Die inverse Matrix und wie man sie berechnet
Mathehoch13
https://www.youtube.com/watch?v=5kT8aI9tdm4

Transkript (automatisch erstellt)

0:00 hallo zu diesem weiteren video aus der matrizen rechnung heute fragen wir was ist eine inverse matrix und wie berechnet man sie in einem früheren
0:08 video den link ständig oben ein haben wir die einheits matrix kennen gelernt welche als neutrales element bei der matrize multiplikation fungiert wollte
0:18 beziehen wir nämlich eine matrix mit einer einheits matrix von passenden format dann erhalten wir das ergebnis wiederum die matrix a
0:26 damit ist die einheits matrix vergleichbar mit dem faktor 1 in der arithmetik oder all gebracht wo eine zahl x 1 wiederum diese zahl als
0:38 ergebnis hat in diesem video weil wir nun einen anderen wichtigen matrix süd kennen lernen nämlich die sogenannte inverse matrix was damit gemeint ist
0:48 verdeutlicht wir uns zunächst auf dieser seite in der arithmetik gibt es ja für zahlen um gleich null einen care wert zum
0:57 beispiel dreimal ein drittel wo das produkt aus zahl und care wert wieder eins ergibt und jetzt wo wir uns fragen ob so was
1:06 wie einkehr wert auch in der matrize rechnung gibt wo wir eine matrix mit sozusagen einer kema tricks multiplizieren und das ergebnis die
1:19 einheits matrix erhalten und die matrix die mit a multipliziert die ein smart rix gibt wird als inverse matrix bezeichnet die man dann als hoch - 1
1:33 schreibt und außerdem soll die inverse matrix auch bei umgekehrter multiplikation richtung niefern genauso wie wir in der arithmetik die
1:41 multiplikation richtung umdrehen können übrigens weil wir hier vorausgesetzt haben dass die multiplikation einer matrix mit der inversen in beide
1:52 richtungen möglich sein soll müssen wir sowohl die matrix selber als auch die inverse kompatible formate haben und das geht ja nur dann wenn beide
2:02 matrizen quadratisch matrizen sind wenn zum beispiel eine 3 kreuz drei matrix ist dann muss die zugehörige inverse matrix auch eine 3
2:13 kurz drei matrix sein und deren produkt würde die e3 einheits matrix ergeben mit drei zeilen und spalten demzufolge kann das konzept einer
2:23 inversen matrix nur für eine quadratische matrix existieren überlegen wir jetzt an einem konkreten beispiel wie man eine inverse matrix berechnen
2:32 kann gehen wir jetzt eine quadratische 22 matrix welche mit der inversen matrix sie wird zu berechnen haben als produkt
2:42 die einheits matrix mit zwei zahlen und zwei spalten liefern soll weil wir die elemente unserer in wersen matrix ja noch ausrechnen müssen nennen
2:53 wir die einträge a b c d damit haben wir jetzt hier eine matrizen gleichung die wir jedoch sehr einfach in ein lineares gleichen system um formen
3:03 können und zwar können wir hier vier zeilen rausziehen nach den gesetzen der matrizen multiplikation haben wir einmal drei mal
3:12 a-plus - achtmal c gleich eins also 3er -18 gleich eins dann unter verrechnung dieser zeile mit dieser spalte 25 c gleich null
3:26 dann 3d - 80 und 2 -5 die gleich 1 bei genauerer betrachtung sieht man jetzt dass wir hier eigentlich zwei pakete mit zwei zeilen haben hier ein den jahres
3:42 leitungssystem mit den unbekannten a und c und hier einst mit den variablen b und d das heißt wir haben im prinzip zwei lineare gleichungen systeme die wir
3:52 parallel lösen müssen schreibt jetzt mal so nebeneinander und stadt dieser ausführlichen gleichung form verwende ich jetzt die übersichtlichere form der
4:02 erweiterten koeffizienten matrix ich könnte dazu noch mal ein video hier oben ein wo wir jeweils auf der linken seite einfach die koeffizienten unserer
4:10 unbekannten also 3 -8 2 und minus 5 eintragen und auf der rechten seite jeweils die ergebnisse wobei uns als spalten beschriftung die namen der
4:21 variablen oben dran schreiben können also hier a und c auf der rechten seite haben wir die variablen b und d aber jetzt sehen wir
4:33 dass wir hier dieselben koeffizienten haben die wir jetzt einfach hier rüber kopieren können nur auf der ergebnisseite steht jetzt hier 0 und 1
4:44 wenn wir die beiden gleichung system jetzt manuell lösen müssten würden wir natürlich zum gaus verfahren greifen mit dem wir beide gleichung systeme auf die
4:54 stufen form bringen wollen weil aber die koeffizienten matrix auf beiden seiten identisch ist können wir für das umformen natürlich jeweils dieselben
5:05 rechenoperationen für beide gleichung systeme parallel anwenden und jetzt kommt der tour am start tatsächlich beide lineare gleichungen
5:14 systeme parallele zu lösen macht man im prinzip folgendes man nimmt die koeffizienten matrix packt sie hierhin und packt dann jeweils die ergebnis
5:27 spalten nebeneinander so dass wir mit einer matrix arbeiten die auf der linken seite die koeffizienten matrix hat und auf der rechten seite steht jetzt die
5:39 einheits matrix zur demonstration werde ich jetzt alle drei systeme parallel lösen dazu benenne ich die zahlen mit römisch 1 und 2 damit ich die
5:48 rechenoperation dokumentieren kann mein ziel beim kauf erfahren ist es ja jetzt eine unbekannte zu eliminieren um diese zwei hier unten zur 0 zu machen
5:58 ersetze ich die alte zeile römisch 2 durch eine neue zeile mich 2 a wobei ich zweimal römisch 1 nehmen und dann das dreifache von römisch 2
6:12 subtrahiert durch dieses sozusagen über kreuz multiplizieren römisch 1mal 2 plus 2 mal 3 rechne ich dann ja zweimal 3 - dreimal
6:25 2 also 66 und das ergibt hier 0 das kann es überall hier eintragen die erste zeile bleibt gleich hier erzeugen die überlange 0 und dann wenden wir
6:38 diese rechtsvorschrift für die komplette zeile an dann haben wir hier zwei mal römisch 1 also zweimal - 8 ist - 16 - dreimal - 5 das ist also
6:51 - 16 plus 15 das ergibt hier - 1 natürlich genauso wie hier und hier an dieser stelle rechnen wir dann zwei mal 1 - 3 x 0
7:06 das liefert die zwei hier natürlich genauso wie an dieser stelle weil diese spalte entspricht ja dieser spalte und hier haben wir zweimal null - dreimal 1
7:20 das ergibt - 34 und natürlich auch hier jetzt haben ja eigentlich die stufen form erreicht und könnten aus dieser zeile zum beispiel c berechnen aus
7:33 dieser zeile de und damit jeweils in die höhe gelegene zeile gehen und dann a bzw bestimmen wir können das großverfahren aber auch
7:44 zum gaus jordan verfahren erweitern wobei wir die koeffizienten matrix solange umformen ist diese zur einheit matrix wird das machen wir jetzt mal und
7:54 dann bist du auch den vorteil sehen das nächste ziel wäre also hier zum beispiel diese - 8 zu 0 zu machen und dazu machen eine neue zeile 1 indem wir die alte
8:06 zeile 1 - das achtfache der zeile 2a nehmen weil dann rechnen wir ja - 8 - achtmal -1 also - 8 + 8 und das wird hier die null ergeben also die zweite
8:23 zeile bleibt erst mal gleich hier an dieser stelle ergibt sich die null hier und hier und durch die verrechnung bleibt die
8:32 drei jeweils auch an dieser stelle erhalten das kannst mal nach prüfen dann müssen auch gucken was hier hinkommt da rechnen
8:40 wir ja 1 - achtmal 21 - 16 ist - 15 was natürlich auch hier einzutragen ist und für hier rechnen wir 0 - achtmal - 3 was ja 24 ergibt was wir natürlich auch
9:02 hier eintragen als letztes müsse jetzt nur noch auf dieser diagonalen einzeln erzeugen dazu teilen wir die erste zeile durch drei
9:11 und die zweite zeile durch - 1 dann steht hier auf der ergebnisseite -15 durch drei sind - 5 die man natürlich auch an dieser stelle eintragen und
9:25 zweigeteilte ich - 1 sind - 2 die auch hierhin kommen hier rechnen wir 24 geteilt durch 3 sind 8
9:35 es kommt hier hin und - dreigeteilte ich - 1 sind drei und damals aber dass jordan verfahren abgeschlossen und jetzt können wir sofort ablesen dass a gleich
9:49 - 5 ist das c gleich - zwei ist das b gleich acht ist und dass die gleich drei ist wenn wir uns das jetzt auf der rechten seite ebenfalls markieren dann
10:06 sehen wir doch dass hier auf der rechten seite die gesuchte inverse matrix steht mit a b c d wie er oben a b c d wenn wir also anstatt zwei lineare
10:18 gleichungen system mehr separat zu lösen das so wie hier machen wo wir hier unser matrix a und hier die einheits matrix
10:25 hinschreiben und anschließend die matrix a solange umformen bis dass wir hier unten links die einheits matrix erhalten dabei hält man hier unten rechts die
10:36 inverse matrix zu a und so habe eine methode mit der wir komfortable die inverse matrix von hand berechnen können
10:43 wir brauchen also nur mit dieser kompakten form arbeiten und können auf der separate lösen von zwei gleichen system verzichten
10:51 hier zeige ich dir noch schnell wie man das mit dem taschenrechner berechnen kann ich mache das an dem ti in spa vor
10:58 zunächst definiere ich mir im skript meine matrix a mit doppelpunkt gleich dann wähle ich die vorlage für die matrix jetzt haben wir
11:10 es hier mit einer 2 kreuz zwei matrix zu tun welche ja bei 3 -8 2 und minus fünf und jetzt erhalte ich die inverse matrix ganz einfach indem ich rechner hoch
11:30 minus 1 und minus 5 8 - 23 war ja auch die inverse die wir gerade von hand berichtet hatten jetzt kam zum schluss noch den test
11:41 machen wir rechnen mal hoch - eins unterhalten die einheits matrix jetzt umgekehrt hoch - 1 x ah und wir halten auch die einheits matrix
12:04 so wurde jetzt aussteigt es gibt im video doch noch einen daumen hoch wenn es ihr geholfen hat und abonnieren einen kanal anklicke auf die blogger damit
12:12 auch in zukunft keine videos verpasst es werden auf jeden fall noch weitere videos zur anwendung der inversen matrix folgen
12:18 und wenn sie geöffnet kannst du einen kanal unterstützen indem gemeine videos teils mich weiter empfiehlt mit den mitschülern und freunden auch kommentare
12:26 von von feedback wie die menschen anregungen helfen beim kanal weiter und besuche ich mal auf instagram und kopftuch 13
12:33 ansonsten noch viel spaß und volk weiterhin lernen wir sehen uns beim nächsten video bis dahin tschüss