INTEGRALRECHNUNG - alle Integrationsregeln fürs Mathe Abi | HOW TO MATHE ABI 2026
Mathe mit Rick
https://www.youtube.com/watch?v=7tIzhMOvnds

Transkript (automatisch erstellt)

0:00 in diesem Video zeige ich dir alle integrationsregeln die du brauchst um in der Integralrechnung so richtig abzuliefern und am Ende vielleicht auch
0:09 ein richtig erfolgreiches Abi zu schreiben herzlich willkommen bei Mathe mit Rick das Skript das ich für dieses Video erstellt habe indem jetzt hier
0:18 also gleich alle integrationsregeln zu sehen sind kannst du natürlich kostenlos von meiner Homepage runterladen den Link dazu findest du in der Infobox bevor wir
0:27 starten bitte ich Dich diesen Channel zu abonnieren weil wir dann öfter zusammen lernen werden und darauf habe ich richtig Bock und jetzt schauen wir doch
0:35 mal rein alle wichtigen integrationsregeln und erst einmal brauchen wir noch zwei Definitionen die sind immer richtig
0:45 wichtig Definition 1 ist der Begriff der Stammfunktion Stammfunktion groß F heißt Stammfunktion der Funktion klein f genau dann wenn groß F V x klein f vonx merk
1:02 dir diesen Kasten und versuch dich immer daran zu erinnern wenn du den Begriff Stammfunktion liest hat mit Integralrechnung erstmal noch nicht so
1:12 viel zu tun denn eine Stammfunktion ist ja abgeleitet die Ausgangsfunktion ja dann Definition 2 das unbestimmte
1:24 integral dieser Ausdruck hier heißt das unbestimmte integral der Funktion ein F es beschreibt die Menge aller Stammfunktion von F es gilt das
1:36 unbestimmte integral F vonx DX = groß f vonx + C und C ist eine reelle Zahl das wichtigste Wort hier in dieser Definition ist aller die Menge aller
1:51 Stammfunktion das ist also eine funktionschar wenn man so möchte die Menge aller Funktion die abgeleitet genau diese Funktion hier erzeugen
2:02 würden diesen Kasten auch merken und daraus ergibt sich dann eine Folgerung eine Folgerung analog zu den Ableitungsregeln existieren
2:13 integrationsregeln um Stammfunktion zu erzeugen wenn du jetzt sagst uh Ableitungsregeln müsste ich mir auch noch mal angucken dazu habe ich auch ein
2:22 Video erstellt werde ich dir auch verlinken schau da auch gerne mal vorbei so integrationsregeln insgesamt gibt's davon acht Stück ich werde sie dir alle
2:30 zeigen ich habe auch Kapitel für dieses Video eingefügt s dass du einfach zwischen diesen Kapiteln hin und her hüpfen kannst und dir jede
2:37 integrationsregel einzeln anschauen kannst schau auf jeden Fall ganz am Ende bei der Zusammenfassung vorbei weil da erzähle ich noch mal die aller aller
2:45 aller allerwichtigsten Inhalte starten wir mal okay wir starten mal mit erstens elementare integrationsregeln vier Regeln die du
2:55 dir am besten genauso merkst das unbestimmte integral von E hoch x DX ist e hoch x + C und C ist eine reelle Zahl e hoch x ist integriert
3:10 e hoch x ja das unbestimmte integral von E hoch x ist also e hoch x + C C ist eine reelle Zahl das haben wir ja gesagt alle
3:20 Stammfunktion sind hier angegeben für C kannst du jetzt jede beliebige Zahl die überlegen 1 2 3 1/b 1 Dr 1/ -1-2- 3 Wurzel 2 Wurzel 3 was auch immer das ist
3:33 quasi m konstanter summant und der würde ja beim Ableiten wegfallen beim Ableiten wird ja
3:41 ein konstanter sumant zu 0 und deswegen haben wir hier eben die Menge aller Stammfunktion e X ist integriert e x das unbestimmte integral von 1 dur x DX ist
3:52 der Logarithmus von Betrag von X + C C ist eine reelle Zahl Sinus ist integriert Cosinus Cosinus ist integriert Sinus als
4:04 Shortcut kannst du dir diesen Kreislauf hier merken Sinus ist integriert min Cosinus min Cosinus ist integriert min Sinus min Sinus ist integriert cosinus
4:15 und Cosinus ist integriert Sinus beim Ableiten würdest du genau andersrum gehen ich merke mir immer ableiten ist im uhurzeigersinn integrieren
4:26 entgegen gegenläufig ne gegenläufig zum Urzeigersinn und dann passt das diese vier elementaren integrationsregeln gerne merken zweitens die
4:37 konstantenregel ziemlich simple Regel das unbestimmte integral K DX ist KX + C und K und C sind reelle Zahlen wenn also hier einfach nur eine Zahl steht hängst
4:48 du an diese Zahl in X ran und schreibst + C musst du nichts rechnen Beispiele das unbestimmte integral von 8 DX ist 8x + C
5:00 warum wenn du das hier ableiten würdest dann würde doch 8x zu 8 werden und + C ist ein konstanter summant wird beim Ableiten zu 0 das Ableiten erzeugt also
5:11 die 8 das sind alle Funktionen die abgeleitet 8 ergeben C kann wieder jede beliebige reale Zahl sein damit haben wir hier eben die Menge aller
5:21 Stammfunktion aus dem unbestimmten integral von -2 DX wird -2x + C und das unbestimmte integral von 15 DX ist 15 x X + C merkt dir gern den Shortcut bei
5:36 konstanten summanten einfach ein X ranhängen bei konstantenmmanten X ranhängen und dann eben + C das ist die konstantenregel relativ easy genauso wie
5:46 die faktorregel faktorregel besagt dass wenn du hier ein konstanten Faktor hast konstant heißt da steckt kein X drin also einfach eine Zahl dann kannst du
5:56 diesen Faktor aus dem Integral rausziehen der konstante Faktor bleibt einfach erhalten na die Integration hat auf diesen Faktor keinen
6:06 Einfluss Beispiele das unbestimmte integral von 3 x E hooch x DX ist 3imal das unbestimmte integral von E hooch x DX also die 3 hier die wird einfach vor
6:18 das Integral gezogen das geht auch mit negativen Zahlen oder mit Brüchen statt 1 dritt hier im integral schreibe ich ein dritt vors integral und dann wird
6:28 eben e x und sin x noch mal ein sind integriert mit Hilfe der elementaren Ableitungsregeln du merkst dir gern konstante Faktoren bleiben beim
6:36 Integrieren erhalten 3 bleibt 3 ein Drittel bleibt ein Drittel K bleibt K viertens die summenregel ziemlich einfach die gibt's auch so bei den
6:46 Ableitungsregeln heißt einfach nur ne wenn du hier eine Summe hast f vonx + g vonx kannst du das Integral aufsplitten und kannst diese beiden integrale
6:54 einzeln berechnen ja Beispiele unbestimmtes Integral von Klammern x² + 4 DX da berechnest du erst das unbestimmte integral von x² und dann das
7:05 unbestimmte integral von 4 same hier du hast eine Summe x hoch 3 + 5x integral wird aufgesplittet in dieses Integral und dieses Integral dazwischen steht ein
7:16 Plus wenn jetzt hier ein Minus stehen würde wäre hier eben auch minus summregel heißt einfach nur man kann in einer Summe die summanten einzeln
7:26 integrieren und das Integral aufsplitten Summen werden die summanten einzeln integriert fünftens ist die Potenzregel eine Potenz haben wir hier
7:39 und wir wollen sie integrieren und du hast ein N das ist der Exponent der wird beim Integrieren um 1 erhöht du rechnest also n + 1 und schreibst vor die Potenz
7:50 einfach noch mal 1 dur n + 1 hinten das C nicht vergessen n darf nicht -1 sein weil dann hätten wir hier -1 + 1 und durch 0 dürfen wir nicht teilen außerdem
8:02 wäre x hoch -1 ja wieder 1 durch x und das wäre eine elementare Regel das wäre ja dann integriert wieder der Logarithmus si Kapitel 1 Beispiele
8:12 helfen immer ne aus x² wird ein 3 x hoch 3 warum 2 um 1 addieren ist 3 und dann die 3 in den Nenner schreiben und Kehrwert davon ein
8:25 dritt 3 x hoch 3 + C aus x hoch 3 wird 4 x hoch 4 ne 3 + 1 ist 4 4 Nenner geht auch bei höheren Zahlen x hoch 17 ist integriert ein 18 x hoch 18 + 10 wenn
8:39 wir jetzt wieder ableiten würden würde die 18 hier nach vorne kommen hätten wir 18 18 wäre 1 oben einer weniger wäre wieder 17 also die Potenzregel der
8:50 Integralrechnung und die Potenzregel der Differentialrechnung also beim Ableiten und beim Integrieren das sind quasi hier gegenoperationen das geht auch wenn der
9:00 Exponent negativ ist ne x hoch -2 -2 + 1 ist -1 -1 im Nenner wäre 1 durch -1 wäre einfach und es geht auch bei Wurzeln die Formen
9:13 wir um in Potenz mit einer gebrochenen mit einem gebrochenen Exponenten 13 + 1 1/3 + 33 sind 43 kehwert von 43 3/4 ja kannst du gerne
9:30 noch mal in Ruhe anschauen pausiere auch gerne das Video da schau noch mal ins Script dass ich dir auf der Homepage Z Verfügung stelle und dann sollte das
9:39 klar gehen die Potenzregel ist sehr sehr wichtig das ist eine sehr sehr wichtige Regel die findet immer mal wieder Anwendung sechstens die lineare
9:51 Substitution okay wir haben eine Funktion bei der die innere Funktion also eine verkettete Funktion haben wir bei der die innere Funktion linear ist
10:01 also m X + n dann kannst du diese Funktion integrieren indem du die äußere Funktion integrierst ne aus klein f wird groß F
10:12 und indem du den Kehrwert der Steigung Steigung ist m ja W das 1 durch M als Vorfaktor davor schreibst das ist quasi so ein Ausgleichsfaktor dieses 1 durch M
10:25 beim Ableiten müsstest du ja die Kettenregel anwenden und die Leitung der inneren Funktion wäre m und m durch M wäre wieder 1 ja zeig dir ein Beispiel
10:37 oder zwei sogar wir haben 2x + 4 in Klammern hoch 3 und wir wollen das Integrieren wie machen wir das zunächst einmal ne ist die innere Funktion ja
10:48 hier linear wir haben 2x + 4 das entspricht der Struktur m X + n jetzt schreiben wir den Kehrwert der Steigung davor
10:59 Steigung ist 2 herwert ist ein/b das ist dieses 1 durch m und jetzt genügt es nur noch die äußere Funktion zu integrieren also nur noch dieses hoch
11:10 3 wird jetzt integriert und das machen wir mit der Potenzregel 3 einer mehr ist 4 4 in den Nenner ist ein Viertel + C nicht
11:20 vergessen ist 1 dur 2 oder 1/b ist quasi diese Ausgleichsfaktor 1 dur m 1/ kommt von der Potenzregel hoch 4 auch innere Funktion kann so stehen bleiben
11:33 jetzt kann ich ein halb und ein Viertel noch zu ein Achtel zusammenfassen dann ist das hier meine fertige Lösung das sind alle Funktionen die abgeleitet in
11:42 Klammern 2x + 4 hoch 3 ergeben wenn du Bock hast kannst du das Video pausieren einmal ableiten und dann wirst du sehen dass du genau da drauf kommst ja das
11:52 ganze geht auch wenn die äußere Funktion eine e-Funktion ist das ist die innere Funktion linear ist 3 X - 2 entspricht der Struktur hier m 3 N - 2 wir
12:04 schreiben wieder 1 dur m vor die Funktion wäre jetzt hier ein Drittel Beil m 3 ist Drittel und dann wird noch die e-Funktion integriert haben wir ja
12:13 ganz am Anfang in Kapitel 1 hier lernt die bleibt so wie sie ist dann haben wir 1 dr mal e hoch 3x - 2 + C und C ist eine reale Zahl auch hier kannst du
12:22 wieder ableiten und du wirst sehen dass du e hoch 3x - 2 rausbekommen wirst diese Regel heißt L Substitution und du kannst sie immer dann anwenden wenn die
12:32 innere Funktion linear ist wenn es eine lineare Substitution gibt dann wird es auch eine nichtlineare Substitution geben und die sieht so aus okay das
12:42 schon bisschen anspruchsvoller wir schauen mal rein wir haben eine Funktion die sich als Produkt einer Kette einer verketteten Funktion und der Ableitung
12:51 der inneren Funktion schreiben lässt wenn man das jetzt so formal aufschreibt sieht das nicht so schön aus macht aber nichts es genügt dann die
13:01 äußere Funktion zu integrieren ich zeige dir das direkt mal an dem Beispiel integral von 2x mal e hoch x² DX e hoch x² das ist eine Kette die
13:14 innere Funktion heißt x² die Ableitung der inneren Funktion ist 2x und die steht als Faktor vor der Kette Ableitung der inneren Funktion als
13:27 Faktor vor der Kette dann genügt es nur noch die äußere Funktion zu integrieren und das ist das da müssen wir nur noch e integrieren e bleibt ja wie es ist ne
13:38 haben wir in Kapitel 1 uns angeschaut dann haben wir e hooch x² + C und C ist Element R warum ist das so wenn wir jetzt die Kettenregel beim Ableiten
13:47 anwenden würden dann würde die Ableitung der inneren Funktion ja da vorkommen ja heißt wir na ja haben ja einfach eine Umkehrung der Kettenregel bei der die
13:57 Ableitung der in Funktion schon davor steht das ist die Idee haben wir auch bei zweitens 4 x hoch 3 mal in Klammern x hoch 4 - 2 hoch 5 Ableitung der
14:09 inneren Funktion x hoch 4 ist 4x hoch 3 steht schon davor super da müssen wir nur noch diese Kette hier integrieren mit der Potenzregel ne aus 5 wird 6 5 +
14:22 1 ist 6 1/ se davor klatschen + C hinten dran C ist Element R easy ja wenn du jetzt wieder ableiten würdest wozu dich einlade ne mach das ruhig mal wenn du
14:33 das ableitest siehst du dass das hier rauskommen wird wenn nicht muss mir noch mal ein Kommentar schreiben dann gucken wir uns die Sache noch mal an ja
14:42 drittens da haben wir x²adrat mal in Klammern x hoch 3 + 1 hoch 3 jetzt steht die Ableitung der inneren Funktion noch nicht davor denn die Ableitung der
14:53 inneren Funktion wäre ja 3x² x hoch 3 ist abgeleitet 3x² hier steht aber nur x² ja da können wir jetzt ein bisschen tricken einer meiner
15:04 lieblingstricks die nahhafte 1 richtig klasse und damit kann man richtig richtig viele schöne Sachen machen bei der nichtlinearen Substitution ich
15:13 multipliziere dieses Integral mit 3/3 geht denn 3/3 ist 1 ich verändere den termwert nicht und ich ziehe jetzt die obere drei also den Zähler ins
15:25 integral hinein ist quasi na ja eine umgekehrte Faktor wenn man so möchte ne die Faktoren die kann man ja rein und rausziehen wie man möchte vor dem
15:32 Integral würde ein Drittel übrig bleiben ne oder andersrum g sagt 3 und ein Drittel würde sich ja zu ein ergänzen bzw diese dreien würden sich rauskürzen
15:42 wä der termwert der gleiche jetzt haben wir hier aber die Ableitung der inneren Funktion jetzt steht hier 3x² und jetzt können wir ganz
15:50 normal hier die Regel anwenden habe ich in der Zeile hier gemacht Janis die habe ich einfach doppelt aufgeschrieben nice na gut 1 dritt bleibt auf jeden
16:04 Fall so stehen 3x² haben wir da alles easy jetzt können wir die äußere Funktion integrieren aus 3 wird hier laut Potenzregel 4 ein
16:13 Viertel schreiben wir davor dann haben wir hier na ja die fertige Lösung wir können ein Drittel und ein Viertel noch zu einem zwlel zusammenziehen und dann
16:21 haben wir hier ein zw mal in Klammern x H 3 + 1 H 4 + C und C ist eine reelle Zahl merkt ihr gerne die nahhafte ein wenn du sagst es war ein bisschen
16:32 schnell und es war ein bisschen viel auf einmal schau auf jeden Fall noch mal unten in die angefügten Playlists die Playlist die ich dir empfehle heißt
16:40 integrieren lernen da habe ich 30 integrale am Start und da üben wir ganz langsam und strukturiert alle wichtigen integrationsregeln noch mal an ganz
16:49 vielen Beispielen integrieren lern gerne noch mal reingucken da sind auch Übungen zur nichtlinearen Substitution dabei die aus meiner Sicht schwierig Regel die in
16:59 der Schule drank kommmen kann heißt partielle Integration wir wollen Produkt integrieren das besteht aus u von x und
17:07 V von X das heißt sage ich gleich dann ist das U von X mal V von x- integral von von X mal V von X
17:18 DX schauen uns lieber direkt ein Beispiel an ich möchte x mal e hoch x integrieren u von X ist unser und V von X ist e x
17:31 wir weisen einfach zu und ich merke mirimmer u von X muss der Faktor sein der beim Ableiten leichter wird ne wir leiten ja hier hinten noch mal ab da hab
17:40 wir u von x und da soll eine Erleichterung eintreten V von X das ist dann e x so dann haben wir u von x und V von X u
17:51 können wir einfach stehen lassen ist x und was ist jetzt V wenn V e X ist ist doch v auch e x weil e x bleibt doch beim Ableiten und beim Integrieren
18:02 bestehen D haben wir also hier u und v u ist x und V ist e x integral integral jetzt kommt u von X wir leiten
18:13 also x ab das ist 1 und V haben wir ja hier schon das ist einfach e x E x ja das ist u das ist v das ist USt das ist v
18:29 x mal e hooch x kann man stehen lassen - 1 x E hooch x DX das ist 1 x E hooch x das ist e hooch x integriert wieder e hooch X + C nehmen wir mit dann haben
18:39 wir x mal e hooch X - e hooch X + C ich kann e hoch x ausklammern dann haben wir e hoch x mal in Klammern X - 1 + C und C ist wieder eine reelle Zahl wenn du
18:50 möchtest kannst du das gerne mal mit der Produktregel ableiten und du wirst sehen dass wir wieder auf X mal e hooch x kommen partielle Integration brauchen
18:58 ein bisschen Übung da kann man auch schnell durcheinander kommen mit u und v und USt und V man kann auch mehrfach partiell integrieren wenn dieses
19:07 Integral hier das hier noch nicht so schön ist wie jetzt der Fall ist wenn ihr noch mal x mal eoch x stehen würde dann müsste man eben noch mal partiell
19:16 integrieren das geht habe ich auch schon öfter in Klausuren gesehen das Bedarf ein bisschen Übung wir kommen zur versprochenen
19:25 Zusammenfassung der erste Punkt mit Hilfe von integrationsregeln können Stammfunktionen erzeugt werden wichtig integrieren ist nicht
19:37 eindeutig integrieren ist nicht eindeutig also wir kriegen kein eindeutiges Ergebnis wir kriegen unendlich viele Ergebnisse unendlich
19:46 viele Funktionen denn das unbestimmte integral ist die Menge aller Stammfunktion hier noch mal das was du dir am besten merkst zum Thema
19:54 unbestimmtes Integral ja in der Schule sind acht integrationsregeln relevant die elementaren
20:05 integrationsregeln integral von E hoch x von 1 dur x von Sinus x und von Cosinus x ja kommt ein bisschen drauf an wie man zählt das ist wahrscheinlich schon ganz
20:17 gut wenn du diese vier Regeln kennst steht ja auch viel in der Formelsammlung müsste also klar gehen konstantenregel faktorregel und summenregel die benennt
20:27 man in der Schule meistens gar nicht sondern man macht das ganz intuitiv ne bei summenregel z.B werden die beiden summanten Einzel integriert das ist
20:33 eigentlich allen klar Potenzregel ganz wichtig lineare Substitution nichtlineare Substitution und als Addon würde ich mal sagen noch die partielle
20:43 Integration vor allem im Leistungskurs oder wenn es ein bisschen schwieriger sein soll ja
20:50 integrationsregeln sind Tools du weißt ja dass ich in meinen Videos mit Tools arbeite also mit Techniken die die man sehr sehr gut üben kann und alles was im
21:01 toolbereich stattfindet leben wir warum weil man gut üben kann na dazu würde ich auch einladen du kannst diese Regeln gut üben schau auf jeden Fall in diese
21:11 Playlists hinein vier davon gibt's integrieren lern unbestimmte integrale bestimmte integrale und uneigentliche integrale da sind alle möglichen
21:21 Techniken alle möglichen Tools Tricks und Tipps dabei sodass du wirklich gut üben kannst mach das denn integrieren ist eine Technik die man gut üben kann
21:31 ja ein bisschen wie ableiten nur ein bisschen komplizierter es ist wichtig Punkt 5 die Funktion vor dem integrieren zu vereinfachen also wenn du irgendwas
21:41 vereinfachen kannst wenn du kürzen kannst oder irgendwas zusammenziehen kannst mach das weil sonst wird's halt häufig sehr sehr schwer ja beim
21:49 Integrieren ist es wirklich wichtig gut zusammenzufassen beim Ableiten nicht ganz ähm so wichtig weil man mit den Regeln schon viel machen kann beim
21:56 Integrieren ist es wirklich zentral ja Integralrechnung besteht aus meiner Sicht aus den Definition aus den integrationsregeln und aus den
22:06 Anwendungen zu den Definition und all dem was du irgendwie brauchst habe ich auch noch mal ein zusammenfassungsvideo das noch ein bisschen allgemeiner ne da
22:15 stecken also alle Definitionen drin und die wichtigsten Anwendung eine Flächenberechnung Flächen unterhalb eines Grafen Flächen zwischengrafen
22:23 rotationsvolumina Mittelwerte all diese schönen Dinge Videos auch noch mal verlinkt kannst auch noch mal reingucken ja würde
22:31 sagen ja das war ein ganz guter Überblick da waren die wichtigsten integrationsregeln dabei die du im Abi brauchen wirst wenn du irgendwelche
22:39 Fragen hast wenn irgendwas unklar ist oder wenn du sonst in irgendein Art und Weise mit mir Kontakt aufnehmen möchtest dann freue ich mich darüber schreib mir
22:48 alles was du mir sagen möchtest gerne in die Kommentare schau in die Infobox da stehen die Dinge drin die ich Dir jetzt
22:54 empfehlen würde mach auf jeden Fall weiter bleib auf jeden Fall dran wir werden die Sache gemeinsam hinkriegen das verspreche ich dir wenn du mit mir
23:03 weiter trainierst dabei wünsche ich dir viel Erfolg wir sehen uns wieder bis bald dein
23:14 rck