Verhalten in der Umgebung von Polstellen
mathemagazin
https://www.youtube.com/watch?v=6lw_5c85zfU

Transkript (automatisch erstellt)

0:00 hi und herzlich willkommen im mathemagazin Thema in diesem Video Verhalten in der Umgebung von Polstellen bei gebrochen rationalen Funktionen wir
0:10 steigen gleich mal mit einem relativ einfachen Beispiel ein fonx = 0,5 durch x- 3 zum Quadrat so Polstellen was ist das
0:21 eigentlich Polstellen sind unsere definitionslücken also an der xstelle an der wir keinen y W annehmen werden und das ist immer dann der Fall wenn unser
0:34 Nenner für dieses x 0 werden würde also wann würde der Nenner hier 0 werden wenn wir für X3 einsetzen 3 - 3= 0 zum Quadrat ist 0 also 3 ist unsere
0:46 Definitionslücke man sagt auch senkrechte Asymptote und jetzt eben neues Wort Polstelle wenn wir mal in unsere Skizze
0:53 schauen dann ist das hier da wird es keinen ywert geben bei x = 3 die Funktion habe ich auch schon mal hingezeichnet die schaut dann so
1:05 aus wenn man aber den Graf nicht hat wie kann man jetzt rechnerisch bestimmen wie sich die Funktion hier im Umkreis in der Umgebung der Polstelle verhält in dem
1:19 Fall geht sie nach plus unendlich jeweils hoch von links kommend und von rechts kommend wie kann man das aber berechnen
1:29 undw zwar setzt man sich da den Limes auf diese Funktion und lässt x gegen 3 laufen und zwar von der linken Seite das ist jetzt
1:39 hier lila also x kleiner 3 aufen von X kleiner 3 an die 3 heran und jetzt nehmen wir uns die Funktion ziehen die 0,5 als Faktor nach
1:53 vorne und jetzt überlegen wir uns mal was passiert denn hier wenn wir z.B mal 2,9 haben dann wird das -0,1 aber dieses Quadrat hier bringt es
2:09 wieder zu + 0,1 und 1 durch 0,1 zum Quadrat das hier geht gegen 0 wenn wir das jetzt 2,9999 hier eintragen und das auch noch
2:25 mal nach -3 zum Quadrat nehmen also das hier geht dann gegen 0 und wenn der Nenner gegen Null geht egal was oben steht geht die Funktion oder geht der
2:39 Bruch gegen unendlich und dann haben wir hier als unendlich mal 0,5 ist unendlich und bei uns eben
2:50 plus unendlich weil das hier immer immer ein minimal größer als 0 ist durch dieses Quadrat werden wir hier immer positiv schauen wir uns das ganze mal an
3:02 wir kommen von rechts an die dre heran also x gegen 3 und X ist aber größer als 3 wir machen das gleiche wieder wie oben wir ziehen uns die 0,5 nach vorne und
3:15 jetzt setzen wir hier z.B mal 3,1 ein dann kommt 0,1 raus zum Quadrat ist irgendwas kleines wenn wir hier 3,001 einsetzen -3 es wird also immer
3:28 kleiner zum Quadrat verkleinert das auch noch mal also hier gehen wir wieder gegen 0 und dieses 0 plus heißt wir sind hier unten immer positiv durch dieses
3:40 Quadrat und somit geht dann das ganze hier immer gegen plus unendlich und das ist das was wir sehen wir kommen
3:54 von links an die drei heran gegen gegen plus unendlich und wir kommen von rechts an die drei heran und gehen auch gegen plus unendlich so und jetzt ist die
4:03 Frage gibt es dafür denn irgendwie eine Formel oder ein Schema F um das schnell zu erkennen ja das gibt es und zwar man unterscheidet zwischen
4:15 Polstellen mit Vorzeichenwechsel und Polstellen ohne Vorzeichenwechsel ja D müsste man natürlich ohne schreiben das korrigieren wir hier noch kurz
4:31 wir haben mit Vorzeichenwechsel schaut z.B so aus wir kommen hier von rechts an unsere Polstelle heran und gehen gegen plus unendlich und auf der linken Seite
4:45 gehen wir gegen minus unendlich plus unendlich minus unendlich Vorzeichen Wechsel von minusunendlich kommen wir und gehen an
4:55 die Polstelle rein gehen hoch nach plus undendlich hier hier gehen wir runter nach minus unendlich das ist auch ein Vorzeichen
5:03 Wechsel und einmal nach plus einmal nach minus haben wir immer dann wenn wir eine Polstelle ungerade Ordnung haben das heißt jetzt wenn wir hier hoch 1 haben
5:17 oder wenn wir hier hoch 3 hätten oder wenn wir hier hoch 5 hätten und ob es dann so verläuft oder so verläuft hängt davon ab ob wir etwas negatives oder was
5:30 positives oben haben bei etwas positiven haben wir diese klassische Form und bei negativ dreht sich rum dann laufen wir so und jetzt schauen wir uns mal
5:43 Polstellen ohne Vorzeichenwechsel an und das ist immer dann wenn die Polstelle von gerader Ordnung ist also Quadrat oder hoch 4 oder hoch 6 oder so weiter
5:57 und dann haben wir den Fall von oben da haben wir auch eine Gerade Polstelle wir gehen entweder nach plus unendlich auf beiden Seiten oder wir
6:08 gehen nach minus unendlich auf beiden Seiten hängt wieder davon ab haben wir einen positiven Wert oder einen negativen Wert bei negativ gehen wir
6:15 runter bei positiv haben wir uns ja oben mal ausgerechnet gehen wir nach oben so und jetzt habe ich noch ein weiteres Beispiel und zwar eine
6:25 Kombination wir haben die Funktion Z durch X + 1 und x- 2 hoch 4 so das hier da könnte man jetzt auch eine 1 oben hin
6:39 machen wenn man wollen würde das heißt wir haben hier eine Polstelle ungeradeordnung das sind wir hier und hier haben wir eine Polstelle gerade
6:49 Ordnung das sind wir hier und wie schaut das ganze jetzt aus na wo sind unsere Polstellen erstmal wir haben Polstelle wir können auch noch mal so aufteilen
6:59 bei 1 ungerade Ordnung und bei Z geradeer Ordnung so dadurch dass wir kein Minus hier oben haben haben wir einmal diesen Fall und bei der ungeraden
7:17 Ordnung diesen Fall also das ist das hier und das hier ist dann das hier so und das war's von mir zu diesem Thema ich hoffe ich konte weiterhelfen und
7:30 jetzt viel Spaß beim Verstehen ciao