Rechenregeln mit Summenzeichen (Teil 1): Grundlagen
MathePeter
https://www.youtube.com/watch?v=6YAh_UKGF7A

Transkript (automatisch erstellt)

0:00 wenn bei dir in der schule oder dem studium öfter mal das xoom zeichen vorkommt dann hast du mächtige vorteile wenn du einige spielregeln im umgang mit
0:07 summen beherrscht welche rechnen die sätze drauf haben solltest das erkläre ich dir jetzt los gehts besprechen wir kurz die grundlagen und fangen mit der
0:14 leeren summe an eine summe ist zum beispiel dann leer wenn die erste zahl die wir für unser k einsetzen größer ist als letzte zahl die wir für unser k
0:23 einsetzen zum beispiel wenn wir hätten die summe von k gleich fünf bist gleich drei dann heißt es naja die kleinste zahl die
0:32 wir einsetzen sollen ist 5 aber die größte zahl die wir einsetzen sollen ist die drei und da merkst es schon das widerspricht sich das passt nicht
0:39 eine andere schreibweise wenn du mal sowas beobachtest ist einfach nur ja dass du die lehre mängel hin schreibst als index menger spricht dass wir nicht
0:47 eine einzige zahl für das k einsetzen werden ok wenn wir nichts einsetzen dann kommt raus vielleicht ist es ganz intuitiv für dich die null
0:55 aber aufgepasst es ist nur deshalb die null bei der leeren summe weil die null das neutrale element bezüglich der addition ist er bei einem produkt wenn
1:05 du da ein leeres produkt hast dann kommt das neutrale element bezüglich der multiplikation also die 12 raus das zweite recht gesetzt dass du drauf haben
1:13 solltest befasst sich mit der skalaren multiplikation das heißt wenn unsere zahlenfolge ak jetzt irgend eine konstante dran multipliziert ist zum
1:21 beispiel c dann kannst du diese konstante ganz einfach ausklammern also aus dieser summe rausziehen das bedeutet wir haben zehn mal der
1:30 summe von acker machen jetzt aber mal direkt am beispiel damit wir es uns besser vorstellen können sagen wir wir haben eine reihe also eine summe mit
1:39 unendlich vielen summenden und die funktion die wir auf turnieren das ist fünf geteilt durch zwei hochkar dieses rechnung gesetzt wir nehmen uns die
1:48 konstante zahl die zahl die nichts mit karts zu tun hat und einfach hier irgendwie dran multipliziert wird und ziehen sie aus der summe raus gut
1:57 das ist in diesem fall die fünf können wir also einfach rausnehmen fünfmal unserer reihe von k gleich null bis unendlich von 1 durch zwei jk und jetzt
2:08 können wir diese geometrische reihe ganz einfach lösen so wie ich hier noch in wien zur geometrischen reihe zeige okay wir
2:14 können es aber auch jetzt gern noch mal schnell zusammen machen da jetzt hier oben keine fünf mehr steht sondern eine 1 können wir jetzt einen richtig geht ja
2:20 alles rechnen selbst benutzen wir können einfach einen hoch k1 dazu denken denn einst hoch k 1 x 1 x 1 1 1 wie viel ein wie auch immer multiplizieren es bleibt
2:29 1 und deswegen können wir es hier dazufügen hier konnten es aber nicht nur fünf hoch drei ist natürlich nicht gleich fünf sondern wenn wir das tun
2:37 können wir hier einen rechnungs benutzen und diese ist ganz einfach rausziehen also haben wir hier ein halbhoch k oder wenn wir uns nochmal ordentlich
2:44 hinschreiben fünfmal unserer reihe mit dem terrain halbhoch k und das ist ganz klassisch eine geometrische reihe weil der lauf parameter über den wir hier
2:57 summieren nur einzig und allein im exponenten drin vorkommt noch nicht klar quadrat elend aber so ein spaß einfach so eine lineare funktion dann nennt man
3:05 diese basis hier ist ein halb die nennt man cool und das schöne ist um diese geometrische reihe ganz einfach zu lösen aber gab es eine tolle summe formel
3:14 müssen einfach nur einsetzen 1 geteilt durch 1q also was auch immer dass sie für eine zahl ist in unserem fall ein halb eins - ein halb ist ein halb der
3:25 wert von eineinhalb ist 2 und 5 x 2 da kommt gerade 10 bei raus was noch um welten einfacher ist unwesentlich schneller geht ist wenn deine funktion
3:36 die duh aufsummiert jetzt konstant ist das bedeutet dass jeder einzelne so mahnt gleich dieser konstanten ist für karl gleich eins haben wir ein cmk
3:45 gleich zwei haben wir einen zeh für k gleich drei für k gleich vier und für k gleich fünf also immer wenn wir für jedes vorkommende k die zahlen eins zwei
3:54 drei vier fünf einsätzen er dann erhalten wir weil die funktion der konstante ist c + c + c + c + c also insgesamt fünf mal ziehen und wir können
4:03 es auch gerne für allgemeinen sowie ich öfter mal vorkommen zum beispiel auch in der statistik aber wenn du mit dem maximum light methode etwas schätzen
4:10 sollst im allgemeinen dann hast du eben so ein ausdruck nicht mit einer 5 sondern zb mit einem gutes bedeutet genau dasselbe c + c + c + c + c
4:19 ja und wie viele cs haben wir hier oben waren es fünf stück hier unten drei männer beraten sind es eben ein stück einmal zählen
4:28 so und jetzt nicht kleine falle das kommt auch öfter mal vor wenn wir uns mal diese geometrische reihe anschauen kuh hoch und sollten wir jetzt in diesem
4:38 spezial fall sein dass bei dieser endlichen geometrischen reihe dieses mal gleich eins ist ja dann haben wir eins hoch k
4:47 das hat mir eben auch schon mal gesprochen das ist dasselbe wie einst sondern wie viele einsen haben wir denn jetzt die aufaddiert werden alles
4:55 konstante funktionen eins plus eins plus eins plus eins plus eins der unterschied zu dem hier oben ist dass die summe jetzt nicht bei der eins
5:02 anfängt sondern bei der 0 sprich wir haben hier nicht einmal 1 sondern es kommt noch ein zoom und mehr dazu im vergleich zu hier oben also
5:11 haben wir ein plus 1mal dieser konstanten zahl eins darf solltest du achten die summe einer summe ist gleich die summe der summe ist das nächste
5:22 rennen gesetzt wenn du einen summen zeichen hast vor so einer summe hier egal ob plus oder minus spielt keine rolle dann darfst du diese summe zeichen
5:29 für jeden einzelnen so nannten ziehen sprich du darfst diese summe und diese hier einzeln berechnet einzige ausnahme ist wenn du eine reihe
5:37 hast also eine summe mit unendlich vielen summen dann darfst du dieses rechnungen setzt nur dann benutzen wenn bei all diesen drei thermen jeweils ein
5:45 endlicher wert bei rauskommt er gibt auch sinn stell dir vor hier kommt eine zahl als ergebnis raus und hier kommt jeweils und endlich raus es macht keinen
5:52 sinn damit wir keine mathematiker für sein ich zeig dir das aber mal direkt noch ein beispiel berechnen wir kurz die
5:57 summe von dieser summe hier und zwar indem wir es genau so machen wir es gerade besprochen haben indem wir das so ein zeichen für jeden einzelnen
6:05 summenden ziehen und dann habe ich mir zusätzlich noch solche konstanten wie drei und minus 5 ausgedacht einfach damit wir währenddessen gleich noch
6:13 dieses zweite rechnung setzt mit wiederholen können heißt diese konstante 3 beziehungsweise minus 5 wie können wir direkt vor dem integralen stehen lassen
6:21 also haben wir dreimal der summe von allen kubik zahlen - fünfmal der summe ja einfach nur aller natürlichen zahlen an
6:34 gefangen bei 1 bis hin zu einer von dir frei ausgedachten zahlen und normalerweise würde ich jetzt sagen alles klar rechnen gesetz angewandt das
6:42 reicht mir zum nächsten aber speziell diese beiden summen formeln die sind so wichtig die kommen so oft vor die solltest du dir unbedingt einträgen zb
6:50 hier die summe aller natürlichen zahlen von 1 bis hin zu einer von dir frei ausgedachten zahl ist absolut immer dasselbe wie die zahl der flüge aus
7:00 denkst mal ihren nachfolger geteilt durch zwei das nennt sich die gaußsche sumpf formel und wenn du dir die eingeprägt hast fällt dir das einbringen
7:09 ja auch ziemlich einfach das ist nämlich einfach nur das quadrat von dem hier ein quadrat mal endlos 1 quadrat geteilt durch hier witzig denn die summe aller
7:20 natürlichen zahlen von 1 bis zu einer von dir frei ausgedachten zahl wenn du diese summe bestimmt hast und das ergebnis quadri arzt kommt genau
7:28 dasselbe bei raus als hättest du einfach nur alle kubik zahlen aufaddiert denkt mal drüber nach wenn du es gerne beweisen möchtest dann schau dir mal das
7:37 video zur vollständigen induktion an zu guter letzt solltest du dir merken dass die summe eines produktes im allgemeinen nicht dasselbe ist wie das
7:44 produkt der einzelnen summen so einen rechnung gesetz gibt es nicht was ist allerdings gibt ist das sogenannte coachee produkt das geht aber nur dann
7:52 wenn es sich bei diesen summen hier um ryan handelt also um summen mit unendlich vielen summenden angefangen bei der 0
7:59 außerdem geht dieses komische produkt nur dann wenn diese beiden reihen hier absolut konvergenz sind also dass der endliche wert der jeweils bei rauskommt
8:08 unabhängig von der sortierung der einzelnen summen ist so wenn diese beiden reihen hier absolut konvergenz sind dann sagt das kuschel produkt
8:16 kannst du die beiden auch einfach zusammenfassen und zwar zu dieser reihe 0 bis unendlich von dieser ländlichen summe angefangen
8:26 bei karl gleich null bis nhk x b - k aber du siehst das geht schon wieder einen schritt zu weit und gehörte nicht mehr zu den grundlagen dazu
8:35 wir schauen uns das einfach mal in einem anderen video an zusammengefasst diese vier rechnungen setzte hier solltest du unbedingt drauf haben wenn es darum geht
8:42 mit summen zu rechnen was du dann weiterhin nach drauf haben soll ist das aufspalten von summen und die index verschiebung das zeige ich aber
8:50 direkt im nächsten video also bleibt dran hey ich hoffe ich konnte gerade mit diesem video weiterhelfen wenn du dich
8:56 zufällig demnächst auf eine mathe prüfung vorbereiten musste dann schau unbedingt mal unter diesem video nach ich habe dort mehrere online kurse von
9:02 mir zur klausur vorbereitung verlinkt sollte man eines der themen nicht dabei sein dann schreibt man einfach eine mail und
9:08 du erfährst als erstes wenn neue kurse rauskommen wenn ihr das video weitergeholfen hat und du möchtest dass in zukunft weitere content erscheint
9:14 dann erzähle einfach deinen kommilitonen deinen freunden und seiner familie von mir und abonnieren den kanal danke dir