Kumulierte Wahrscheinlichkeit | # 07 Binomialverteilung | Visual X
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Transkript (automatisch erstellt)

0:00 Bisher haben wir in dieser Serie immer nur danach gefragt, wie wahrscheinlich es ist, genau 4, genau 6, genau 2 Erfolge zu erzielen. In den meisten Problemen fragt man aber eher danach,
0:10 wie wahrscheinliche es ist, dass mehr als 4, mindestens 6 oder höchstens 2 Erfolge, höchstens 2 gelbe Kugeln aus der Urne zieht. Diese Keywords „mindestens“,
0:23 „mehr als“, „höchstens“ wirst du immer wieder im Zusammenhang mit der Binomialverteilung finden. Ein guter Anlass zu studieren, woher diese kommen und wie man mit ihnen umgeht.
0:34 Diese Einzelwahrscheinlichkeiten, also bspw. genau 2 Erfolge, die kannst du bereits mit der Bernoulli-Formel berechnen. Dazu müsstest du wissen, wie oft das Zufallsexperiment wiederholt
0:45 wird und wie groß die Erfolgswahrscheinlichkeit bei jeder Wiederholung ist. Im Histogramm links kannst du diese Wahrscheinlichkeit direkt ablesen. Sie liegt bei ca. 31,10 %.
0:58 Um die Wahrscheinlichkeit für höchstens 2 Erfolge zu berechnen, müssen wir uns zunächst mal fragen, was das „höchstens“ überhaupt bedeutet.
1:07 Und da orientieren wir uns erstmal außerhalb der Mathematik. Du sitzt im Auto und siehst vor dir ein weiteres mit einem auffälligen Fahrstil. Und tatsächlich
1:17 bei einer Verkehrskontrolle hat der Fahrer… 0,7 Promille Alkoholgehalt im Blut. Und das obwohl in Deutschland maximal 0,5 Promille zugelassen sind.
1:29 Zwei Dinge für dich zum Mitnehmen: (1) Zero. Zero. Am besten du bleibst dem Teufelszeug fern und bist mit 0 Promille unterwegs. Und (2): Fahren darf nur der,
1:38 der höchstens 0,5 Promille Alkoholgehalt im Blut hat. Diese „höchstens 0,5 Promille“ entsprechen damit so etwas wie einer Obergrenze. Wenn im Blut ein Alkoholgehalt festgestellt wird, der
1:51 kleiner als 0,5 Promille ist, bspw. 0.1 oder 0.3 … kein Problem. Höchstens 0,5 heißt auch kleiner als. Und selbst ein Alkoholgehalt von genau 0.5 Promille erfüllt den Begriff „höchstens“.
2:08 Solange der Alkoholgehalt also Werte von 0.5 oder kleiner aufweist ist man auf der sicheren Seite. Höchstens 2 gelbe Kugeln zu ziehen, notieren für hier auch mit diesem kleiner gleich Zeichen. Die
2:23 Bedeutung ist dieselbe: Entweder du hast genau 2 Erfolge, nur genau einen Erfolg oder das kann natürlich auch passieren gar keinen Erfolg. An der Stelle lohnt sich auf jeden Fall auch
2:36 ein Blick ins Histogramm. Die Wahrscheinlichkeit für höchstens 2 Erfolge ist dort nämlich nichts anderes als die Summe der ersten drei Balken. Zumindest in diesen einfachen Fall können wir
2:46 die Wahrscheinlichkeit für höchstens 2 Erfolge auch berechnen. Jede Einzelwahrscheinlichkeit berechnet sich aus der Bernoulli-Formel und tatsächlich müsstest du alle drei
2:55 Zeilen separat in den Taschenrechner eintippen und alles zusammenaddieren. Dieses Aufsummieren von Einzelwahrscheinlichkeiten ist der Namensgeber für den Titel des heutigen
3:06 Videos. Im Diagramm rechts passiert nämlich nichts anderes. Das Aufsummieren wird durch Stapeln einzelner Balken erreicht. Während im Histogramm links die Wahrscheinlichkeit
3:16 für bspw. genau 3 Erfolge also nur aus einem Balken besteht, werden daraus im Diagramm rechts insgesamt 4 Balken. Und zwar die Balken für keinen,
3:26 einen, zwei und drei Erfolge. So häufen sich die Einzelwahrscheinlichkeiten aus dem Histogramm links zur sogenannten summierten Wahrscheinlichkeit an. Und
3:36 wie üblich hat man sich aus dem lateinischen dafür noch einen fancigen Namen geklaut. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung rechts bezeichnet man als kumulierte Wahrscheinlichkeit.
3:47 Im Allgemeinen ist die Wahrscheinlichkeit höchstens k Erfolge zu erzielen, durch diese kumulierte Wahrscheinlichkeit gegeben: Die Summe aller Einzelwahrscheinlichkeiten bis zur
3:56 Obergrenze k. Und apropos Summe, wir Mathematiker schreiben sie etwas anders auf. Die Schreibweise muss natürlich enthalten, welches die kleinste Erfolgszahl ist und sie sollte auch angeben,
4:08 wo die Obergrenze liegt. Im besten Fall verrät sie auch, was man aufsummieren muss: Die Wahrscheinlichkeit jedes Mal genau keinen, einen, zwei Erfolge usw. zu erzielen.
4:19 Jede dieser Einzelwahrscheinlichkeiten lässt sich mit einer Bernoulli-Formel berechnen, wobei n wie üblich die Anzahl der Wiederholungen, p die Erfolgswahrscheinlichkeit bei einer
4:32 Wiederholung und (1-p) die zugehörige Misserfolgswahrscheinlichkeit ist. Sieht nach viel Schreibarbeit aus, aber zum Glück kürzt man die kumulierte Wahrscheinlichkeit häufig
4:43 mit einem großen F und den 3 relevanten Parametern ab. Wie viele Wiederholungen, welche Erfolgswahrscheinlichkeit bei einer Wiederholung und wie
4:52 viele Erfolge höchstens erzielt werden sollen. Beispiel: Die Wahrscheinlichkeit für höchstens 12 Erfolge bei 25 Wiederholungen mit einer Erfolgswahrscheinlichkeit von 0.4 beträgt
5:05 in etwa 0,8462 oder 84.62 %. „Aber ist das nicht ganz schön viel?“ höre ich Schüler oft als erstes fragen. Bedenke aber: Mit der kumulierten Wahrscheinlichkeit summierst
5:19 du die ersten 13 Balken von 0 bis 12, die ersten 13 Einzelwahrscheinlichkeiten auf. Da kann einiges zusammenkommen. Anders rum gedacht: Die Balken, die noch fehlen,
5:30 würde die kumulierte Wahrscheinlichkeit zu 1 ergänzen. Und deren Wahrscheinlichkeit ist mit bloßem Auge relativ gering… Ganz analog berechnet man die
5:41 Wahrscheinlichkeit für höchstens 7 Erfolge, indem man in der Rechnung und im Histogramm die ersten 8 Einzelwahrscheinlichkeiten die ersten 8 Balken aufsummiert. Diese Wahrscheinlichkeit
5:51 beträgt gerundet 0.1536 oder 15,36 %. Und so kann man das prinzipiell mit jeder anderen Erfolgszahl machen. Merke dir also, dass bei der kumulierten Wahrscheinlichkeit
6:04 die ersten Balken bis einschließlich dieser Obergrenze aufsummiert werden. Dann fehlt ja nur der Hinweis, wie man diese kumulierte Wahrscheinlichkeit berechnet. Bedenke,
6:18 hinter jeder Einzelwahrscheinlichkeit steckt eine Bernoulli-Formel. Die für genau 0 Erfolge, die für einen Erfolg, die für zwei Erfolge und so weiter und so fort. Für höchstens 10
6:30 Erfolge sind dann 11 Einzelwahrscheinlichkeiten zu berechnen. 11 Mal diese Bernoulli-Formel in den Taschenrechner einzutippen… halleluja. Die Leute vom Taschenrechner und Tafelwerk haben
6:41 das aber zum Glück für dich übernommen und die kumulierten Wahrscheinlichkeiten im Taschenrechner mit einem Befehl und im Tafelwerk in Tabellen aufgeschrieben. Wie man bei den Tabellen aber
6:51 nicht durcheinander kommt, sich in dem ganzen Zahlenwirrwarr orientiert, was es dabei alles zu beachten gibt, um zum richtigen Ergebnis zu kommen, das zeige ich dir im nächsten Video.