** Galtonbrett, Binomialverteiliung
Stephan Mueller
https://www.youtube.com/watch?v=6XCUtBujdy4

Transkript (automatisch erstellt)

0:00 willkommen zu einem kleinen Video wo ich Ihnen ein Experiment zeigen möchte dass man oft benutzt um Statistik oder auch Fehler Analysen und so weiter erklären
0:11 kann wir haben hier ganz viele Kugeln die Kugeln werden nachher durch diese Hindernisse durch rieseln und sich nachher hier unten in diesen
0:20 Auffangbehältern ansammeln und wenn dann die Kugeln diese vielen Entscheidungen links oder rechts gemacht haben er gibt sich da unten eine verteil
0:30 die man als Binomialverteilung bezeichnet oder dann wenn es sehr viele solche Entscheidungen gibt gibt Schluss eine sogenannte
0:38 gausverteilung wir machen das mal ich drehe das jetzt mal so dass die Kugeln runter fallen können bisschen
0:49 [Musik] nachhelfen so jetzt sehen sie da unten diese
1:03 Verteilung zeigt das in der Mitte da sind noch zwei hängen geblieben das in der Mitte al die häufigste Ansammlung dieser Kugel ist das heißt die haben D
1:13 mehrere Möglichkeiten gehabt da in die Mitte zu gelangen während dann auf der rechten od auf der linken Seite die Ansammlungen kleiner sind muss das da
1:22 ein bisschen horental halten dass die Kugel nicht übereinander liegen soll sieht man einigermaßen diese Verteilung Mitte ist es zufällig etwas weniger
1:31 gewesen vielleicht W das zwei dreimal laufen lassen sieht auch anders aus eindeutiges links und rechts weniger vorhanden wir ma
1:38 nochm so sind sie alle wieder oben und dann wir das nochm bisschen Schüssel dass sich nicht
1:58 kemener bisschen anders wie vorher wir haben jetzt da recht viel auf der Seite es kann auch sein dass ich das ganze nicht ganz horizontal gehalten habe und
2:07 deshalb die Verteilung asymmetrisch wurde such nochmals so und jetzt schauen D
2:26 üinander kann man sich auch besser bauen als wie das jetzt hier gemacht haben für den Unterricht aber man sieht da doch dass die Verteilung einigermaßen so wie
2:34 eine Glockenkurve aussieht das ein bisschen mehr die Erklärung dazu nun man kann sich das auf man kann s besagen das hat
2:42 zu tun mit Messungen die verrauscht sind man kann sagen da haben wir hier eine erste Messung die Danaher durch Stöße nach links nach rechts abweicht und dann
2:51 eine Statistik liefert eine zufällige Verteilung und die Messkurve daunter nachher eben auch Streuungen hat der Messwert wird nach nicht nur der
3:01 ursprüngliche Messwert sein sondern nach links und rechts noch gelegentlich Zahlen liefern oder man schaut einfach rein von der Statistik an oder von der
3:09 Kombinatorik was da los ist wir schauen mal so eine Entscheidung an die die Kugel hat auf einer einzigen äh hinten Stelle als die Kugel fällt da
3:19 runter und hat jetzt die Möglichkeit hier an diesem Hindernis entweder nach links oder nach rechts runter zu
3:28 fallen und wenn wir da die zwei körp haben kann man sagen dass die dass die Wahrscheinlichkeit dass die Kugel links landet oder rechts landet nun wenn das
3:39 eine symmetrische ablenk Stelle ist dann wird das jeweils ein halb sein wir haben da 50% Chance dass es nach links fällt oder
3:50 50% Chance D nach rechts fällt das heißt wir haben wenn das ein paar mal hintereinander machen hier und hier gleich viele
3:57 Gugel jetzt kommt ja dann die nächste Entscheidung hier da kann die Kugel wiederum nach links und nach rechts
4:05 fallen da auch das sehen wir bereits wenn wir jetzt die Auffangbehälter anschauen dass wir jetzt
4:16 da so auf anschauen sehen wir dass wir hier auf der linken Seite zweimal entscheiden nach links haben mussten damit die Kugel hier landet wenn wir für
4:27 die mittlere für den mittleren Auffang entweder diesen Weg gehen können oder diesen Weg gehen können das heiß wir haben mehr Chancen dass wir diese
4:37 mittleren Behälter füllen als den linken und den rechten wo es quasi zweimal nach rechts gehen muss das heiß wir können sagen für diesen Behälter hier muss die
4:47 Entscheidung zweimal nach rechts gewesen sein während wir hier die Entscheidung haben entweder links rechts oder rechts
4:58 links und auf der linken Kugel auf linken Behälter haben wir die Entscheidung links links wen wir schauen können wir sagen
5:07 dass wir hier quasi die doppelte Anzahl Kugel erwarten würden als hier und hier das heißt wir haben bereits hier nachher ein eine leichte Verteilungsfunktion
5:16 zuwarten welche die in der Mitte höher ist als links und rechts und jetzt kann man sich da Gedanken machen ja wie macht man das
5:26 allgemein wenn wir da z kstufen hätten und äh wie kann man da ausrechnen wie groß die Chance ist in irgendeinem solchen Behälter zu landen die Grund
5:36 kann man immer sagen dass ein Behälter der da unten ist immer auf mehrere Arten erreicht werden kann indem man z.B jetzt sagt man hat jetzt ein paar mal
5:46 hintereinander rechts gehabt und dann ein paar mal hintereinander links gehabt und man kann auch sag hat hier z.B einen Weg gemacht der einmal nach rechts dann
5:54 nach links und dann wieder nach rechts rechts und dann den rechts nach links oder kann am Anfang schon nach links gewesen sein so und dann so so so das
6:05 heißt es gibt mehrere Möglichkeiten wie man diesen Behälter erwischt wenn wir jetzt ein Behälter Anschauen der da irgendwo steht kann man
6:13 sich überlegen dass es ja eigentlich immer die Frage ist wie oft muss eine Kugel nach links laufen um diesen Behälter zu treffen für die übrigen Wege
6:23 muss dann nach rechts gelaufen sein das heiß wir können sagen wir haben z.B jetzt hier wen mal ganz konkret dann wir müssen da viermal nach links und dreimal
6:32 nach rechts gehen dann wäre eine möglichkeit rechts rechts rechts und dann vierm nach links dann kommen wir hier in diesen Behälter
6:41 rein darf man aber dieses links links links Links auch vertauschen man kann bes mache hier jetzt einmal links und dann rechts rechts rechts und dann
6:48 wieder links links links das Heß ich muss mir einfach überlegen wie wie viele Möglichkeiten kann ich hier vier links Wege wählen innerhalb dieser
7:01 gesamten Anzahl der Wege also wir haben hier in diesem Fall sieben Wege wir wollen vier Mal nach links gehen und da gibt's eine Gesetz in der Kombinatorik
7:12 das haben wir an einer anderen Stelle auch schon kennengelernt das besagt die Anzahl Möglichkeiten vier Plätze aus sieben Plätzen auszuwählen ist
7:22 einfach in dem Fall s haben wir insgesamt vier wollen wir auswählen das heißt wir haben S vier Möglichkeiten das sind die Zahlen die
7:33 auch beim paskalischen Dreieck vorkommen und die einfach sagen wie oft so eine Auswahl von vier Stellen aus sieben Stellen möglich
7:44 ist 7 über 4 das kann man auch ausrechnen das ist 7 Fakultät durch 4 Fakultät mal 3 Fakultät da gibt's ein allgemeines Gesetz dafür und Fakultät
7:55 ist ja eine ein Produkt aus den Zahlen 1 2 3 4 5 6 7 in diesem Fall und hier 1 2 3 4 und 1 2 3 ganz konkret in dem Fall wird das
8:06 jetzt heißen 1* 2 x 3 x 4* 5 x 6 x 7 und unten habe ich 1* 2 x 3 x 4 und dann noch mal 1 x 2 x 3 jetzt kann man hier netterweise ja kürzen das geht alles weg
8:24 dann kann ich hier noch das 6 gegen das 3 kürzen so z mal 3 dann habe ich hier 5 x 7 das sind
8:32 35 Möglichkeiten vierm nach links zu laufen also 35 Möglichkeiten habe ich und jetzt lernt man in der
8:43 Wahrscheinlichkeitsrechnung dass die Wahrscheinlichkeit für ein solches Ereignis die Anzahl günstiger Möglichkeiten durch die Anzahl möglicher
8:52 Fälle ist das das hei muss die 35 vergleichen mit den Anzahl möglichen möglicher äh R und L Entscheidungen hier und wir haben ja da
9:03 1 2 3 4 5 6 7 solche Plätze die wir mit R oder mit L füllen können wenn wir z vier LS haben und insgesamt sieben Möglichkeiten haben
9:18 hier R oder L hier R oder L hier R oder L dann haben wir also zwe hoch 7 Möglichkeiten insgesamt so dass wir sagen könen die
9:29 Anzahl günstiger Fälle die 35 müssen wir jetzt vergleichen die wahrscheinlich ist 35 durch die 2 hoch 7 oder allgemein gesagt
9:44 ein/b hoch 7 mal 35 das ist die Wahrscheinlichkeit als Zahl für die Belegung dieses speziellen
9:58 fechleins und wenn wir jetzt z 100 Kugeln runterlassen kann man sagen dass diese Wahrscheinlichkeit dann multipliziert werden kann mit 100 um
10:05 dann die Anzahl der Kugeln hier tatsächlich zu erhalten nun 2 H 7 2 4 8 16 32 64 128 das heiß wir haben nachher in dem Fall
10:19 35 durch 128 äh als Wahrscheinlichkeit das ist ungefähr ja knappes Viertel ein Drittel für die für dieses fünfte für dieses
10:31 fchlein wo dann viermal l und dreimal R vorgekommen ist jetzt wollen wir das verallgemeinern wir haben jetzt speziell gesagt wir
10:40 haben sieben Stufen durchlaufen wir wollen das jetzt mal allgemein sagen das heißt wir haben D insgesamt n Entscheidung wir wollen das Karte
10:52 festchlein anschauen da können wir sagen dass die Wahrscheinlichkeit das ein übernehmen von vorher n über K ist das ist die Anzahl der Möglichkeiten dieses
11:04 K hier dieses 4 zu wählen n über K und mal 1/b hoch n das die Wahscheinlichkeit P dass wir das Karte festlein treffen wenn wir n
11:21 solche Stufen durchlaufen das wä die Binomialverteilung für eine symmetrische
11:28 an der symmetrische Entscheidungs Stelle wenn wir jetzt da asymmetrische Varianten haben z.B jetzt
11:38 hier mit einem Drittel Wahrscheinlichkeit und da zwei Drittel Wahrscheinlichkeit links und rechts haben da müssen wir diesen Teil hier
11:43 ändern da müsste man dann sagen das ist 1 dr hoch K mal 23 h n- K und wie gesagt wenn wir da sehr viele Entscheidungen machen und die Verteilung
11:57 dann quasi von der diskr Variante in eine kontinuierliche Variante überführen dann führt das nach dem zentralen grenzwersatz in der Mathematik
12:06 zu einer gverteilung Glockenkurve