Differentialquotient (Unterschied zum Differenzenquotient?!)
Mathe - simpleclub
https://www.youtube.com/watch?v=6HDhATXNCGU

Transkript (automatisch erstellt)

0:00 Die Amise haben mega die Probleme mit and. Gut, wir haben auch solche Hassworte. Warum uns das interessiert? Wir hatten letztens mal den
0:08 Differenzenquotient. Heute, das klingt ganz ähnlich, der Differentialquotient.
0:15 [Musik] Gut, komplett verschieden sind die beiden nicht. Der Differentialquotient baut nämlich auf dem Differenzenquotient
0:25 auf. Was war der Differenzenquotient noch mal? Der ist nichts anderes als die durchschnittliche Steigung in dem Bereich. Bei der Parabel hier z.B. wird
0:33 zwischen den beiden blauen Punkten die Steigung ausgerechnet. Unten ist die Parabel flacher, oben steiler als die rote Gerade.
0:41 Was wir jetzt aber wissen wollen, wie stelle genau hochgeht. Wir wissen nur, wie stolz zwischen den zwei Punkten hochgeht bisher. Was jetzt? Bis jetzt
0:50 haben wir uns immer zwei Punkte auf der Parabel rausgesucht, durch die wir eine Gerade gelegt haben. Die Gerade schneidet die Parabel ja an zwei
0:57 Punkten. Das nennt man Sekante. Was wir wollen, ist aber was anderes. Was wollen wir? Wir würden gern das wissen. Wenn man an einem Punkt ist, wie steil geht's
1:07 da hoch? Wenn ihr euch die rechte Parabelhälfte als Berg vorstellt, dann geht's überall unterschiedlich steil hoch. Und an irgendeinem Punkt denkt ihr
1:16 euch, scheiß drauf, ich gehe ab hier einfach gerade weiter. Im Prinzip legt ihr also eine Gerade an die Parabel an, die genau an dem einen Punkt berührt und
1:23 so steil weitergeht, wie es an dem Punkt hochgeht. Die hat auch einen Namen, die Tangente. Nur wie legt man eine Gerade durch einen Punkt, damit es genau passt?
1:32 Raten vielleicht? Nee, da gibt's einen Trick. Wenn ihr euch noch mal das Ding mit der durchschnittlichen Steigung anguckt, also der Differenzenquotientz,
1:41 noch stimmt die Gerade ziemlich wenig mit der Parabel überein und schneidet auch an zwei Punkten. Man könnte aber auch die Punkte näher zusammenführen,
1:48 z.B. so. Wenn man durch die beiden Punkte jetzt wieder eine Gerade durchlegt, sieht's so aus. Ihr seht, man sieht die Parabel da fast gar nicht
1:57 mehr. Die Steigung von der Geraden passt also ziemlich gut zu der von der Parabel. Jetzt lässt man die Punkte so nah zusammenlaufen, bis sie sich
2:04 treffen. Und was jetzt gilt? Die Gerade ist jetzt die Tangente, die wir gesucht haben. Die berührt die Parabel nur an dem Punkt. Nur welche Steigung hatte
2:13 jetzt? Dazu schauen wir uns das, was wir gerade an Skizzen überlegt haben, formal an. Wir hatten am Anfang noch zwei Punkte. Das war der Differenzenquotient.
2:22 Den berechnet man so. Der y Wert von einem Y-Wert vom anderen durch die Differenz von beiden Xen. Das M ist dann die Steigung der roten Gerade. Wenn man
2:33 die Punkte bisschen anders nennt, wird das was danach kommt leichter. Man nimmt einen Punkt x0 f von x0. Jetzt geht man auf der x-Achse noch ein Stück nach
2:42 rechts und nimmt dann einen zweiten Punkt. Der ist dann einfach bei x0 + h. Wenn wir das in den Differenzenquizient von Grad einsetzen, steht das da. f von
2:51 x0 + h - f von x0 durch x0 + h - x0. Unten kürzen sich also die x0, dann steht nur noch durch h da. Wir haben ja gesagt, dass wir den Abstand zwischen
3:03 beiden Punkten kleiner machen, bis er null ist. Das heißt, wir lassen H gegen 0 laufen. In der Mathte wird so ein gegen irgendwas laufen lassen, immer mit
3:11 dem Limes geschrieben. Man nimmt den Limes von irgendeiner Funktion, die von der Variablen abhängt. Die Variable soll gegen irgendeinen Wert laufen. Und weil
3:20 wir in der Steigungsformel das h gegen 0 laufen lassen wollen, schreiben wir das so. M Punkt nennen wir mal die Punktsteigung. Das ist der Limis von h
3:28 gegen 0 von der normalen Steigung. Und weil das M-Punkt ja jetzt die Steigung an der Stelle x0 ist, haben sich die Mathematiker gesagt: "Ey, die Steigung
3:36 von der Funktion f in dem Punkt schreiben wir so f." Das f nennt man die Ableitung an der Stelle x0 und die ganze Gleichung mitm
3:45 Limis, das ist nämlich der Differentialquotient. Der Differentialquotient ist also die Punktsteigung an der Stelle x0. Nicht
3:53 wundern, manchmal werden die Variablen und Punkte auch bisschen anders genannt, aber das soll ich dann nicht verwirren. Einfach merken, wir hatten am Anfang nur
4:01 den Differenzquotient, der hat uns die durchschnittliche Steigung gegeben. Dann machen wir den Abstand zwischen den Punkten immer
4:07 kleiner, lassen h also gegen 0 laufen und dann haben wir den Differentialquotienten und damit auch die Steigung an einem bestimmten Punkt.
4:16 So, testet's mal. Hier eine Aufgabe. Rechne zuerst die Punktsteigung f str von der Parabel x². in dem Punkt 3 F von 3 aus. Berechnet dann die Punktsteigung
4:26 in einem beliebigen Punkt A F von A aus. Natürlich mit Differentialtient. Ob die Lösung stimmt, seht ihr hier im Beispielvideo.