k + 1 und index verschiebungen gesagt wenn wir hier
5:18 jedes km 1 verringern dann müssen wir um diese veränderungen wieder gut zu machen in den grenzen jedes kam um 1 erhöhen also genau die
5:26 entgegengesetzte operation damit durchführen das heißt wir haben hier die grenzen k glich 1 bis k gleich en plus 1 im
5:34 zweiten schritt spalten auf damit wir sie danach wieder schön zusammen fassen können schau mal die erste summe beginnt ja bei der index zwar gleich eins und
5:43 endet bei der index zwar gleich en plus eins und die zweite summe die beginnt bei der index zwar gleich null und endet bei der index zahlen kamen gleich en
5:54 damit jetzt also beide summen wieder gleich sind müssten ja aus der ersten summe den summenden mit der index zahlen +1 und aus der zweiten summe den
6:04 summenden mit der index zwar gleich null abspalten wenn wir das tun dann sind alle eingesetzten zahlen wieder gleich los
6:12 geht's wir wollen also aus der ersten summe den letzten summenden weglassen also die summe wird dann nicht mehr laufen bist gleich en plus eins sondern
6:22 noch bis k gleich en und in der zweiten sommer da wollen wir gerade den ersten summenden mit der index zahl gleich null weg lassen
6:33 die funktion werde natürlich dabei unverändert denn wir lassen wirklich nur einen einzelnen summen weg aber aufgepasst weglassen aus der summe
6:42 bedeutet dass wir diesen summen noch extra hintendran addieren müssen denn er darf ich einfach wegfallen ist ja nicht einfach 0
6:49 wie lautet denn der romand den wir hier in der ersten summe weggelassen haben also der mit der index zeigt gleich and +1 letzten mal für jedes kind plus 1 1
6:59 um das herauszufinden dann haben wir hier en plus 1 - 1 gleich n m über nn wird zu 1 dann haben wir hier noch hoch n +1 momentan hoch endlos
7:10 1 und hier haben wir endlos 1 - endlos 1gb hoch 0 wird zu eins brauchen wir auch nicht schreiben also der summe an den wir hier weggelassen haben von hier
7:19 nach hier der lautet a hoch n +1 und ja das bedeutet wir agieren ihn einfach hinten dran
7:26 so was nennt man aufspalten von sum und genau das gleiche machen wir auch hier hinten bei der anderen summe da wo wir den ersten so man mit der index zwar
7:35 gleich null weggelassen haben wir müssen ihnen noch extra hintendran addieren wie lautet der romand für karl gleich null denn über null das 1 0 ist
7:44 ebenfalls 1 und überbleiben b hoch + 1 wunderbar wir haben es geschafft jetzt sind nämlich nicht nur die therme hier drinnen gleich sondern auch die summen
7:53 beginnen jeweils bei 1 und enden bei n das heißt wir können diese beiden sollen jetzt wunderschön zusammenfassen zu einer einzelnen so angefangen bei kabel
8:04 eins bis hin zu k gleich en und schon mal wenn wir diesen termin mit diesen termin addieren und ja weil die waren ja gleich sind können wir noch eine
8:14 kleinigkeit vereinfachen wir können nämlich die gleichen therme einfach ausklammern was bleibt den innerhalb der großen
8:21 klammer nach über das sind doch nur noch diese genial koeffizienten die sich voneinander unterscheiden die dann noch miteinander addiert werden
8:28 müssen aber auch k und b hoch n - k plus eins die sind gleich und zwar genau schon in der form wie wir sie für das endergebnis brauchen jetzt würde ich
8:37 vielleicht freuen zu hören dass die summe dieser beiden genial koeffizienten sich wunderschön zusammenfassen lässt so wie ich es auch noch in dem video
8:44 gezeigt habe zum kino jahr koeffizienten das ist nämlich gerade +1 über k und damit haben wir es fast schon geschafft das einzige was wir
8:54 jetzt noch machen müssen ist die summe hoch n +1 und b hochamt +1 wieder in unsere summe einzugliedern die lauten denn die beiden summen für k
9:03 gleich null und k gleich en plus eins setzt nochmal ein paar gleich null ein gesetz ergibt 1 x 1 x b hoch n +1 also den hier
9:13 und wie lautet der summen für karl gleich en plus 13 mal darfst du raten 1 1 und a hoch n +1 sprich wenn wir diese beiden so manchen er weglassen dann
9:25 dürfen wir die summe laufen lassen von k gleich null bis eins weil die dann bereits drin stecken und damit ist der beweis mit vollständiger induktion
9:34 erbracht wir haben gerade bewiesen dass der biologischen ersatz für beliebige natürliche zahlen nennt funktioniert viel spaß damit
9:41 hey ich hoffe ich konnte gerade mit diesem video weiterhelfen wenn du dich zufällig demnächst auf einer matte prüfung vorbereiten musste dann schau
9:48 unbedingt mal unter diesem video nach ich habe dort mehrere online kurse von mir zur klausur vorbereitung verlinkt sollte man eines seiner themen nicht
9:55 dabei sein dann schreibt mir einfach eine mail und du erfährst als erstes wenn neue kurse rauskommen wenn ihr das video
10:00 weitergeholfen hat und du möchtest dass in zukunft weitere content erscheint dann erzähle einfach dein kommilitonen deinen freunden und seiner familie von
10:07 mir und abonniert den kanal danke dir