Binomialkoeffizient Einfach Erklärt | Rechenregeln, Beispiele, Verallgemeinerung
MathePeter
https://www.youtube.com/watch?v=BDUJP9_dWEs

Transkript (automatisch erstellt)

0:00 der vinum jako effizientesten funktion du kennst ihn bestimmt aus der statistik oder wahrscheinlichkeitsrechnung wenn du dort bei themen wie kombinatorik oder
0:07 mit der bi nominal verteilung eine wahrscheinlichkeit sehen möchtest aber auch in der annahme ist es kommt ja ziemlich oft vor angefangen beim
0:13 genomischen lehrsatz wo dieser wie nominal koeffizient im übrigen auch seinen namen her hat im folgenden zeige ich dir eine spezielle definition des
0:21 bienenjahr koeffizienten für natürliche zahlen n und k außerdem schauen wir uns doch ein paar wichtige recht gesetze an ich zeig dir einen ziemlich coolen trick
0:28 wie du sowas hier auch relativ schnell im kopf berechnen kannst und zu guter letzt werden wir diesen vinum jahr koeffizienten noch für komplexe zahlen k
0:36 verallgemeinern los geht's in den ersten anwendungsaufgaben bei denen du es mit dem bbi nominal koeffizienten zu tun
0:42 hast werden und kann wahrscheinlich natürliche zahlen seien 0 1 2 3 4 und so weiter wenn jetzt das k kleiner oder gleich dem n ist dann lässt sich diese
0:52 definition hier oben auch mit hilfe von solchen fakultäten ausdrücken wichtig das geht aber nur für kleiner gleich en sollte mal größer sein als ende also
1:01 diese natürliche zahl größer sein als diese natürliche zahl dann geht das nicht dann kommt da nämlich immer gleich null bei raus lässt sich auch direkt aus
1:10 der definition zeigen wie du diesen termin relativ einfach im kopf berechnen kannst bzw wie du denen ja direkt in den taschenrechner eintippen kannst zeige
1:18 ich dir gleich am beispiel vorher aber noch ein paar wichtige rechnen die sätze wie du unbedingt drauf haben muss der absolute klassiker dabei ist dieses
1:24 rechten gesetz lässt sich sogar sehr intuitiv am beispiel erklären denn der bi nominal koeffizient der wird unter anderem in der kombinatorik bei einem
1:33 zufalls experiment benutzt ohne wiederholung und ohne berücksichtigung der reihenfolge wie du es zum beispiel beim lottospiel hass aus 49 zahlen
1:41 sollst du sechs aus wie in dem du sie ankreuzt auf seinem lottoschein aber es ist doch vollkommen egal ob du von 49 zahlen jetzt sechs ankreuzt und
1:51 43 frei lässt oder ob du 43 zahlen angekreuzt und eben sechs zahlen freilässt der unterschied liegt nur in der art der markierung die anzahl an
2:00 möglichkeiten die ist aber gleich gut nur eben dass du vielleicht auf dem lottoschein nicht gerade 43 zahlen ankreuzen sollte
2:07 weitere wichtige rechnen gesetze die du dir unbedingt merken der bbi nominal koeffizient über null ist immer gleich eins und dank dieses
2:15 rechen gesetzes ist der minol koeffizienten über ebenfalls gleich 1 außerdem der genial koeffizienten über eins ist immer gleich das was hier oben
2:25 steht so die letzte wichtige sache die wir die auch unbedingt einbringen sollte ist ist das hier unten ist es so wichtig ich habe extra noch mal in rot
2:32 angeschrieben diesen zusammenhang her denen wirst du brauchen wenn du den bionischen lehrsatz mit der vollständigen induktion beweisen möchte
2:39 ist es gibt auch noch weitere wichtige zusammenhänge aber ich finde das sind die wichtigsten und das schöne ist all diese zusammenhänge gelten für jegliche
2:46 verallgemeinerung des genial koeffizienten selbst in komplexen zahlen okay genug mit der ganzen theorie lasst uns mal zusammen was rechnen
2:53 wie wäre es denn mit dem lineal koeffizienten 8 über 3 die meisten würden jetzt ganz einfach hier in diese formel mit den fakultäten einsetzen aber
3:02 acht fakultät 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 echte jetzt habe ich ehrlich gesagt keine lust drauf schau dir lieber mal hier unten den nenner an msk fakultät
3:12 steht dort oder bei uns fünf fakultät 5 x 4 x 3 x 2 x 1 alles klar genau diese abfolge an faktoren kommt genauso auch in der 8 fakultät drin vor
3:23 das heißt der lässt sich eine ganze menge weg kürzen und deswegen würde ich dir empfehlen wenn das k eine natürliche zahl ist lieber mit dem zu arbeiten was
3:32 hier oben steht also mehr kriegen wenn da eine natürliche zahl ist hast du einen bruch wobei oben im zähler und unten im jänner jeweils k faktoren
3:43 stehen nur eben dass du oben anfängst bei dieser zahl und unten anfängst bei dieser zahl runter zu zählen so das heißt oben haben wir 8 x 7 x 6 und unten
3:52 haben wir 3 x 2 x 1 x 1 boxen die schreiben und 2 x 3 ergibt gerade sechs überbleibt 807 also 56 das heißt mit diesem trick sind wir
4:02 sogar schneller als hätten wir das ganze in den taschenrechner eingetippt nächstes beispiel 10 über 5 wir haben jetzt also einen bruch bei dem oben und
4:11 unten jeweils fünf faktoren stehen oben fangen wir mit der 10 an 10 x 9 x 8 x 7 x 6 und unten haben wir fünf faktoren 5
4:20 firma 3 x 2 x 1 x 1 brauchst dich schreiben und jetzt kannst du kürzen wie auch immer du willst zum beispiel dreimal 264
4:29 und nacht ist mit 29 510 ist ein 2 über bleibt 2 x 9 x 2 x 7 907 sind wir bei 63 zweimal zwei ist vier und das geht mir auch noch im kopf in 60 mal vier sind
4:42 240 3 x 4 sind zwölf in summe also 252 okay ihr letztes beispiel nehmen wir zwölf über acht jetzt könntest du natürlich einen fetten bruch strich mit
4:55 jeweils acht faktoren im zähler und nenner aufschreiben viel schlauer wäre es doch aber mit diesen rechten gesetzt hier zu arbeiten
5:02 denn ob du von zwölf zahlen jetzt acht ankreuzt und vier frei lässt oder ob du vier ankreuzt und acht freilässt vollkommen egal die anzahl ist immer
5:11 dieselbe also 12 über 8 ist dasselbe wie 12 über 4 lässt sich sogar noch angenehmer rechnen wir haben oben und unten jeweils vier faktoren 12 x 11 x 10
5:22 x 9 und unten firma 3 x 2 x 1 x 1 brauchen wir nicht schreiben jetzt kannst du kürzen wieder wieduwilt zum beispiel viermal 3g 12 2 mit der 10 5
5:35 und überbleibt 99 x 5m mensch ist ja fast wie 100 x 5 nur einmal fünf weniger also 495 so einfach funktioniert dieser trick wenn du die ergebnisse mit einem
5:48 taschenrechner nachprüfen möchtest dann schauen wir nach einer ganz besonderen taste meistens ist es die zweite belegung von dem geteilt durch zeichen
5:55 da steht dann sowas wie ncr heißt nicht nach christus sondern and usa wenn du also zum beispiel so eine die nominal koeffizienten ausrechnen
6:05 möchtest tipps zu 1 8 dann die ncr taste und 3 wenn du auf ist gleich drückst du sollte dieses ergebnis bei rauskommen wir können jetzt aber auch unseren trick
6:15 in ganz allgemein für reelle und sogar komplexe zahlen n benutzen zum beispiel wenn wir den genial koeffizienten 1,5 über drei berechnen
6:24 wollen und lassen uns das lieber als buch schreiben fällt uns dann nämlich leichter im kopf zu rechnen dann haben wir wieder einen bruch bei
6:30 dem oben im zähler und unten im jänner jeweils drei fakt vorn stehen und männer haben wir 3 x 2 x 1 und oben haben wir auch drei faktoren
6:39 angefangen nur mit der drei halbe genau wie eben auch und der nächste faktor ist einfach diese zahl um 1 verringert also ein halt und ja der letzte faktor ist
6:50 wieder diese zahl um 1 verringert also - einhalten und das können wir wieder ausrechnen 3 und 3 kürzlich ein halt mal eineinhalb mal eineinhalb mal ein halb
6:59 sind wir bei einem 16 und das minus hier nicht vergessen das war's wir können aber auch ganz einfach therme vj -1 über allgemein k berechnen klar wir können
7:10 jetzt wieder diese formel hier benutzen aber da brauchen wir uns gar nicht die finger schmutzig zu machen sondern lasst uns einfach diese grundlegende
7:16 definitionen benutzen für diesen spezialfall das hier oben - 1 steht denn - eins plus eins fällt gerade weg durch j ist gerade -1 und wie viele - einzeln
7:29 werden jetzt multipliziert ja ein stück also - einst hoch also auch für solche tricks funktioniert der ganze spaß wenn du den bindungen jako effizienten jetzt
7:39 sogar noch weiter verallgemeinern möchtest also jede nur mögliche komplexe zk einsetzen möchtest dann kannst du das zb mit der gamma funktion machen muss
7:48 aber aufpassen dass hierbei keine ganzen negativen zahlen für erlaubt sind denn für jedes dieser and hat unsere gamma funktion eine pol stelle
7:57 funktioniert also nicht zu rechnen für alle anderen gilt aber dass dieser wie nominal koeffizient dann 0 ist wenn entweder k oder n - k eine ganze
8:09 negative zahlen ich würde aber sagen an dieser stelle lassen uns damit aufhören wir haben die grundlagen gesprochen und sind sogar
8:15 noch einen schritt weiter gegangen viel spaß damit hey ich hoffe ich konnte gerade mit diesem video weiterhelfen wenn du dich zufällig demnächst auf eine
8:23 mathe prüfung vorbereiten musste dann schau unbedingt mal unter diesem video nach ich habe dort mehrere online kurse von mir zur klausur vorbereitung
8:30 verlinkt sollte man eines der themen nicht dabei sein dann schreibt mir einfach eine mail und du erfährst als erstes wenn neue kurse
8:35 rauskommen wenn ihr das video weitergeholfen hat und du möchtest dass in zukunft weitere content erscheint dann erzähle einfach deinen kommilitonen
8:42 deinen freunden und seiner familie von mir und abonnieren kann danke dir