Einführung Exponentialfunktionen - Definition und Graphen
Matheretter
https://www.youtube.com/watch?v=8BLM3zZErjA

Transkript (automatisch erstellt)

0:05 Hallo liebe Schüler, heute schauen wir uns die Exponentialfunktionen an. Wir betrachten uns, was das ist, wie wir diese untersuchen können, welche Eigenschaften sie haben und
0:15 was wir mit ihnen berechnen können. Wir hatten ja schon die ganzrationalen Funktionen kennengelernt, also so etwas wie f(x) = x oder x² oder x²+2 oder x³+2x etc. Und unsere Variable hier
0:34 ist immer die Basis einer Potenz. Und bei den Exponentialfunktionen haben wir die Variable im Exponenten. Also oben hier. Das sieht dann so aus. Als Beispiel: f(x) = 3^x. Hier ist
0:50 also die Basis 3, die ist festgelegt, und der Exponent ist unbekannt. Deswegen Exponentialfunktion. Die allgemeine Form ist dann f(x) = a^x. Dabei muss der Wert immer positiv sein. Warum?
1:06 Wenn wir zum Beispiel mal für a die 0 einsetzen, dann hätten wir bei a^x ein, zum Beispiel, 0^1, 0^2, 0^3, aber auch ein 0^0. Und 0^0 ist nicht definiert. Da kuckt noch mal in
1:22 die Lektion Teilbarkeit. Oder wenn wir für a die 0 erlauben würden und dann im Exponenten eine negative Zahl hätten, wie die -1, dann wäre das ja 1 / 0^1, also 1 / 0 und das ist
1:34 gleichfalls nicht definiert. Division durch Null ist nicht definiert. Und wenn a negativ wäre, also wenn wir jetzt ein zum Beispiel (-2)^x hätten, was wäre das?
1:48 Dann können wir für x ein paar Werte einsetzen und würden feststellen... Nehmen wir mal hier die 1, dann wäre das -2, das klappt. Hoch 0, das wäre dann die 1. Aber wenn wir jetzt hier
2:00 mal eine 0,5 einsetzen bzw. eine 1/2, dann wäre das Wurzel aus -2 und das ist nicht definiert. Deswegen schließen wir hier auch die negativen Zahlen für a aus. Das heißt,
2:14 ganz korrekt schreiben wir jetzt hin: a ist konstant und positiv, außerdem a ungleich 0, da sonst 0^0 dabei wäre. Und unser x, hier dürfen wir tatsächlich dann alle reellen
2:25 Zahlen einsetzen. Wir schreiben: x Element aus den reellen Zahlen. Gut. Jetzt haben wir also unsere Exponentialfunktion definiert und können uns die Graphen als nächstes
2:36 anschauen. Fangen wir noch mal mit den ganzrationalen Funktionen an. Das hier ist f(x) = x, also das ist ein Graph einer ganzrationalen Funktion. Nehmen wir mal x², dann haben wir das kennengelernt,
2:50 die Parabel. Und nehmen wir mal x³+x+1 und dann haben wir hier diesen geschwungenen Graphen. Erinnert euch daran. Schauen wir uns nun die Exponentialfunktionen an. Zum Beispiel 2^x.
3:04 Dann sehen wir, sie verläuft mit so einem langen Schwung, eine lange Kurve ist das. Nehmen wir mal ein 3^x dazu, dann verläuft das so. Oder ein 4^x, dann verläuft das so.
3:18 Also immer steiler, und wir erkennen schon hier, sie verlaufen immer durch den gleichen Punkt (0|1), das ist offensichtlich ein Merkmal. Wenn wir jetzt mal unsere Basis von 0 anfangend
3:31 auf 10 erhöhen, also 1^x, 2^x, 3^x usw., sieht das wie folgt aus. Das ist 1^x, wir sehen, egal was wir für x einsetzen, wir erhalten immer 1. 1^2 ist 1, 1^4 ist 1, 1^6
3:48 ist 1. Also wir kriegen eine konstante Funktion hier. Dann 2^x, 3^x, 4^x, 5^x, 6^x, 7^x, 8^x, 9^x, 10^x. Ihr seht, der Graph sieht sehr ähnlich aus, und wir erkennen: Um so größer
4:08 das a ist, also unsere Basis, desto schneller wächst er. Und wie gesagt, der Punkt hier (0|1) ist für alle der gleiche. Machen wir mal eine Fallunterscheidung. Also: Wenn a = 1 ist,
4:25 haben wir, wie wir gerade gesehen haben, eine konstante Funktion. Wenn a größer 1 ist, also zum Beispiel 2, 3, 4, 5 usw., dann haben wir eine streng monoton steigende
4:38 Funktion. Also sie wächst immer. Das heißt mit steigenden x-Werten haben wir auch immer einen steigenden y-Wert. Alle y-Werte sind positiv, ihr werdet hier unten nie den Graphen sehen.
4:53 Alle y-Werte sind positiv. Diese Art von Funktion wird übrigens für Wachstumsprozesse benutzt. Und der 3. Fall: Unsere Basis hat einen Wert zwischen 0 und 1. Nehmen wir als
5:07 Beispiel 0,8^x. Dann sehen wir, verläuft der Graph fallend. Streng monoton fallend. Die y-Werte sind immer noch alle positiv, also wir haben nie einen negativen y-Wert,
5:21 und wir sehen, das ist 0,8^x, 0,7^x, 0,5^x, 0,1^x. Wir erkennen also, dass dies eine streng monoton fallende Funktion ist. Sehr schön, lasst uns im nächsten Video die Eigenschaften
5:37 der Exponentialfunktionen zusammentragen.